Naravna in cela števila

Računanje z naravnimi in celimi števili

1. Izračunaj:   $-((1-(-2))\cdot 3-3)(-2)-(-1)(1-2\cdot (3-(-3)))\cdot 2-1$
   Rešitev:    $\cdots =-11$
2. Izračunaj števila $a,b,c,d$ in jih uredi po velikosti od najmanjšega do največjega:
   

   $a=(-1-2)\cdot 4-3\cdot (1-(-5))\cdot 2$

   $b=(-5+2\cdot (7-3)\cdot 3+1)\cdot 2$

   $c=(-5^2)\cdot 3+2\cdot (-4{)}^2$

   $d=(-1^4+7)\cdot 4+(1-3{)}^3\cdot 3$

   Rešitev:    $a=-48,b=40,c=-43,d=0;a<c<d<b$

Matematični izrazi in enačbe

3. Poenostavi naslednje izraze s potencami:
   

   (a)   $u^3{v}^5(u^2{v}^3{)}^5(-2u{)}^4(v^3{)}^5$

   (b)   $(-1{)}^{n+1}\cdot (-a^2)(-b{)}^2\cdot (-1{)}^{n+2}(-a{)}^3(-a{b}^2{)}^2$

   (c)   ${(2xy(x{y}^2{)}^2)}^2+y^3\cdot (x^{2}y{)}^3\cdot (y^2{)}^2$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =16u^{17}{v}^{35}$,     (b)  $\cdots =-a^7{b}^6$,     (c)  $\cdots =4x^6{y}^{10}+x^6{y}^{10}=5x^6{y}^{10}$
4. Razčleni (odpravi oklepaje in zapiši izraz kot vsoto členov):
   

   (a)   $(2x-6{)}^2$

   (b)   $(4x-5{)}^3$

   (c)   $(x+4{)}^3-x(x+6{)}^2$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =4x^2-24x+36$,     (b)  $\cdots =64x^3-240x^2+300x-125$,     (c)  $\cdots =12x+64$
5. Razčleni (odpravi oklepaje in zapiši izraz kot vsoto členov):
   

   (a)   $((x+2y{)}^2+(x-2y{)}^2{)}^2$

   (b)   $((x+5{)}^2-x^2{)}^2$

   (c)   $(2x+1{)}^2-(x-6{)}^2$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =4x^4+32x^2{y}^2+64y^4$,     (b)  $\cdots =100x^2+500x+625$,     (c)  $\cdots =3x^2+16x-35$
6. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   $2x^4+5x^3$

   (b)   $a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3$

   (c)   $m^2{n}^2+m{n}^3+m{n}^2$

   Namig:    Pomagaj si z izpostavljanjem.
   Rešitev:    (a)  $\cdots =x^3(2x+5)$,     (b)  $\cdots =ab(a^2+ab+b^2)$,     (c)  $\cdots =m{n}^2(m+n+1)$
7. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   $a^2-9$

   (b)   $16x^2-25y^2{z}^4$

   (c)   $x^2-(y+2{)}^2$

   (d)   $h^2-8h+16-k^2$

   Namig:    Uporabi formulo za razliko kvadratov: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
   Rešitev:    (a)  $\cdots =(a-3)(a+3)$,     (b)  $\cdots =(4x-5y{z}^2)(4x+5y{z}^2)$,     (c)  $\cdots =(x-y-2)(x+y+2)$,     (d)  $\cdots =(h-k-4)(h+k-4)$
8. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   $a^3-8$

   (b)   $27c^3+125d^3$

   (c)   $(u+3{)}^3+u^3$

   Namig:    Uporabi formulo za razliko oziroma vsoto kubov: $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
   Rešitev:    (a)  $\cdots =(a-2)(a^2+2a+4)$,     (b)  $\cdots =(3c+5d)(9c^2-15cd+25d^2)$,     (c)  $\cdots =((u+3)+u)((u+3{)}^2-(u+3)u+u^2)=(2u+3)(u^2+3u+9)$
9. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   $x^2+6x+8$

   (b)   $a^2-2a-15$

   (c)   $m^2-32m+60$

   Namig:    Uporabi Viètovo formulo za razcep: $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
   Rešitev:    (a)  $\cdots =(x+2)(x+4)$,     (b)  $\cdots =(a-5)(a+3)$,     (c)  $\cdots =(m-2)(m-30)$
10. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   $x^3-5x^2-4x+20$

    (b)   $x^3-5x^2+4x-20$

    (c)   $x^4+3x^3-9x^2-27x$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =(x-5)(x-2)(x+2)$,     (b)  $\cdots =(x-5)(x^2+4)$,     (c)  $\cdots =x(x-3)(x+3{)}^2$
11. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   $x^4-10x^2+9$

    (b)   $x^4-3x^2-4$

    (c)   $x^6-26x^3-27$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$,     (b)  $\cdots =(x-2)(x+2)(x^2+1)$,     (c)  $\cdots =(x+1)(x^2-x+1)(x-3)(x^2+3x+9)$
12. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   $x^5-2x^4-8x^3+16x^2-9x+18$

    (b)   $y^6-2y^5-8y^4+16y^3+16y^2-32y$

    (c)   $z^5-2z^4-8z^3-8z^2+16z+64$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =(x-2)(x-3)(x+3)(x^2+1)$,     (b)  $\cdots =y(y-2{)}^3(y+2{)}^2$,     (c)  $\cdots =(z-4)(z+2)(z-2)(z^2+2z+4)$
13. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   $2a^2-6a-20$

    (b)   $2b^2+3b-2$

    (c)   $6c^2-13c-5$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =2(a-5)(a+2)$,     (b)  $\cdots =(2b-1)(b+2)$,     (c)  $\cdots =(2c-5)(3c+1)$
14. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   $(2x-1{)}^2-(x-2{)}^2$

    (b)   $(3x+1{)}^2-(x-2{)}^2$

    (c)   $x^2-6x+9-y^2$

    (d)   $1-a^2+4ab-4b^2$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =3(x-1)(x+1)$,     (b)  $\cdots =(4x-1)(2x+3)$,     (c)  $\cdots =(x+y-3)(x-y-3)$,     (d)  $\cdots =(a-2b+1)(2b-a+1)$
15. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   $8x^3-(x-3{)}^3$

    (b)   $(2x-1{)}^3-(x+2{)}^3$

    (c)   $(3x-2{)}^3+(x+4{)}^3$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =(x+3)(7x^2-12x+9)$,     (b)  $\cdots =(x-3)(7x^2+3x+3)$,     (c)  $\cdots =14(2x+1)(x^2-2x+4)$
16. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   $x^6-16x^2$

    (b)   $x^2-y^2+8y-16$

    (c)   $x^3+2x^2-8x+\mu x^2+2\mu x-8\mu$

    (d)   $a^2-4b^2+3a-6b$

    (e)   $(u+2{)}^3-2(u+7{)}^2+26$

    (f)   $2m^5+9m^4-5m^3+2m^2+9m-5$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =x^2(x-2)(x+2)(x^2+4)$,     (b)  $\cdots =(x-y+4)(x+y-4)$,     (c)  $\cdots =(x-2)(x+4)(x+\mu )$,     (d)  $\cdots =(a-2b)(a+2b+3)$,     (e)  $\cdots =(u+4{)}^2(u-4)$,     (f)  $\cdots =(2m-1)(m+5)(m+1)(m^2-m+1)$
17. Reši naslednje enačbe:
    

    (a)   $x^2-4=0$

    (b)   $x^3=9x$

    (c)   $x^3+8=2x^2+4x$

    (d)   $x^4+x^3=20x^2$

    Rešitev:    (a)  $x_1=2,x_2=-2$,     (b)  $x_1=3,x_2=-3,x_3=0$,     (c)  $x_1=2,x_2=-2$,     (d)  $x_1=0,x_2=-5,x_3=4$
18. Reši naslednje enačbe:
    

    (a)   $x(x^2+3x-4)=12$

    (b)   $x(x^2+x-6)=7(x^2+x-6)$

    (c)   $(x-2{)}^2=x^5-x^4-5x^3+6x^2$

    (d)   $(x-3{)}^3=31x-63$

    Rešitev:    (a)  $x_1=2,x_2=-2,x_3=-3$,     (b)  $x_1=-3,x_2=2,x_3=7$,     (c)  $x_1=-2,x_2=-1,x_3=1,x_4=2$,     (d)  $x_1=-2,x_2=2,x_3=9$

Deljivost

19. Dano je število $122334$. Ugotovi, ali je to število:
    

    (a)   deljivo z 2,

    (b)   deljivo s 3,

    (c)   deljivo s 4,

    (d)   deljivo s 5,

    (e)   deljivo s 6.

    Rešitev:    To število: (a)  je deljivo z 2,     (b)  je deljivo s 3,     (c)  ni deljivo s 4,     (d)  ni deljivo s 5,     (e)  je deljivo s 6
20. Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo:
    

    (a)   51

    (b)   53

    (c)   67

    (d)   87

    Rešitev:    (a)  51 ni praštevilo,     (b)  53 je praštevilo,     (c)  67 je praštevilo,     (d)  87 ni praštevilo
21. Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo. Število, ki ni praštevilo, zapiši kot produkt praštevil.
    

    (a)   577

    (b)   579

    (c)   589

    (d)   599

    Rešitev:    (a)  577 je praštevilo,     (b)  579 ni praštevilo $(579=3\cdot 193)$,     (c)  589 ni praštevilo $(589=19\cdot 31)$,     (d)  599 je praštevilo
22. Razcepi naslednja števila na prafaktorje:
    

    (a)   980

    (b)   981

    (c)   989

    (d)   990

    Rešitev:    (a)  $980=2^2\cdot 5\cdot 7^2$,     (b)  $981=3^2\cdot 109$,     (c)  $989=23\cdot 43$,     (d)  $990=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 11$
23. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 702 in 936.
    Rešitev:    $D=234,v=2808$
24. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 3696 in 3332.
    Rešitev:    $D=28,v=439824$
25. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 5054 in 6435.
    Rešitev:    $D=1,v=32522490$   (števili sta tuji)
26. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 7663 in 6557.
    Rešitev:    $D=79,v=636029$
27. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 8303,  3059 in 3703.
    Rešitev:    $D=23,v=1336783$
28. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 728,  686,  546 in 420.
    Rešitev:    $D=14,v=535080$
29. Naslednja števila pretvori v šestnajstiški sistem:
    

    (a)   $1350$

    (b)   $9663$

    (c)   ${1101111001}_{[2]}$

    (d)   ${666}_{[7]}$

    Rešitev:    (a)  $1350={546}_{[16]}$,     (b)  $9663=25{\mathrm{BF}}_{[16]}$,     (c)  ${1101111001}_{[2]}={379}_{[16]}$,     (d)  ${666}_{[7]}={156}_{[16]}$
30. Ugotovi, v katerem številskem sistemu velja naslednji račun:    ${24306}_{[x]}+{12752}_{[x]}={37158}_{[x]}$
    Rešitev:    Velja v devetiškem sistemu $(x=9).$
31. Dokaži, da je število $A=n+3$ za vsak $n\in \mathbb{N}$ delitelj števila $B=n^3+3n^2+2n+6$.
    Rešitev:    $B=A\cdot (n^2+2)$, torej je $B$ večkratnik števila $A$.
32. Dokaži, da je število $A=2n^3+5n^2-3n$ za vsak $n\in \mathbb{Z}$ večkratnik števila $B=n^2+3n$.
    Rešitev:    $A=B\cdot (2n-1)$
33. Dokaži, da za $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$ velja:
    

    (a)   $n^2+n-6|n^3+3n^2-4n-12$

    (b)   $4n+4|9n^2-(n-2{)}^2$

    (c)   $3n^2+3n+1|(2n+1{)}^3+(n+1{)}^3$

    Rešitev:    (a)  $n^3+3n^2-4n-12=(n^2+n-6)(n+2)$,     (b)  $9n^2-(n-2{)}^2=(4n+4)(2n-1)$,     (c)  $(2n+1{)}^3+(n+1{)}^3=(3n^2+3n+1)(3n+2)$
34. Dokaži, da je razlika kvadratov dveh zaporednih lihih števil vedno deljiva z 8.
    Rešitev:    Izračunamo: $(2n+1{)}^2-(2n-1{)}^2=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)=8n$. Rezultat je očitno deljiv z 8
35. Dokaži trditev: Če od kvadrata poljubnega lihega naravnega števila odštejemo 1, je rezultat vedno deljiv z 8.
    Rešitev:    Izračunamo: $(2n-1{)}^2-1=4n^2-4n+1-1=4n^2-4n=4n(n-1)$. To število je očitno deljivo s 4. Velja pa celo več: ker se števili $n$ in $(n-1)$ razlikujeta za 1, je eno od teh dveh števil sodo drugo pa liho. Njun produkt $n(n-1)$ je vedno sodo število in zato je $4n(n-1)$ zagotovo deljivo z 8.

 Domov