Naravna in cela števila

Naravna in cela števila

Računanje z naravnimi in celimi števili

Izračunaj brez kalkulatorja:

(a)   \(\Big(-\big(1-(-2)(-1)\big)-2-(-1)\cdot(-2)\Big)\cdot(-1)-2\cdot(-1)\)

(b)   \(-\Big(\big(1-(-2)\big)\cdot3-3\Big)(-2)-(-1)\Big(1-2\cdot\big(3-(-3)\big)\Big)\cdot2-1\)

(c)   \(\Big(-2^4-(-2)^2\Big)\cdot(-2)^3+2^5\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=5\),     (b)  \(\cdots=-11\),     (c)  \(\cdots=192\)
Izračunaj števila \(a,~ b,~ c,~ d\) in jih uredi po velikosti od najmanjšega do največjega:

\(a=(-1-2)\cdot4-3\cdot(1-(-5))\cdot2\)

\(b=(-5+2\cdot(7-3)\cdot3+1)\cdot2\)

\(c=(-5^2)\cdot3+2\cdot(-4)^2\)

\(d=(-1^4+7)\cdot4+(1-3)^3\cdot3\)
Rešitev: \(a=-48,~ b=40,~ c=-43,~ d=0;~~~~ a\lt c\lt d\lt b\)

Matematični izrazi in enačbe

Poenostavi naslednje izraze s potencami:

(a)   \(u^3v^5(u^2v^3)^5(-2u)^4(v^3)^5\)

(b)   \(a^2\big(-a^2\big)^3\cdot(-1)^n \cdot \big(-ab^2\big)^2\cdot (-1)^n \cdot b\)

(c)   \((-1)^{n+1}\cdot(-a^2)(-b)^2\cdot (-1)^{n+2}(-a)^3(-ab^2)^2\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=16u^{17}v^{35}\),     (b)  \(\cdots=-a^{10}b^5\),     (c)  \(\cdots=-a^7b^6\)
Poenostavi naslednje izraze s potencami:

(a)   \(\left(2xy(xy^2)^2\right)^2+y^3\cdot(x^2y)^3\cdot(y^2)^2\)

(b)   \(\big(-2ab^2\big)^3(-a^2b^4)a^5b^2+a^4\big(a(-ab^3)^2\big)^2\)

(c)   \(\big(2a^3\big)^3 \big(ab^2\big)^2-a^7\big(ab\big)^4\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=4x^6y^{10}+x^6y^{10}=5x^6y^{10}\),     (b)  \(\cdots=8a^{10}b^{12}+a^{10}b^{12}=9a^{10}b^{12}\),     (c)  \(\cdots=8a^{11}b^4-a^{11}b^4=7a^{11}b^4\)
Razčleni (odpravi oklepaje in zapiši izraz kot vsoto členov):

(a)   \((2x-6)^2\)

(b)   \((4x-5)^3\)

(c)   \((x+4)^3-x(x+6)^2\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=4x^2-24x+36\),     (b)  \(\cdots=64x^3 - 240x^2 + 300x - 125\),     (c)  \(\cdots=12x+64\)
Razčleni (odpravi oklepaje in zapiši izraz kot vsoto členov):

(a)   \(\big((x+2y)^2+(x-2y)^2 \big)^2\)

(b)   \(((x+5)^2-x^2 )^2\)

(c)   \((2x+1)^2-(x-6)^2\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=4x^4 + 32x^2y^2 + 64y^4\),     (b)  \(\cdots=100x^2 + 500x + 625\),     (c)  \(\cdots=3x^2 + 16x - 35\)
Razčleni (preoblikuj v obliko vsote členov):

(a)   \((m-4)(m^2+2m-1)-(m-4)(m^2+m+4)\)

(b)   \(\left(a^2-(a-1)^2\right)^2\)

(c)   \((b-1)(b-2)(b+1)(b+2)\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=m^2-9m+20\),     (b)  \(\cdots=4a^2-4a+1\),     (c)  \(\cdots=b^4-5b^2+4\)
Razčleni (preoblikuj v obliko vsote členov):

(a)   \(\big( (x+2)^2-(x-2)^2 \big)^2 - (8x-1)^2\)

(b)   \((3x-1)^3+(3x-1)^2\)

(c)   \((m-2)(m+2)^2-(m+2)(m-2)^2\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=16x-1\),     (b)  \(\cdots=27x^3-18x^2+3x\),     (c)  \(\cdots=4m^2-16\)
Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):

(a)   \(2x^4+5x^3\)

(b)   \(a^3b+a^2b^2+ab^3\)

(c)   \(m^2n^2+mn^3+mn^2\)
Namig:    Pomagaj si z izpostavljanjem.
Rešitev:    (a)  \(\cdots=x^3(2x+5)\),     (b)  \(\cdots=ab(a^2+ab+b^2)\),     (c)  \(\cdots=mn^2(m+n+1)\)
Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):

(a)   \(a^2-9\)

(b)   \(16x^2-25y^2z^4\)

(c)   \(x^2-(y+2)^2\)

(d)   \(h^2-8h+16-k^2\)
Namig:    Uporabi formulo za razliko kvadratov: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(a-3)(a+3)\),     (b)  \(\cdots=(4x-5yz^2)(4x+5yz^2)\),     (c)  \(\cdots=(x-y-2)(x+y+2)\),     (d)  \(\cdots=(h-k-4)(h+k-4)\)
Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):

(a)   \(a^3-8\)

(b)   \(27c^3+125d^3\)

(c)   \((u+3)^3+u^3\)
Namig:    Uporabi formulo za razliko oziroma vsoto kubov: \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(a-2)(a^2+2a+4)\),     (b)  \(\cdots=(3c+5d)(9c^2-15cd+25d^2)\),     (c)  \(\cdots=((u+3)+u)((u+3)^2-(u+3)u+u^2)=(2u+3)(u^2+3u+9)\)
Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):

(a)   \(x^2+6x+8\)

(b)   \(a^2-2a-15\)

(c)   \(m^2-32m+60\)
Namig:    Uporabi Viètovo formulo za razcep: \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x+2)(x+4)\),     (b)  \(\cdots=(a-5)(a+3)\),     (c)  \(\cdots=(m-2)(m-30)\)
Razstavi (razcepi) naslednje izraze:

(a)   \(x^3-5x^2-4x+20\)

(b)   \(x^3-5x^2+4x-20\)

(c)   \(x^4+3x^3-9x^2-27x\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-5)(x-2)(x+2)\),     (b)  \(\cdots=(x-5)(x^2+4)\),     (c)  \(\cdots=x(x-3)(x+3)^2\)
Razstavi naslednje izraze:

(a)   \(x^4-10x^2+9\)

(b)   \(x^4-3x^2-4\)

(c)   \(x^6-26x^3-27\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\),     (b)  \(\cdots=(x-2)(x+2)(x^2+1)\),     (c)  \(\cdots=(x+1)(x^2-x+1)(x-3)(x^2+3x+9)\)
Razstavi naslednje izraze:

(a)   \(x^5-2x^4-8x^3+16x^2-9x+18\)

(b)   \(y^6-2y^5-8y^4+16y^3+16y^2-32y\)

(c)   \(z^5-2z^4-8z^3-8z^2+16z+64\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-2)(x-3)(x+3)(x^2+1)\),     (b)  \(\cdots=y(y-2)^3(y+2)^2\),     (c)  \(\cdots=(z-4)(z+2)(z-2)(z^2+2z+4)\)
Razstavi naslednje izraze:

(a)   \(2a^2-6a-20\)

(b)   \(2b^2+3b-2\)

(c)   \(6c^2-13c-5\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=2(a-5)(a+2)\),     (b)  \(\cdots=(2b-1)(b+2)\),     (c)  \(\cdots=(2c-5)(3c+1)\)
Razstavi naslednje izraze:

(a)   \((2x-1)^2-(x-2)^2\)

(b)   \((3x+1)^2-(x-2)^2\)

(c)   \(x^2-6x+9-y^2\)

(d)   \(1-a^2+4ab-4b^2\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=3(x-1)(x+1)\),     (b)  \(\cdots=(4x-1)(2x+3)\),     (c)  \(\cdots=(x+y-3)(x-y-3)\),     (d)  \(\cdots=(a-2b+1)(2b-a+1)\)
Razstavi naslednje izraze:

(a)   \(8x^3-(x-3)^3\)

(b)   \((2x-1)^3-(x+2)^3\)

(c)   \((3x-2)^3+(x+4)^3\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x+3)(7x^2-12x+9)\),     (b)  \(\cdots=(x-3)(7x^2+3x+3)\),     (c)  \(\cdots=14(2x+1)(x^2-2x+4)\)
Razstavi naslednje izraze:

(a)   \(x^6-16x^2\)

(b)   \(x^2-y^2+8y-16\)

(c)   \(x^3+2x^2-8x+\mu x^2+2\mu x-8\mu\)

(d)   \(a^2-4b^2+3a-6b\)

(e)   \((u+2)^3-2(u+7)^2+26\)

(f)   \(2m^5+9m^4-5m^3+2m^2+9m-5\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=x^2(x-2)(x+2)(x^2+4)\),     (b)  \(\cdots=(x-y+4)(x+y-4)\),     (c)  \(\cdots=(x-2)(x+4)(x+\mu)\),     (d)  \(\cdots=(a-2b)(a+2b+3)\),     (e)  \(\cdots=(u+4)^2(u-4)\),     (f)  \(\cdots=(2m-1)(m+5)(m+1)(m^2-m+1)\)
Faktoriziraj (preoblikuj v obliko produkta faktorjev):

(a)   \(x^5-2x^4-16x+32\)

(b)   \(a^3-8-2ab+4b\)

(c)   \(b^5-4b^3-8b^2+32\)

(d)   \(a^2+2ab+b^2-25\)

(e)   \(a^3-8+a^2b+2ab+4b\)
Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-2)^2(x+2)(x^2+4)\),     (b)  \(\cdots=(a-2)(a^2+2a+4-2b)\),     (c)  \(\cdots=(b-2)^2(b+2)(b^2+2b+4)\),     (d)  \(\cdots=(a+b+5)(a+b-5)\),     (e)  \(\cdots=(a+b-2)(a^2+2a+4)\)
Dan je izraz: \((5m+2)^2-(3m-1)^2\)

(a)   Razčleni ta izraz.

(b)   Razcepi ta izraz.
Rešitev:    (a)  \(\cdots=16m^2+26m+3\),     (b)  \(\cdots=(8m+1)(2m+3)\)
Dan je izraz: \((2x-1)^3+(x+4)^3\)

(a)   Razčleni ta izraz.

(b)   Razcepi ta izraz.
Rešitev:    (a)  \(\cdots=9x^3+54x+63\),     (b)  \(\cdots=9(x+1)(x^2-x+7)\)
Reši naslednje enačbe:

(a)   \(x^2-4=0\)

(b)   \(x^3=9x\)

(c)   \(x^3+8=2x^2+4x\)

(d)   \(x^4+x^3=20x^2\)
Rešitev:    (a)  \(x_1=2,~ x_2=-2\),     (b)  \(x_1=3,~ x_2=-3,~ x_3=0\),     (c)  \(x_1=2,~ x_2=-2\),     (d)  \(x_1=0,~ x_2=-5,~ x_3=4\)
Reši naslednje enačbe:

(a)   \(x(x^2+3x-4)=12\)

(b)   \(x(x^2+x-6)=7(x^2+x-6)\)

(c)   \((x-2)^2=x^5-x^4-5x^3+6x^2\)

(d)   \((x-3)^3=31x-63\)
Rešitev:    (a)  \(x_1=2,~ x_2=-2,~ x_3=-3\),     (b)  \(x_1=-3,~ x_2=2,~ x_3=7\),     (c)  \(x_1=-2,~ x_2=-1,~ x_3=1,~ x_4=2\),     (d)  \(x_1=-2,~ x_2=2,~ x_3=9\)
Reši naslednje enačbe:

(a)   \((x-1)^2(x+1)^2=2x^2+1\)

(b)   \((2x+8)^2-(x+10)^2=0\)

(c)   \(x^2(x-7)=x-7\)

(d)   \((x-2)^3=x^3-26\)
Rešitev:    (a)  \(x_1=-2,~ x_2=0,~ x_3=2\),     (b)  \(x_1=2,~ x_2=-6\),     (c)  \(x_1=7,~ x_2=1,~ x_3=-1\),     (d)  \(x_1=3,~ x_2=-1\)

Deljivost

Dano je število \(122\,334\). Ugotovi, ali je to število:

(a)   deljivo z 2,

(b)   deljivo s 3,

(c)   deljivo s 4,

(d)   deljivo s 5,

(e)   deljivo s 6.
Rešitev:    To število: (a)  je deljivo z 2,     (b)  je deljivo s 3,     (c)  ni deljivo s 4,     (d)  ni deljivo s 5,     (e)  je deljivo s 6
Določi neznano števko \(a\) tako, da bo število \(\overline{1234a}\)

(a)   deljivo z 2,

(b)   deljivo s 3,

(c)   deljivo s 5.
Rešitev:    (a)  \(a\in\{0,2,4,6,8\}\),     (b)  \(a\in\{2,5,8\}\),     (c)  \(a\in\{0,5\}\)
Določi števki \(a\) in \(b\) tako, da bo število \(x=\overline{54a78b}\) deljivo s 15. Zapiši vse možnosti za število \(x\).
Rešitev: \(540\,780,~ 543\,780,~ 546\,780\), \(549\,780,~ 541\,785\), \(544\,785,~ 547\,785\)
Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo:

(a)   51

(b)   53

(c)   67

(d)   87
Rešitev:    (a)  51 ni praštevilo,     (b)  53 je praštevilo,     (c)  67 je praštevilo,     (d)  87 ni praštevilo
Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo. Število, ki ni praštevilo, zapiši kot produkt praštevil.

(a)   577

(b)   579

(c)   589

(d)   599
Rešitev:    (a)  577 je praštevilo,     (b)  579 ni praštevilo \((579=3\cdot193)\),     (c)  589 ni praštevilo \((589=19\cdot31)\),     (d)  599 je praštevilo
Razcepi naslednja števila na prafaktorje:

(a)   980

(b)   981

(c)   989

(d)   990
Rešitev:    (a)  \(980=2^2\cdot5\cdot7^2\),     (b)  \(981=3^2\cdot109\),     (c)  \(989=23\cdot43\),     (d)  \(990=2\cdot3^2\cdot5\cdot11\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 702 in 936.
Rešitev: \(D=234,~~ v=2808\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 3696 in 3332.
Rešitev: \(D=28,~~ v=439\,824\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 5054 in 6435.
Rešitev: \(D=1,~~ v=32\,522\,490\) (števili sta tuji)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 7663 in 6557.
Rešitev: \(D=79,~~ v=636\,029\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 14 309 in 16 403.
Rešitev: \(D=349,~ v=672\,523\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 2001, 2088 in 2668.
Rešitev: \(D=29,~ v=48\,024\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 8303, 3059 in 3703.
Rešitev: \(D=23,~~ v=1\,336\,783\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 728, 686, 546 in 420.
Rešitev: \(D=14,~~ v=535\,080\)
Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik

(a)   števil 8137 in 9991,

(b)   izrazov \(x^6-x^5\) in \(x^6-2x^4+x^2\).
Rešitev:    (a)  \(D=103,~ v=789\,289\),     (b)  \(D=x^2(x-1),~ v=x^5(x-1)^2(x+1)^2\)
Dokaži, da je število \(A=n+3\) za vsak \(n\in\mathbb{N}\) delitelj števila \(B=n^3+3n^2+2n+6\).
Rešitev: \(B=A\cdot (n^2+2)\), torej je \(B\) večkratnik števila \(A\).
Dokaži, da je število \(A=2n^3+5n^2-3n\) za vsak \(n\in\mathbb{Z}\) večkratnik števila \(B=n^2+3n\).
Rešitev: \(A=B\cdot (2n-1)\)
Dokaži, da za \(\forall n\in\mathbb{Z}\) velja:

(a)   \(n^2+n-6~|~n^3+3n^2-4n-12\)

(b)   \(4n+4~|~9n^2-(n-2)^2\)

(c)   \(3n^2+3n+1~|~(2n+1)^3+(n+1)^3\)
Rešitev:    (a)  \(n^3+3n^2-4n-12=(n^2+n-6)(n+2)\),     (b)  \(9n^2-(n-2)^2=(4n+4)(2n-1)\),     (c)  \((2n+1)^3+(n+1)^3=(3n^2+3n+1)(3n+2)\)
Dokaži, da za poljubni celi števili \(a\) in \(b\) velja: \(a+b-2 ~\Big|~ a^3-8+a^2b+2ab+4b\)
Rešitev: \(a^3-8+a^2b+2ab+4b=(a+b-2)(a^2+2a+4)\)
Dokaži, da za poljubni celi števili \(x\) in \(y\) velja: \((x-3y+4)~\Big|~ (x^2-6xy+9y^2-16)\)
Rešitev: \(x^2-6xy+9y^2-16=(x-3y-4)(x-3y+4)\)
Če naravno število \(a\) delimo s 6, dobimo ostanek 2. Dokaži, da je v tem primeru število \(b=a^2+4a\) zagotovo deljivo z 12.
Rešitev: \(a=6n+2\) (za \(n\in\mathbb{N}_0\)), torej je \(b=36n^2+48n+12=12(3n^2+4n+1)\)
Naravno število \(a\) ima pri deljenju s 7 ostanek 3. Dokaži, da \(a+11\) ni praštevilo.
Rešitev: \(a=7n+3\) (za \(n\in\mathbb{N}_0\)), torej je \(a+11=7n+14=7(n+2)\). Produkt dveh naravnih števil večjih od 1 ne more biti praštevilo.
Dokaži, da je razlika kvadratov dveh zaporednih lihih števil vedno deljiva z 8.
Rešitev: Izračunamo: \((2n+1)^2-(2n-1)^2= (4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)=8n\). Rezultat je očitno deljiv z 8
Dokaži trditev: Če od kvadrata poljubnega lihega naravnega števila odštejemo 1, je rezultat vedno deljiv z 8.
Rešitev: Izračunamo: \((2n-1)^2-1= 4n^2-4n+1-1=4n^2-4n=4n(n-1)\). To število je očitno deljivo s 4. Velja pa celo več: ker se števili \(n\) in \((n-1)\) razlikujeta za 1, je eno od teh dveh števil sodo drugo pa liho. Njun produkt \(n(n-1)\) je vedno sodo število in zato je \(4n(n-1)\) zagotovo deljivo z 8.
Poišči naravni števili \(a\) in \(b\), za kateri velja: \(v(a,b)=4991\) in \(a+b=378\).
Rešitev: \(a=161,~b=217\) ali obratno

Številski sistemi

Naslednja števila pretvori v šestnajstiški sistem:

(a)   \(1350\)

(b)   \(9663\)

(c)   \(1101111001_{(2)}\)

(d)   \(666_{(7)}\)
Rešitev:    (a)  \(1350=546_{(16)}\),     (b)  \(9663=25\mathrm{BF}_{(16)}\),     (c)  \(1101111001_{(2)}=379_{(16)}\),     (d)  \(666_{(7)}=156_{(16)}\)
Naslednja števila zapiši v številskem sestavu z osnovo 7:

(a)   \(2016\)

(b)   \(22114_{(5)}\)

(c)   \(10\mathrm{AB}_{(12)}\)
Rešitev:    (a)  \(2016=5610_{(7)}\),     (b)  \(22114_{(5)}=4321_{(7)}\),     (c)  \(10\mathrm{AB}_{(12)}=5264_{(7)}\)
Ugotovi, v katerem številskem sistemu velja naslednji račun: \(24306_{(x)}+12752_{(x)}=37158_{(x)}\)
Rešitev: Velja v devetiškem sistemu \((x=9).\)

Domov