Izjave in množice

Izjave

1. Ugotovi, katera od naslednjih izjav je pravilna in katera napačna:
   

   (a)   Število 2 je praštevilo, ali pa je število 17 sodo.

   (b)   Število 2 je praštevilo in število 17 je sodo.

   (c)   Ni res, da je število 7 večje od 2 in število 8 manjše od 2.

   (d)   Če je 27 praštevilo, potem je število 7 edina rešitev enačbe \({\displaystyle\frac{x+\sqrt{x+2}}{x-2}=2}\).

   Rešitev:    Izjava je:   (a)  pravilna,     (b)  napačna,     (c)  pravilna,     (d)  pravilna.
2. Zapiši pravilnostno tabelo za izjavo:   \((\lnot A \land \lnot B)\Longleftrightarrow \lnot (A \land B)\)
   Rešitev:
   
   \(\begin{array}{cc|c} A & B & (\lnot A \land \lnot B)\Longleftrightarrow \lnot (A \land B) \cr\hline p & p & p \cr p & n & n \cr n & p & n \cr n & n & p \end{array}\)
3. Zapiši pravilnostno tabelo za izjavo:   \((A \land B) \Rightarrow \lnot C\)
   Rešitev:
   
   \(\begin{array}{ccc|c} A & B & C & (A \land B) \Rightarrow \lnot C \cr\hline p & p & p & n \cr p & p & n & p \cr p & n & p & p \cr p & n & n & p \cr n & p & p & p \cr n & p & n & p \cr n & n & p & p \cr n & n & n & p \end{array}\)
4. Ugotovi, ali je naslednja izjava tavtologija:   \((A \land B) \Rightarrow (B \lor C)\)
   Rešitev:    Ta izjava je tavtologija.
5. Dani sta sestavljeni izjavi  \(\lnot A \Rightarrow B\)  in  \(\lnot(A\land \lnot B)\).
   

   (a)   Ali je konjunkcija obeh danih izjav tavtologija?

   (b)   Ali je disjunkcija obeh danih izjav tavtologija?

   (c)   Ali je ekvivalenca obeh danih izjav tavtologija?

   Rešitev:    (a)  Ni tavtologija.     (b)  Je tavtologija.     (c)  Ni tavtologija.
6. Podane so naslednje štiri sestavljene izjave. Prva izjava: \(\lnot(A\land B)\),   druga izjava: \(\lnot A\Rightarrow \lnot B\),   tretja izjava: \(A\Rightarrow (B\Rightarrow A)\),   četrta izjava: \(A\Rightarrow (A\land \lnot B)\).
   

   (a)   Katera od teh izjav je tavtologija?

   (b)   Kateri dve izjavi sta enakovredni?

   Rešitev:    (a)  Tretja izjava je tavtologija.     (b)  Prva in četrta izjava sta enakovredni.
7. Dani sta izjavi  \(A \Rightarrow\lnot B\)  in  \(\lnot A \lor B\).
   

   (a)   Ali sta dani izjavi enakovredni?

   (b)   Ali je disjunkcija danih izjav tavtologija?

   Rešitev:    (a)  Nista enakovredni.     (b)  Je tavtologija.
8. Ali sta izjavi \(A \land B \land (B \lor C)\) in \(A\land B\) enakovredni? Odgovor utemelji.
   Rešitev:    Sta enakovredni, saj imata enako pravilnostno tabelo (\(p,p,n,n,n,n,n,n\)).
9. S pomočjo pravilnostne tabele ugotovi, kateri preprostejši izjavi je enakovredna izjava:   \((A \lor B) \Rightarrow \lnot A\)
   Rešitev:    Enakovredna je izjavi \(\lnot A\).
10. Zapiši pravilnostno tabelo za izjavo \(A \land B \land (B \lor C)\) in ugotovi, kateri preprostejši izjavi je enakovredna.
    Rešitev:    Enakovredna je izjavi \(A \land B\).

Množice

11. Zapiši naslednje množice s formulo:
    

    \(A=\{7,~ 14,~ 21,~ 28,~ 35,~\ldots\}\)

    \(B=\{7,~ 11,~ 15,~ 19,~ 23,~\ldots\}\)

    \(C=\{1,~ 4,~ 9,~ 16,~ 25,~\ldots\}\)

    Rešitev:    \(A=\{7n;~ n\in\mathbb{N}\}\),     \(B=\{4n+3;~ n\in\mathbb{N}\}\),     \(C=\{n^2;~ n\in\mathbb{N}\}\)
12. Zapiši naslednje množice z naštevanjem elementov:
    

    \(A=\{30n;~ n\in\mathbb{N},~ n\lt5\}\)

    \(B=\{n^3;~ n\in\mathbb{N},~ 5n\lt30\}\)

    \(C=\{5n;~ n\in\mathbb{N},~ n^3\lt30\}\)

    Rešitev:    \(A=\{30,~ 60,~ 90,~ 120\}\),     \(B=\{1,~ 8,~ 27,~ 64,~ 125\}\),     \(C=\{5,~ 10,~ 15\}\)
13. Dane so množice \(A=\{2,~ 4,~ 6,~ 8,~ 10\}\), \(B=\{1,~ 2,~ 3,~ 4\}\) in \(C=\{4,~ 5,~ 6\}\). Izračunaj:
    

    (a)   \(A\cap B\cap C\)

    (b)   \(A\setminus(B\cup C)\)

    (c)   \((A\setminus B)\cup C\)

    Rešitev:    (a)  \(A\cap B\cap C=\{4\}\);     (b)  \(A\setminus(B\cup C)=\{8,~ 10\}\);     (c)  \((A\setminus B)\cup C=\{4,~ 5,~ 6,~ 8,~ 10\}\)
14. Dani sta množici \(A=\{1,~ 2,~ 3\}\) in \(B=\{3,~ 4\}\). Izračunaj:
    

    (a)   \(A\times B\)

    (b)   \(B\times B\)

    Rešitev:    (a)  \(A\times B=\{(1,3),~ (1,4),~ (2,3),~ (2,4),~ (3,3),~ (3,4)\}\);     (b)  \(B\times B=\{(3,3),~ (3,4),~ (4,3),~ (4,4)\}\)
15. Podane so množice \(A=\{x;~ x\in\mathbb{N}~ \land~ x\lt20\},\) \(B=\{x;~ x\in\mathbb{N}~ \land~ x\gt13\}\) in \(C=\{2a+1;~ a\in\mathbb{N}\}\). Zapiši množico \(D=(A\cap B)\setminus C'\) z naštevanjem elementov.
    Rešitev:    \(D=\{15, 17, 19\}\)
16. Dani sta množici \(A=\{2n;~ n\in\mathbb{N}\}\) in \(B=\{25+15n;~ n\in\mathbb{N},~ n\leqslant5\}\). Zapiši množico \(A\cap B\) tako, da našteješ njene elemente.
    Rešitev:    \(A\cap B=\{40, 70, 100\}\)
17. Dani sta množici \(A=\{2n+5;~ n\in\mathbb{N}\}\) in \(B=\{3n+2;~ n\in\mathbb{N}\}\). Zapiši množico \(D=A\cap B\) s formulo.
    Rešitev:    \(D=\{6n+5;~ n\in\mathbb{N}\}\)
18. Dani sta množici \(A=\{3n;~ n\in\mathbb{Z}\}\) in \(B=\{3n-1;~ n\in\mathbb{Z}\}\). Zapiši množico \(M=(A\cup B)'\) s formulo. Upoštevaj \(\mathcal{U}=\mathbb{Z}\).
    Rešitev:    \(M=\{3n+1;~ n\in\mathbb{Z}\}\)
19. Dani sta množici \(A=\{2n;~ n\in\mathbb{Z}\}\) in \(B=\{7n+1;~ n\in\mathbb{Z}\}\). Zapiši s formulo naslednji množici:
    

    (a)   \(A\cap B\)

    (b)   \(B\setminus A\)

    Rešitev:    (a)  \(A\cap B=\{14n+8;~ n\in\mathbb{Z}\}\),     (b)  \(B\setminus A=\{14n+1;~ n\in\mathbb{Z}\}\)
20. Dane so množice:  \(A=\{12n+3;~n\in\mathbb{Z}\}\),  \(B=\{12n-5;~n\in\mathbb{Z}\}\),  \(C=\{12n-1;~n\in\mathbb{Z}\}\). Določi množico \(M=A\cup B\cup C\) in jo zapiši s formulo.
    Rešitev:    \(M=\{4n-1;~n\in\mathbb{Z}\}\)
21. Množica \(A\) je podmnožica množice \(B\), množica \(B\) pa je podmnožica množice \(C\). Izračunaj:
    

    (a)   \(A\cup B\cup C\)

    (b)   \(A\setminus (B\setminus C)\)

    (c)   \((A\cup B)\setminus C\)

    Rešitev:    (a)  \(C\),     (b)  \(A\),     (c)  \(\emptyset\)
22. Množici \(A\) in \(B\) sta podmnožici množice \(C\), poleg tega pa sta \(A\) in \(B\) med sabo disjunktni. Izračunaj:
    

    (a)   \(A\cup C\)

    (b)   \(A\cap B\cap C\)

    (c)   \((A\cap B)\cup C\)

    (d)   \((A\setminus C)'\)

    (e)   \(A\cap B'\)

    Rešitev:    (a)  \(C\),     (b)  \(\emptyset\),     (c)  \(C\),     (d)  \(\mathcal{U}\),     (e)  \(A\)
23. Množici \(A\) in \(B\) sta množici točk v ravnini (glej sliko spodaj). Na sliki določi:
    

    (a)   \(A\cap B\)

    (b)   \(B\setminus A\)

    
    Rešitev:
    
    
    
24. V razredu 1.Ž je 30 učencev, ki imajo možnost obiskovati dva krožka. Krožek kitajščine obiskuje 18, krožek japonščine pa 10 učencev iz tega razreda. V razredu je 5 učencev, ki ne obiskujejo nobenega od teh dveh krožkov. Izračunaj:
    

    (a)   koliko učencev obiskuje oba krožka,

    (b)   koliko učencev obiskuje vsaj en krožek,

    (c)   koliko učencev obiskuje točno en krožek.

    Rešitev:    (a)  3 učenci,     (b)  25 učencev,     (c)  22 učencev
25. V dijaškem domu stanuje 120 dijakov. Naročijo se lahko na tri revije: Astronomija, Biznis in Cvetličarstvo. Na vsako od teh revij je naročenih 40 dijakov. Na Astronomijo in Biznis je naročenih 8 dijakov, na Astronomijo in Cvetličarsto je naročenih 14 dijakov, na Biznis in Cvetličarstvo pa je naročenih 12 dijakov. Na vse tri revije je naročenih 5 dijakov. Izračunaj:
    

    (a)   koliko dijakov ni naročenih na nobeno revijo,

    (b)   koliko dijakov je naročenih točno na eno revijo,

    (c)   koliko dijakov je naročenih vsaj na dve reviji.

    Rešitev:    (a)  29 dijakov,     (b)  67 dijakov,     (c)  24 dijakov
26. V razredu je 36 učencev. Takih, ki ne smučajo, je dvakrat toliko kot takih, ki smučajo. Takih, ki plavajo, je trikrat toliko kot takih, ki ne plavajo. S točno enim od teh dveh športov se ukvarja 25 učencev. Izračunaj, koliko učencev se ukvarja z obema športoma.
    Rešitev:    Smuča jih 12, plava jih 27, z obema športoma se jih ukvarja 7.
27. V razredu je 30 učencev. Matematični krožek obiskuje trikrat toliko učencev tega razreda kot fizikalni krožek. Točno enega od teh dveh krožkov obiskuje 20 učencev. Oba krožka obiskujejo 4 učenci. Izračunaj, koliko učencev obiskuje matematični krožek.
    Rešitev:    Matematični krožek obiskuje 21 učencev.
28. Srednjo šolo John Špohn obiskuje 150 učencev. Na šoli je 88 učencev, ki trenirajo nogomet, in 50 učencev, ki trenirajo košarko (drugih športov na šoli ne organizirajo). Učencev, ki trenirajo točno en šport, je štirikrat toliko kot tistih, ki trenirajo oba športa. Izračunaj, koliko je učencev, ki ne trenirajo nobenega športa.
    Rešitev:    Takih je 35.
29. Osnovno šolo Lingua longa obiskuje 123 učencev. Učenci imajo na voljo dva krožka: krožek arabščine obiskuje 45 učencev, krožek bolgarščine pa obiskuje 66 učencev. Učencev, ki ne obiskujejo nobenega od teh dveh krožkov, je dvakrat toliko kot tistih, ki obiskujejo oba krožka.
    

    (a)   Izračunaj, koliko učencev obiskuje vsaj en krožek.

    (b)   Izračunaj, koliko učencev obiskuje točno en krožek.

    Rešitev:    (a)  Vsaj enega obiskuje 99 učencev.     (b)  Točno enega obiskuje 87 učencev.
30. Dana je množica \(A=\{5,\, 7,\, 9,\, 11\}\). Zapiši množico \(B=\{M\in {\cal P}A;~m(M)\geqslant3\}\) tako, da našteješ vse njene elemente.
    Namig:    Zapis \(M\in {\cal P}A\) pomeni, da je \(B\) sestavljen iz elementov, ki so podmnožice \(A\)-ja. Zapis \(m(M)\geqslant3\) pa pomeni, da gre za podmnožice, ki imajo 3 elemente ali več.
    Rešitev:    \(B=\Big\{\{5,7,9\},~ \{5,7,11\},~ \{5,9,11\},~ \{7,9,11\},~ \{5,7,9,11\}\Big\}\)
31. Dana je množica \(M=\{2, 4, 6, 8\}\). Zapiši naslednji množici tako, da našteješ njune elemente:
    

        \(A=\{X\subset M;~ m(X)=2\}\),     \(B=\{X\in\mathcal{P}M;~ 2\in X,~ 4\not\in X\}\)

    Rešitev:    \(A=\Big\{\{2,4\}, \{2,6\}, \{2,8\}, \{4,6\}, \{4,8\}, \{6,8\}\Big\}\);     \(B=\Big\{\{2\}, \{2,6\}, \{2,8\}, \{2,6,8\}\Big\}\)
32. Dana je množica \(A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
    

    (a)   Izračunaj \(m(\mathcal{P}A)\).

    (b)   Zapiši vse podmnožice množice A, ki so disjunktne z množico \(B=\{2n;~ n\in\mathbb{Z}\}\).

    (c)   Zapiši z naštevanjem elementov množico \(M=\{X\in\mathcal{P}A;~ m(X)=2~ \land~ 2\in X\}\).

    Rešitev:    (a)  \(m(\mathcal{P}A)=2^7=128\);     (b)  disjunktne so: \(\{\},~ \{1\},~ \{3\},~ \{5\},~ \{1,3\},~ \{1,5\},~ \{3,5\},~ \{1,3,5\}\);     (c)  \(M=\Big\{ \{0,2\},~ \{1,2\},~ \{2,3\},~ \{2,4\},~ \{2,5\},~ \{2,6\} \Big\}\)
33. Dana je množica \(A=\{n^2;~ 3n\lt20,~ n\in\mathbb{N}\}\). Zapiši množico \(B=\{X\subset A;~ m(X)\leqslant1,~ 9\not\in X\}\) tako, da našteješ njene elemente.
    Rešitev:    \(B=\Big\{ \{\},~ \{1\},~ \{4\},~ \{16\},~ \{25\},~ \{36\} \Big\}\)
34. Dani sta množici \(A=\{3,4,5,6,7,8,9\}\) in \(B=\{1,3,5,7,9\}\).
    

    (a)   Zapiši množico \(C=\{X\subset A;~ X\cap B=\emptyset\}\) tako, da našteješ njene elemente.

    (b)   Nekatere podmnožice množice \(A\) imajo neprazen presek z množico \(B\). Ugotovi, koliko je takih podmnožic.

    Rešitev:    (a)  \(C=\Big\{\{\},\{4\},\{6\},\{8\},\{4,6\},\{4,8\},\{6,8\},\{4,6,8\}\Big\}\);     (b)  Takih je 120.
35. Dani sta množici \(A=\{n\in\mathbb{N};~ 6\,|\,n\}\) in \(B=\{n\in\mathbb{N};~ n\,|\,60\}\). Zapiši množico \(C=A\cap B\) tako, da našteješ njene elemente.
    Opomba:    Oznaka   \(a\,|\,b\)   pomeni, da je število \(a\) delitelj števila \(b\).
    Rešitev:    \(C=\{6,~ 12,~ 30,~ 60\}\)
36. Ugotovi, kakšni morata biti množici \(A\) in \(B\), da velja:
    

    (a)   \(A\cap B=A\cup B\)

    (b)   \(A\cap B=A\)

    (c)   \(A\cup B=A\setminus A\)

    (d)   \(A\setminus B=B\setminus A\)

    (e)   \(m(A)+m(B)=m(A\cup B)\)

    Rešitev:    (a)  Biti morata enaki \((A=B)\);     (b)  \(A\) mora biti podmnožica \(B\) \((A\subset B)\);     (c)  Biti morata prazni \((A=B=\emptyset)\);     (d)  Biti morata enaki \((A=B)\);     (e)  Biti morata disjunktni \((A\cap B=\emptyset)\)
37. Ugotovi, katere od naslednjih izjav so pravilne (\(p\)) in katere napačne (\(n\)):
    

    (a)   \(\emptyset\in\mathbb{N}\)	(g)   \(\emptyset\subset\mathbb{N}\)
    (b)   \(0\in\mathbb{N}\)	(h)   \(0\subset\mathbb{N}\)
    (c)   \(1\in\mathbb{N}\)	(i)   \(1\subset\mathbb{N}\)
    (d)   \(\{1\}\in\mathbb{N}\)	(j)   \(\{1\}\subset\mathbb{N}\)
    (e)   \(\{1\}\in\{\mathbb{N}\}\)	(k)   \(\{1\}\subset\{\mathbb{N}\}\)
    (f)   \(\mathbb{N}\in\{\mathbb{N}\}\)	(l)   \(\mathbb{N}\subset\{\mathbb{N}\}\)

    Rešitev:    (a)  \(n\);     (b)  \(n\);     (c)  \(p\);     (d)  \(n\);     (e)  \(n\);     (f)  \(p\);     (g)  \(p\);     (h)  \(n\);     (i)  \(n\);     (j)  \(p\);     (k)  \(n\);     (l)  \(n\);    

 Domov