Racionalna in realna števila

1. Izračunaj in rezultate zapiši kot okrajšane ulomke:
   

   (a)   ${\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot {(-\frac{1}{3})}^2-(\frac{5}{21}-\frac{3}{28})\cdot \frac{7}{3}}$

   (b)   ${\displaystyle (\frac{23}{24}-\frac{17}{36})(\frac{20}{50}+\frac{22}{77})+\frac{1}{6}}$

   (c)   ${\displaystyle \frac{3-\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{3}}:(\frac{2}{\frac{3}{4}}-\frac{\frac{1}{3}}{2})}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{2}{9}$,     (b)  $\cdots =\frac{1}{2}$,     (c)  $\cdots =\frac{3}{5}$
2. Izračunaj števila $a,b$ in $c$ in jih uredi po velikosti od najmanjšega do največjega:
   

   $a=1:(2:3)-(1:2):3-(2\cdot 2):(2+2)$

   $b={\displaystyle \frac{5\frac{3}{4}}{5\frac{1}{4}}-\frac{\frac{4}{12}}{\frac{5}{10}}}$

   $c={\displaystyle \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{8}}}}$

   Rešitev:    $a=\frac{1}{3}=\frac{14}{42},b=\frac{3}{7}=\frac{18}{42},c=\frac{17}{42};a<c<b$
3. Naslednja decimalna števila zapiši kot okrajšane ulomke:
   

   (a)   $1,975$

   (b)   $2,\overline{432}$

   (c)   $1,6\overline{54}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{79}{40}$,     (b)  $\cdots =\frac{90}{37}$,     (c)  $\cdots =\frac{91}{55}$
4. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)   ${\displaystyle {(0,\overline{189}\cdot \frac{37}{3}-1)}^{-1}}$

   (b)   ${\displaystyle \frac{0,\overline{740}+2\cdot 3^{-3}}{4,4\cdot {10}^{-4}}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{3}{4}$,     (b)  $\cdots =\frac{50000}{27}$
5. Izračunaj (rezultati naj bodo točni):
   

   (a)   $(1+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})$

   (b)   $(4+\sqrt{2}{)}^2-(3+2\sqrt{2}{)}^2$

   (c)   ${\displaystyle {(\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3})}^3}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\sqrt{5}$,     (b)  $\cdots =1-4\sqrt{2}$,     (c)  $\cdots =\frac{\sqrt{3}}{9}$
6. Dana so števila $a=3.57662\cdot {10}^{14},b=(2+\sqrt{53}{)}^{-1}$ in $c=0.0\bar{2}$. Izračunaj, koliko je $\frac{a}{b+c}$. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    $\frac{a}{b+c}\doteq 2.752\cdot {10}^{15}$
7. Dana sta intervala $A=[0,5)$ in $B=[-1,3]$. Zapiši kot intervale naslednje množice:
   

   (a)   $A\cup B$

   (b)   $A\cap B$

   (c)   $A\setminus B$

   Rešitev:    (a)  $A\cup B=[-1,5)$,     (b)  $A\cap B=[0,3]$,     (c)  $A\setminus B=(3,5)$
8. Podani so intervali $A=(-2,6),B=[1,4]$ in $C=[\frac{5}{2},\mathrm{\infty })$. Zapiši kot interval množico $M=(A\setminus B)\cap C$.
   Rešitev:    $M=(4,6)$
9. Reši naslednje enačbe:
   

   (a)   ${\displaystyle \frac{4x+3}{2}=\frac{x}{4}+4x}$

   (b)   ${\displaystyle x-\frac{2x+5}{6}=\frac{1}{2}(x+3)}$

   (c)   ${\displaystyle \frac{2x+5}{2}\cdot (x-\frac{1}{7})=x^2+\frac{3}{7}}$

   Rešitev:    (a)  $x=\frac{2}{3}$,     (b)  $x=14$,     (c)  $x=\frac{1}{3}$
10. Reši naslednje neenačbe:
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{x+1}{3}>1-\frac{x-2}{6}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{1}{9}{x}^2-\frac{x-1}{2}⩾{\left(\frac{x+2}{3}\right)}^2}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{(2x+1{)}^2}{4}⩽x^2+\frac{2x-7}{2}}$

    Rešitev:    (a)  $x>2$,     (b)  $x⩽\frac{1}{17}$,     (c)  neenačba nima rešitve
11. Reši naslednje neenačbe in zapiši množice rešitev kot intervale:
    

    (a)   $(x-1)(x+2)>(x-2)x+1$

    (b)   ${\displaystyle \frac{x^2}{3}-\frac{x^2-2}{5}⩽\frac{2x}{3}\cdot \frac{x-3}{5}}$

    (c)   ${\displaystyle {(x+\frac{1}{2})}^3-x^3⩾\frac{3x}{2}\cdot \frac{2x+1}{2}}$

    Rešitev:    (a)  $x\in (1,\mathrm{\infty })$,     (b)  $x\in (-\mathrm{\infty },-1]$,     (c)  $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
12. Okrajšaj izraze:
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{a^3{b}^{5}c}{(abc{)}^2}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{x^3-x^2}{x^3-x}}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{u^2-5u+6}{u^3-3u^2-4u+12}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{a{b}^3}{c}$,     (b)  $\cdots =\frac{x}{x+1}$,     (c)  $\cdots =\frac{1}{u+2}$
13. Poenostavi izraze:
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{x^2-xy}{x^3+2x^2}\cdot \frac{x^{2}y+2xy}{xy+y^2}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{m^2-n^2}{2m^3+2m{n}^2}:\frac{m-n}{m^2+n^2}}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{u+6+\frac{9}{u}}{u-\frac{9}{u}}\cdot (2u-6)}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{x-y}{x+y}$,     (b)  $\cdots =\frac{m+n}{2m}$,     (c)  $\cdots =2u+6$
14. Poenostavi izraze:
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{1}{6x}+\frac{3}{4y}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{1}{a^2-2a}-\frac{1}{a^2-4}}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{p+1}{p-4}-\frac{p^2+4}{p^2-4p}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{9x+2y}{12xy}$,     (b)  $\cdots =\frac{2}{a(a-2)(a+2)}$,     (c)  $\cdots =\frac{1}{p}$
15. Poenostavi izraz:   ${\displaystyle (\frac{3}{x^2+x}+\frac{1}{2x+2})\cdot \frac{x^2-1}{x+6}}$
    Rešitev:    $\cdots =\frac{x-1}{2x}$
16. Poenostavi izraz:   ${\displaystyle \frac{a}{a^2+a-2}+\frac{a-3}{a^2-5a+4}-\frac{a-2}{a^2-2a-8}}$
    Rešitev:    $\cdots =\frac{1}{a-1}$
17. Poenostavi izraz:   ${\displaystyle \frac{1+(x-1{)}^{-1}}{(x-1{)}^{-1}-1}\cdot \frac{4-x^2}{x}}$
    Rešitev:    $\cdots =x+2$
18. Poenostavi izraz:   ${\displaystyle {\left(\frac{1-x^{-3}}{x^3-1}\right)}^{-1}}$
    Rešitev:    $\cdots =x^3$
19. Poenostavi izraz:   ${\displaystyle (a^{-2}-b^{-2}){(a^{-1}-b^{-1})}^{-1}}$
    Rešitev:    $\cdots =\frac{a+b}{ab}$
20. Reši enačbe:
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=\frac{5}{2}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{x-1}{x-4}=\frac{6}{2x-8}}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{x^2}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}}$

    (d)   ${\displaystyle \frac{4x}{x^2-2x-3}=\frac{1}{x+1}}$

    Rešitev:    (a)  $x=3$,     (b)  enačba ni rešljiva,     (c)  $x=-1$,     (d)  enačba ni rešljiva
21. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{1}{x+4}+\frac{2}{x^2+9x+20}=\frac{x+1}{x^2+4x}}$
    Rešitev:    $x=5$
22. Reši enačbo:   $x(x+4{)}^{-1}=4(x^{-1}+4^{-1})$
    Rešitev:    $x=-2$
23. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{1}{x}\cdot \frac{1-x^2}{x-1}=1-\frac{x-2}{x}}$
    Rešitev:    $x=-3$
24. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{x-0,1}{x-0,2}=\frac{x+0,\bar{1}}{x+0,\bar{2}}}$
    Rešitev:    $x=0$
25. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{2}{3x-6}+\frac{1}{4-2x}=\frac{2}{x^2-4}}$
    Rešitev:    $x=10$
26. V omrežju Mobyfon stane ena ura telefonskih pogovorov 2,40 €. Izračunaj:
    

    (a)   Koliko stane ena minuta pogovora?

    (b)   Koliko stane ena ura in 20 minut pogovora?

    (c)   Koliko časa lahko telefoniraš za 1 evro?

    Rešitev:    (a)  0,04 €,     (b)  3,20 €,     (c)  25 minut
27. V razredu je 30 učencev, od teh je 20% negativnih. Med pozitivnimi učenci je ena šestina zadostnih, ena tretjina dobrih, tri osmine prav dobrih, ostali pa so odlični. Izračunaj število odličnih učencev.
    Rešitev:    Odlični so 3 učenci.
28. Razmerje med moškimi in ženskami v razredu je $3:4$, razmerje med odličnimi, prav dobrimi, dobrimi, zadostnimi in nezadostnimi pa je $1:2:5:4:2$. Poleg tega vemo, da nobena od žensk ni niti odlična niti nezadostna, pač pa so 3 ženske prav dobre, 6 je dobrih, 7 pa zadostnih. Izračunaj, koliko moških je odličnih, koliko prav dobrih, koliko dobrih, koliko zadostnih in koliko nezadostnih.
    Rešitev:    2 moška sta odlična, 1 moški je prav dober, 4 so dobri, 1 je zadosten, 4 pa so nezadostni.
29. Alenka, Barbara in Cvetka so si razdelile 174 € tako, da je dobila Barbara 10% več kot Alenka, Cvetka pa 20% manj kot Alenka. Izračunaj, koliko je dobila Alenka, koliko Barbara in koliko Cvetka.
    Rešitev:    Alenka je dobila 60 €, Barbara 66 € in Cvetka 48 €.
30. Mobilni telefon Nyokia je stal 80 €. Potem se je podražil za 16%, pozneje pa se je pocenil za 15%. Izračunaj, koliko stane zdaj. Izračunaj tudi, za koliko procentov je zdaj dražji oziroma cenejši kot v začetku.
    Rešitev:    Zdaj stane 78,88 € in je za 1,4% cenejši kot v začetku.
31. Knjiga Matematika za telebane se je podražila za 15%, nato pa še za 20% in zdaj stane 71,76 €. Izračunaj, koliko je stala pred prvo podražitvijo.
    Rešitev:    Stala je 52 €.
32. Mihec zbira sličice Šokemon. Januarja jih je kupil 70, stale pa so po 1,25 € (vsaka). V začetku februarja so se podražile za 12%, zato jih je kupil februarja za 10% manj kot januarja. Izračunaj, koliko evrov več oziroma manj je porabil za sličice februarja (v primerjavi z januarjem)
    Rešitev:    Porabil je 0,70 € več.
33. Izračunaj, koliko procentno raztopino alkohola dobimo, če zmešamo devetdesetprocentni alkohol z vodo v razmerju $2:7$.
    Rešitev:    Dobimo 20-procentno raztopino.
34. V posodi imamo 220 gramov 95-odstotne kisline. Izračunaj, koliko gramov 60-odstotne kisline moramo dodati,
    

    (a)   da bomo dobili 80-odstotno raztopino kisline,

    (b)   da bomo dobili 85-odstotno raztopino kisline.

    Rešitev:    Dodati moramo:  (a)  165 g,     (b)  88 g   60-odstotne kisline.
35. Poenostavi naslednja izraza. Upoštevaj vse možne vrednosti za spremenljivko $x$.
    

    (a)   $x+|x-2|$

    (b)   $2x+3-|x+1|$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\{\begin{array}{ll}2x-2;& \mathrm{za}x⩾2\\ 2;& \mathrm{za}x<2\end{array}$;     (b)  $\cdots =\{\begin{array}{ll}x+2;& \mathrm{za}x⩾-1\\ 3x+4;& \mathrm{za}x<-1\end{array}$
36. Poenostavi naslednja izraza. Upoštevaj vse možne vrednosti za spremenljivko $x$.
    

    (a)   $|x-2|+|x+1|$

    (b)   $|x|-|x-3|$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\{\begin{array}{ll}-2x+1;& \mathrm{za}x\in (-\mathrm{\infty },-1)\\ 3;& \mathrm{za}x\in [-1,2)\\ 2x-1;& \mathrm{za}x\in [2,\mathrm{\infty })\end{array}$;     (b)  $\cdots =\{\begin{array}{ll}-3;& \mathrm{za}x\in (-\mathrm{\infty },0)\\ 2x-3;& \mathrm{za}x\in [0,3)\\ 3;& \mathrm{za}x\in [3,\mathrm{\infty })\end{array}$
37. Reši enačbe:
    

    (a)   $|x-3|=2$

    (b)   $|x-3|=2x$

    (c)   $12-|x-3|=2x-6$

    (d)   $1+|x-3|=\frac{1}{3}x-1$

    Rešitev:    (a)  $x_1=1,x_2=5$;     (b)  $x=1$;     (c)  $x=7$;     (d)  enačba nima rešitve
38. Reši enačbo:  ${\displaystyle \frac{x^2+7x-10}{x^2+|x|-2}=1}$
    Rešitev:    $x=\frac{4}{3}$
39. Reši enačbo:  ${\displaystyle \frac{1}{|x-2|-2}=\frac{2x-5}{x^2-4x}}$
    Rešitev:    $x=5$
40. Reši enačbo:  $|x^{-1}-x^{-2}|=1-x^{-2}$
    Rešitev:    $x_1=-2,x_2=1$
41. Reši enačbo:  $|2x|+x=|\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}|$
    Rešitev:    $x_1=-1,x_2=\frac{1}{7}$
42. Reši enačbo:  $|x-1|+|x-3|=2$
    Rešitev:    vsak $x\in [1,3]$
43. Reši enačbo:  $|3-|x||=\frac{1}{3}x+5$
    Rešitev:    $x_1=-6,x_2=12$

 Domov