Kvadratna funkcija

1. Izračunaj teme in ničli ter nariši graf funkcije:
     (a)    $f(x)=x^2-6x+5$
     (b)    $f(x)=2x^2+6x+4$
     (c)    $f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x-2$
   Rešitev:    (a)   $T(3,-4),~ x_1=1,~ x_2=5$     (b)   $T\big(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\big),~ x_1=-1,~ x_2=-2$     (c)   $T(2,0),~ x_{1,2}=2$
2. Dana je funkcija $f(x)=-x^2-4x-5$. Izračunaj teme in zapiši enačbo te funkcije v temenski obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Teme: $T(-2,-1)$, temenska oblika: $f(x)=-(x+2)^2-1$.
3. Dana je funkcija $f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x$. Izračunaj teme in zapiši enačbo te funkcije v temenski obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Teme: $T(2,-2)$, temenska oblika: $f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2-2$.
4. Dana je funkcija $f(x)=x^2+2x-3$. Izračunaj ničli in zapiši enačbo te funkcije v ničelni obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Ničli: $x_1=1,~ x_2=-3$, ničelna oblika: $f(x)=(x+3)(x-1)$. Da narišeš graf, moraš izračunati tudi teme: $T(-1,-4)$.
5. Dana je funkcija $f(x)=2x^2-2x-4$. Izračunaj ničli in zapiši enačbo te funkcije v ničelni obliki. Nariši tudi graf te funkcije.
   Rešitev:    Ničli: $x_1=-1,~ x_2=2$, ničelna oblika: $f(x)=2(x+1)(x-2)$. Da narišeš graf, moraš izračunati tudi teme: $T\big(\frac{1}{2},-\frac{9}{2}\big)$.
6. Reši enačbo:
     (a)    $x^2-4x-21=0$
     (b)    $2x^2-11x+12=0$
     (c)    $9x^2-6x+1=0$
     (c)    $4x^2-4x+5=0$
   Rešitev:    (a)   $x_1=-3,~ x_2=7$     (b)   $x_1=\frac{3}{2},~ x_2=4$     (c)   $x_{1,2}=\frac{1}{3}$     (d)   Enačba ni rešljiva $(x_{1,2}\not\in\mathrm{I\!R})$.
7. Reši enačbo:
     (a)    $x(x+6)=72$
     (b)    $(2x+1)(x-5)=x(x-1)-12$
     (c)    ${\displaystyle \frac{x}{2}\cdot (x+2)=\frac{x^2+x+10}{4}}$
   Rešitev:    (a)   $x_1=6,~ x_2=-12$     (b)   $x_1=1,~ x_2=7$     (c)   $x_1=2,~ x_2=-5$
8. Reši enačbo:
     (a)    $14+\sqrt{x+16}=x$
     (b)    $2x+2=1+\sqrt{x+2}$
   Rešitev:    (a)   $x=20$     (b)   $x=\frac{1}{4}$     (Drugi rezultat obakrat odpade pri preizkusu.)
9. Izračunaj presečišči grafov funkcij $f(x)=x^2-4x+4$  in  $g(x)=2x^2-9x-2$.
   Rešitev:    $P_1(-1,9),~~ P_2(6,16)$
10. Izračunaj, kje se sekata graf funkcije $f(x)=x^2-2x+1$  in premica  ${\displaystyle y=\frac{x+5}{2}}$.
    Rešitev:    $P_1\big(-\frac{1}{2},\frac{9}{4}\big),~~ P_2(3,4)$
11. Izračunaj, kje se sekata graf funkcije $f(x)=x^2-4x+5$  in premica  $y=2x-4$.
    Rešitev:    $P(3,2)$
12. Zapiši enačbo kvadratne funkcije, katere graf poteka skozi točke $A(1,-3),~ B(2,1)$ in $C(3,3)$.
    Rešitev:    $f(x)=-x^2+7x-9$
13. Graf kvadratne funkcije seka abscisno os v točkah $A(-1,0)$ in $B(3,0)$, ordinatno os pa v točki $C(0,6)$. Zapiši enačbo te funkcije v splošni obliki.
    Rešitev:    $f(x)=-2x^2+4x+6$
14. Kvadratna funkcija ima ničli $x_1=2$ in $x_2=-3$. Graf te kvadratne funkcije poteka skozi točko $A(1,-8)$. Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v ničelni in v splošni obliki.
    Rešitev:    Ničelna oblika: $f(x)=2(x-2)(x+3)$,  splošna oblika: $f(x)=2x^2+2x-12$.
15. Kvadratna funkcija ima teme $T(-1,-2)$. Graf te kvadratne funkcije poteka skozi točko $A(3,6)$. Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v temenski in v splošni obliki.
    Rešitev:    Temenska oblika: $f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2$,  splošna oblika: $f(x)=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}$.
16. Reši neenačbo:
      (a)    $x^2-2x-3\leqslant0$
      (b)    $x^2\lt 4x$
      (c)    $x^2-6x+10\lt 0$
      (d)    $x^2-4x+3\geqslant 0$
    Rešitev:    (a)   $x\in[-1,3]$     (b)   $x\in(0,4)$     (c)   Ni rešitve.     (d)   $x\in (-\infty,1]\cup[3,\infty)$
17. Produkt dveh pozitivnih števil je 550. Izračunaj ti dve števili, če veš, da je prvo za 3 večje od drugega.
    Rešitev:    To sta števili 25 in 22.
18. Vsota dveh števil je 41, produkt istih dveh števil pa je 400. Izračunaj ti dve števili.
    Rešitev:    To sta števili 25 in 16.
19. V pravokotniku je ena stranica za 8 cm daljša od druge. Ploščina tega pravokotnika meri 660 cm². Izračunaj, koliko merita stranici.
    Rešitev:    Stranici merita 30 cm in 22 cm.
20. Obseg pravokotnika je 84 cm, diagonala pa meri 30 cm. Izračunaj, koliko merita stranici.
    Rešitev:    Stranici merita 24 cm in 18 cm.