Računska geometrija

Kotne funkcije, ploščina, razreševanje

1. V pravokotnem trikotniku s hipotenuzo \(c=19~\mathrm{cm}\) meri kot \(\alpha=41^\circ25'\). Izračunaj, koliko merita kateti (rezultata zaokroži na štiri mesta).
   Rešitev:    Kateti: \(a\doteq12,\!57~\mathrm{cm},~ b\doteq14,\!25~\mathrm{cm}\)
2. Pravokotni trikotnik ima kateti: \(a=6~\mathrm{cm},~ b=8~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko merita pravokotni projekciji katet na hipotenuzo. Rezultata naj bosta točna.
   Rešitev:    \(a_1=\frac{18}{5}~\mathrm{cm},~ b_1=\frac{32}{5}~\mathrm{cm}\)
3. Enakokraki trikotnik ima podatke: \(\alpha=\beta=56^\circ,~ v_c=7~\mathrm{cm}\). Izračunaj dolžine vseh treh stranic. Rezultate zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    \(a=b\doteq8,\!444~\mathrm{cm},~ c\doteq9,\!443~\mathrm{cm}\)
4. Romb ima stranico \(a=7~\mathrm{cm}\) in kot \(\alpha=70^\circ\). Izračunaj dolžini obeh diagonal in višino tega romba. Rezultate zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    \(e\doteq11,\!47~\mathrm{cm},~ f\doteq8,\!030~\mathrm{cm},~ v_a\doteq6,\!578~\mathrm{cm}\)
5. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke \(\alpha=72^\circ,~ \beta=52^\circ,~ v_c=10~\mathrm{cm}\). Izračunaj dolžine vseh treh stranic. Rezultate zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    \(a\doteq12,\!69~\mathrm{cm},~ b\doteq10,\!51~\mathrm{cm},~ c\doteq11,\!06~\mathrm{cm}\)
6. Enakokraki trikotnik ima podatke: \(a=b=41~\mathrm{cm},~ c=18~\mathrm{cm}\). Izračunaj vse tri kote tega trikotnika. Rezultate zapiši v stopinjah in minutah.
   Rešitev:    \(\alpha=\beta\doteq77^\circ19',~ \gamma\doteq25^\circ22'\)
7. Pravokotnik ima stranici: \(a=18~\mathrm{cm},~ b=8~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko meri stranica kvadrata, ki ima enako ploščino kot ta pravokotnik.
   Rešitev:    Stranica kvadrata meri \(12~\mathrm{cm.}\)
8. Trikotnik ima podatke: \(a=9~\mathrm{cm},~ c=12~\mathrm{cm},~ \beta=30^\circ\). Izračunaj ploščino tega trikotnika. Izračunaj tudi, koliko meri stranica \(b\) (rezultat zaokroži na štiri mesta).
   Rešitev:    \(S=27~\mathrm{cm}^2,~ b\doteq6,\!159~\mathrm{cm}\)
9. Izračunaj ploščino pravilnega šestkotnika s stranico \(a=8~\mathrm{cm}\).
   Rešitev:    \(S=96\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2\doteq166,\!3~\mathrm{cm^2}\)
10. V krog s polmerom \(7~\mathrm{cm}\) je včrtan pravilni petkotnik. Izračunaj ploščino tega petkotnika. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(S\doteq116,\!5~\mathrm{cm}^2\)
11. Romb ima stranico \(a=6~\mathrm{cm}\) in kot \(\alpha=66^\circ\). Izračunaj, koliko merita diagonali \(e\) in \(f\). Izračunaj tudi ploščino tega romba. Rezultate zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(e\doteq10,\!06~\mathrm{cm},~ f\doteq6,\!536~\mathrm{cm},~ S\doteq32,\!89~\mathrm{cm}^2\)
12. Trikotnik ima podatke: \(\alpha=78^\circ,~ b=13~\mathrm{cm},~ c=22~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko meri stranica \(a\) (rezultat zaokroži na štiri mesta). Izračunaj tudi kota \(\beta\) in \(\gamma\) (zapiši ju v stopinjah in minutah).
    Rešitev:    \(a\doteq23,\!11~\mathrm{cm},~ \beta\doteq33^\circ23',~ \gamma\doteq68^\circ37'\)
13. Trikotnik ima stranice: \(a=9~\mathrm{cm},~ b=17~\mathrm{cm},~ c=10~\mathrm{cm}\). Izračunaj vse tri kote in jih zapiši v stopinjah in minutah. Izračunaj tudi ploščino tega trikotnika.
    Rešitev:    \(\alpha\doteq25^\circ03',~ \beta\doteq126^\circ52',~ \gamma\doteq28^\circ04',~ S=36~\mathrm{cm}^2\)
14. Trikotnik ima podatke: \(\alpha=35^\circ17',~ \beta=68^\circ28',~ a=11~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko merita stranici \(b\) in \(c\) v tem trikotniku. Rezultata zaokroži na dve decimalki.
    Rešitev:    \(b\doteq17,\!71~\mathrm{cm},~ c\doteq18,\!50~\mathrm{cm}\)
15. Trikotnik ima stranice: \(a=7~\mathrm{cm},~ b=5~\mathrm{cm},~ c=8~\mathrm{cm}\). Izračunaj kot \(\alpha\). Izračunaj tudi dolžino \(t_c\) (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    \(\alpha=60^\circ,~ t_c\doteq4,\!583~\mathrm{cm}\)
16. Trikotnik ima višino \(v_c=9~\mathrm{cm}\) in kota \(\alpha=73^\circ,~ \beta=58^\circ\). Izračunaj dolžini stranic \(a\) in \(b\) (na dve decimalni mesti).
    Rešitev:    \(a\doteq10,\!61~\mathrm{cm},~ b\doteq9,\!41~\mathrm{cm}\)
17. Paralelogram ima stranici \(a=20~\mathrm{cm},~ b=13~\mathrm{cm}\) in diagonalo \(f=21~\mathrm{cm}\). Izračunaj kot \(\alpha\) (v stopinjah in minutah). Izračunaj tudi ploščino paralelograma.
    Rešitev:    \(\alpha\doteq75^\circ45',~ S=252~\mathrm{cm}^2\)
18. Prvi krog ima polmer \(r_1=15~\mathrm{cm}\), polmer drugega kroga pa je za 20% večji. Izračunaj ploščini obeh krogov (na dve decimalki natančno). Izračunaj tudi, za koliko odstotkov je ploščina drugega kroga večja od ploščine prvega kroga.
    Rešitev:    \(S_1\doteq706,\!86~\mathrm{cm}^2,~ S_2\doteq1017,\!88~\mathrm{cm}^2\). Ploščina drugega je za 44% večja.
19. Trikotnik ima podatke: \(a=25~\mathrm{cm},~ b=12~\mathrm{cm},~ c=17~\mathrm{cm}\). Izračunaj polmer krožnice, ki je očrtana temu trikotniku. Rezultat zaokroži na dve decimalki.
    Rešitev:    \(R\doteq14,\!17~\mathrm{cm}\)
20. Trikotnik ima podatke: \(a=7~\mathrm{cm},~ b=8~\mathrm{cm},~ \gamma=120^\circ\). Izračunaj polmer krožnice, ki je včrtana temu trikotniku. Rezultat zaokroži na dve decimalki.
    Rešitev:    \(r\doteq1,\!73~\mathrm{cm}\)
21. Iz kroga s polmerom \(r=12~\mathrm{cm}\) izrežemo krožni izsek s središčnim kotom \(72^\circ\). Izračunaj ploščino tega krožnega izseka in dolžino pripadajočega loka. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(S\doteq90,\!48~\mathrm{cm}^2,~ \ell\doteq15,\!08~\mathrm{cm}\)
22. Krožni izsek ima ploščino \(100~\mathrm{cm}^2\) in središčni kot \(27^\circ\). Izračunaj dolžino pripadajočega krožnega loka. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(\ell\doteq9,\!708~\mathrm{cm}\)
23. Od kroga s polmerom \(r=10~\mathrm{cm}\) odrežemo krožni odsek, ki pripada loku z dolžino \(\ell=8~\mathrm{cm}\). Izračunaj ustrezni središčni kot (v stopinjah in minutah) in ploščino tega krožnega odseka (na dve decimalki natančno).
    Rešitev:    \(\varphi\doteq45^\circ50',~ S\doteq4,\!13~\mathrm{cm}^2\)