Kvadratna funkcija

1. Izračunaj teme in ničli ter nariši graf funkcije:
     (a)    \(f(x)=x^2-6x+5\)
     (b)    \(f(x)=2x^2+6x+4\)
     (c)    \(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x-2\)
   Rešitev:    (a)   \(T(3,-4),~ x_1=1,~ x_2=5\)     (b)   \(T\big(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\big),~ x_1=-1,~ x_2=-2\)     (c)   \(T(2,0),~ x_{1,2}=2\)
2. Dana je funkcija \(f(x)=-x^2-4x-5\). Izračunaj teme in zapiši enačbo te funkcije v temenski obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Teme: \(T(-2,-1)\), temenska oblika: \(f(x)=-(x+2)^2-1\).
3. Dana je funkcija \(f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x\). Izračunaj teme in zapiši enačbo te funkcije v temenski obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Teme: \(T(2,-2)\), temenska oblika: \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2-2\).
4. Dana je funkcija \(f(x)=x^2+2x-3\). Izračunaj ničli in zapiši enačbo te funkcije v ničelni obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Ničli: \(x_1=1,~ x_2=-3\), ničelna oblika: \(f(x)=(x+3)(x-1)\). Da narišeš graf, moraš izračunati tudi teme: \(T(-1,-4)\).
5. Dana je funkcija \(f(x)=2x^2-2x-4\). Izračunaj ničli in zapiši enačbo te funkcije v ničelni obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Ničli: \(x_1=-1,~ x_2=2\), ničelna oblika: \(f(x)=2(x+1)(x-2)\). Da narišeš graf, moraš izračunati tudi teme: \(T\big(\frac{1}{2},-\frac{9}{2}\big)\).
6. Reši enačbo:
     (a)    \(x^2-4x-21=0\)
     (b)    \(2x^2-11x+12=0\)
     (c)    \(9x^2-6x+1=0\)
     (c)    \(4x^2-4x+5=0\)
   Rešitev:    (a)   \(x_1=-3,~ x_2=7\)     (b)   \(x_1=\frac{3}{2},~ x_2=4\)     (c)   \(x_{1,2}=\frac{1}{3}\)     (d)   Enačba ni rešljiva \((x_{1,2}\not\in\mathrm{I\!R})\).
7. Reši enačbo:
     (a)    \(x(x+6)=72\)
     (b)    \((2x+1)(x-5)=x(x-1)-12\)
     (c)    \({\displaystyle \frac{x}{2}\cdot (x+2)=\frac{x^2+x+10}{4}}\)
   Rešitev:    (a)   \(x_1=6,~ x_2=-12\)     (b)   \(x_1=1,~ x_2=7\)     (c)   \(x_1=2,~ x_2=-5\)
8. Reši enačbo:
     (a)    \(14+\sqrt{x+16}=x\)
     (b)    \(2x+2=1+\sqrt{x+2}\)
   Rešitev:    (a)   \(x=20\)     (b)   \(x=\frac{1}{4}\)     (Drugi rezultat obakrat odpade pri preizkusu.)
9. Izračunaj presečišči grafov funkcij \(f(x)=x^2-4x+4\)  in  \(g(x)=2x^2-9x-2\).
   Rešitev:    \(P_1(-1,9),~~ P_2(6,16)\)
10. Izračunaj, kje se sekata graf funkcije \(f(x)=x^2-2x+1\)  in premica  \({\displaystyle y=\frac{x+5}{2}}\).
    Rešitev:    \(P_1\big(-\frac{1}{2},\frac{9}{4}\big),~~ P_2(3,4)\)
11. Izračunaj, kje se sekata graf funkcije \(f(x)=x^2-4x+5\)  in premica  \(y=2x-4\).
    Rešitev:    \(P(3,2)\)
12. Zapiši enačbo kvadratne funkcije, katere graf poteka skozi točke \(A(1,-3),~ B(2,1)\) in \(C(3,3)\).
    Rešitev:    \(f(x)=-x^2+7x-9\)
13. Graf kvadratne funkcije seka abscisno os v točkah \(A(-1,0)\) in \(B(3,0)\), ordinatno os pa v točki \(C(0,6)\). Zapiši enačbo te funkcije v splošni obliki.
    Rešitev:    \(f(x)=-2x^2+4x+6\)
14. Kvadratna funkcija ima ničli \(x_1=2\) in \(x_2=-3\). Graf te kvadratne funkcije poteka skozi točko \(A(1,-8)\). Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v ničelni in v splošni obliki.
    Rešitev:    Ničelna oblika: \(f(x)=2(x-2)(x+3)\),  splošna oblika: \(f(x)=2x^2+2x-12\).
15. Kvadratna funkcija ima teme \(T(-1,-2)\). Graf te kvadratne funkcije poteka skozi točko \(A(3,6)\). Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v temenski in v splošni obliki.
    Rešitev:    Temenska oblika: \(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2\),  splošna oblika: \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\).
16. Reši neenačbo:
      (a)    \(x^2-2x-3\leqslant0\)
      (b)    \(x^2\lt 4x\)
      (c)    \(x^2-6x+10\lt 0\)
      (d)    \(x^2-4x+3\geqslant 0\)
    Rešitev:    (a)   \(x\in[-1,3]\)     (b)   \(x\in(0,4)\)     (c)   Ni rešitve.     (d)   \(x\in (-\infty,1]\cup[3,\infty)\)
17. Produkt dveh pozitivnih števil je 550. Izračunaj ti dve števili, če veš, da je prvo za 3 večje od drugega.
    Rešitev:    To sta števili 25 in 22.
18. Vsota dveh števil je 41, produkt istih dveh števil pa je 400. Izračunaj ti dve števili.
    Rešitev:    To sta števili 25 in 16.
19. V pravokotniku je ena stranica za 8 cm daljša od druge. Ploščina tega pravokotnika meri 660 cm². Izračunaj, koliko merita stranici.
    Rešitev:    Stranici merita 30 cm in 22 cm.
20. Obseg pravokotnika je 84 cm, diagonala pa meri 30 cm. Izračunaj, koliko merita stranici.
    Rešitev:    Stranici merita 24 cm in 18 cm.