Izjave in množice

Izjave

1. Ugotovi, katera od naslednjih izjav je pravilna in katera napačna:
   

   (a)   Število 2 je praštevilo, ali pa je število 17 sodo.

   (b)   Število 2 je praštevilo in število 17 je sodo.

   (c)   Ni res, da je število 7 večje od 2 in število 8 manjše od 2.

   (d)   Če je 27 praštevilo, potem je število 7 edina rešitev enačbe ${\displaystyle \frac{x+\sqrt{x+2}}{x-2}=2}$.

   Rešitev:    Izjava je:   (a)  pravilna,     (b)  napačna,     (c)  pravilna,     (d)  pravilna.
2. Zapiši pravilnostno tabelo za izjavo:   $(A\wedge B)\Rightarrow \mathrm{\neg }C$
   Rešitev:
   
   $\begin{array}{cccc}A& B& C& (A\wedge B)\Rightarrow \mathrm{\neg }C\\ p& p& p& n\\ p& p& n& p\\ p& n& p& p\\ p& n& n& p\\ n& p& p& p\\ n& p& n& p\\ n& n& p& p\\ n& n& n& p\end{array}$
3. Ugotovi, ali je naslednja izjava tavtologija:   $(A\wedge B)\Rightarrow (B\vee C)$
   Rešitev:    Ta izjava je tavtologija.
4. Podane so naslednje štiri sestavljene izjave. Prva izjava: $\mathrm{\neg }(A\wedge B)$,   druga izjava: $\mathrm{\neg }A\Rightarrow \mathrm{\neg }B$,   tretja izjava: $A\Rightarrow (B\Rightarrow A)$,   četrta izjava: $A\Rightarrow (A\wedge \mathrm{\neg }B)$.
   

   (a)   Katera od teh izjav je tavtologija?

   (b)   Kateri dve izjavi sta enakovredni?

   Rešitev:    (a)  Tretja izjava je tavtologija.     (b)  Prva in četrta izjava sta enakovredni.
5. S pomočjo pravilnostne tabele ugotovi, kateri preprostejši izjavi je enakovredna izjava:   $(A\vee B)\Rightarrow \mathrm{\neg }A$
   Rešitev:    Enakovredna je izjavi $\mathrm{\neg }A$.

Množice

6. Zapiši naslednje množice s formulo:
   

   $A=\{7,14,21,28,35,\dots \}$

   $B=\{7,11,15,19,23,\dots \}$

   $C=\{1,4,9,16,25,\dots \}$

   Rešitev:    $A=\{7n;n\in \mathbb{N}\}$,     $B=\{4n+3;n\in \mathbb{N}\}$,     $C=\{n^2;n\in \mathbb{N}\}$
7. Zapiši naslednje množice z naštevanjem elementov:
   

   $A=\{30n;n\in \mathbb{N},n<5\}$

   $B=\{n^3;n\in \mathbb{N},5n<30\}$

   $C=\{5n;n\in \mathbb{N},n^3<30\}$

   Rešitev:    $A=\{30,60,90,120\}$,     $B=\{1,8,27,64,125\}$,     $C=\{5,10,15\}$
8. Dane so množice $A=\{2,4,6,8,10\}$, $B=\{1,2,3,4\}$ in $C=\{4,5,6\}$. Izračunaj:
   

   (a)   $A\cap B\cap C$

   (b)   $A\setminus (B\cup C)$

   (c)   $(A\setminus B)\cup C$

   Rešitev:    (a)  $A\cap B\cap C=\{4\}$;     (b)  $A\setminus (B\cup C)=\{8,10\}$;     (c)  $(A\setminus B)\cup C=\{4,5,6,8,10\}$
9. Dani sta množici $A=\{1,2,3\}$ in $B=\{3,4\}$. Izračunaj:
   

   (a)   $A\times B$

   (b)   $B\times B$

   Rešitev:    (a)  $A\times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$;     (b)  $B\times B=\{(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)\}$
10. Podane so množice $A=\{x;x\in \mathbb{N}\wedge x<20\},$ $B=\{x;x\in \mathbb{N}\wedge x>13\}$ in $C=\{2a+1;a\in \mathbb{N}\}$. Zapiši množico $D=(A\cap B)\setminus C^{\prime }$ z naštevanjem elementov.
    Rešitev:    $D=\{15,17,19\}$
11. Dani sta množici $A=\{2n;n\in \mathbb{N}\}$ in $B=\{25+15n;n\in \mathbb{N},n⩽5\}$. Zapiši množico $A\cap B$ tako, da našteješ njene elemente.
    Rešitev:    $A\cap B=\{40,70,100\}$
12. Dani sta množici $A=\{2n+5;n\in \mathbb{N}\}$ in $B=\{3n+2;n\in \mathbb{N}\}$. Zapiši množico $D=A\cap B$ s formulo.
    Rešitev:    $D=\{6n+5;n\in \mathbb{N}\}$
13. Dani sta množici $A=\{3n;n\in \mathbb{Z}\}$ in $B=\{3n-1;n\in \mathbb{Z}\}$. Zapiši množico $M=(A\cup B{)}^{\prime }$ s formulo. Upoštevaj $\mathcal{U}=\mathbb{Z}$.
    Rešitev:    $M=\{3n+1;n\in \mathbb{Z}\}$
14. Dani sta množici $A=\{2n;n\in \mathbb{Z}\}$ in $B=\{7n+1;n\in \mathbb{Z}\}$. Zapiši s formulo naslednji množici:
    

    (a)   $A\cap B$

    (b)   $B\setminus A$

    Rešitev:    (a)  $A\cap B=\{14n+8;n\in \mathbb{Z}\}$,     (b)  $B\setminus A=\{14n+1;n\in \mathbb{Z}\}$
15. Množica $A$ je podmnožica množice $B$, množica $B$ pa je podmnožica množice $C$. Izračunaj:
    

    (a)   $A\cup B\cup C$

    (b)   $A\setminus (B\setminus C)$

    (c)   $(A\cup B)\setminus C$

    Rešitev:    (a)  $C$,     (b)  $A$,     (c)  $\mathrm{\varnothing }$
16. Množici $A$ in $B$ sta podmnožici množice $C$, poleg tega pa sta $A$ in $B$ med sabo disjunktni. Izračunaj:
    

    (a)   $A\cup C$

    (b)   $A\cap B\cap C$

    (c)   $(A\cap B)\cup C$

    (d)   $(A\setminus C{)}^{\prime }$

    (e)   $A\cap B^{\prime }$

    Rešitev:    (a)  $C$,     (b)  $\mathrm{\varnothing }$,     (c)  $C$,     (d)  $\mathcal{U}$,     (e)  $A$
17. Množici $A$ in $B$ sta množici točk v ravnini (glej sliko spodaj). Na sliki določi:
    

    (a)   $A\cap B$

    (b)   $B\setminus A$

    
    Rešitev:
    
    
    
18. V razredu 1.Ž je 30 učencev, ki imajo možnost obiskovati dva krožka. Krožek kitajščine obiskuje 18, krožek japonščine pa 10 učencev iz tega razreda. V razredu je 5 učencev, ki ne obiskujejo nobenega od teh dveh krožkov. Izračunaj:
    

    (a)   koliko učencev obiskuje oba krožka,

    (b)   koliko učencev obiskuje vsaj en krožek,

    (c)   koliko učencev obiskuje točno en krožek.

    Rešitev:    (a)  3 učenci,     (b)  25 učencev,     (c)  22 učencev
19. V dijaškem domu stanuje 120 dijakov. Naročijo se lahko na tri revije: Astronomija, Biznis in Cvetličarstvo. Na vsako od teh revij je naročenih 40 dijakov. Na Astronomijo in Biznis je naročenih 8 dijakov, na Astronomijo in Cvetličarsto je naročenih 14 dijakov, na Biznis in Cvetličarstvo pa je naročenih 12 dijakov. Na vse tri revije je naročenih 5 dijakov. Izračunaj:
    

    (a)   koliko dijakov ni naročenih na nobeno revijo,

    (b)   koliko dijakov je naročenih točno na eno revijo,

    (c)   koliko dijakov je naročenih vsaj na dve reviji.

    Rešitev:    (a)  29 dijakov,     (b)  67 dijakov,     (c)  24 dijakov
20. V razredu je 36 učencev. Takih, ki ne smučajo, je dvakrat toliko kot takih, ki smučajo. Takih, ki plavajo, je trikrat toliko kot takih, ki ne plavajo. S točno enim od teh dveh športov se ukvarja 25 učencev. Izračunaj, koliko učencev se ukvarja z obema športoma.
    Rešitev:    Smuča jih 12, plava jih 27, z obema športoma se jih ukvarja 7.
21. V razredu je 30 učencev. Matematični krožek obiskuje trikrat toliko učencev tega razreda kot fizikalni krožek. Točno enega od teh dveh krožkov obiskuje 20 učencev. Oba krožka obiskujejo 4 učenci. Izračunaj, koliko učencev obiskuje matematični krožek.
    Rešitev:    Matematični krožek obiskuje 21 učencev.
22. Dana je množica $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$.
    

    (a)   Izračunaj $m(\mathcal{P}A)$.

    (b)   Zapiši vse podmnožice množice A, ki so disjunktne z množico $B=\{2n;n\in \mathbb{Z}\}$.

    (c)   Zapiši z naštevanjem elementov množico $M=\{X\in \mathcal{P}A;m(X)=2\wedge 2\in X\}$.

    Rešitev:    (a)  $m(\mathcal{P}A)=2^7=128$;     (b)  disjunktne so: $\{\},\{1\},\{3\},\{5\},\{1,3\},\{1,5\},\{3,5\},\{1,3,5\}$;     (c)  $M=\{\{0,2\},\{1,2\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{2,6\}\}$
23. Dana je množica $A=\{n^2;3n<20,n\in \mathbb{N}\}$. Zapiši množico $B=\{X\subset A;m(X)⩽1,9\notin X\}$ tako, da našteješ njene elemente.
    Rešitev:    $B=\{\{\},\{1\},\{4\},\{16\},\{25\},\{36\}\}$
24. Dani sta množici $A=\{n\in \mathbb{N};6|n\}$ in $B=\{n\in \mathbb{N};n|60\}$. Zapiši množico $C=A\cap B$ tako, da našteješ njene elemente.
    Opomba:    Oznaka   $a|b$   pomeni, da je število $a$ delitelj števila $b$.
    Rešitev:    $C=\{6,12,30,60\}$
25. Ugotovi, kakšni morata biti množici $A$ in $B$, da velja:
    

    (a)   $A\cap B=A\cup B$

    (b)   $A\cap B=A$

    (c)   $A\cup B=A\setminus A$

    (d)   $A\setminus B=B\setminus A$

    (e)   $m(A)+m(B)=m(A\cup B)$

    Rešitev:    (a)  Biti morata enaki $(A=B)$;     (b)  $A$ mora biti podmnožica $B$ $(A\subset B)$;     (c)  Biti morata prazni $(A=B=\mathrm{\varnothing })$;     (d)  Biti morata enaki $(A=B)$;     (e)  Biti morata disjunktni $(A\cap B=\mathrm{\varnothing })$
26. Ugotovi, katere od naslednjih izjav so pravilne ($p$) in katere napačne ($n$):
    

    (a)   $\mathrm{\varnothing }\in \mathbb{N}$	(g)   $\mathrm{\varnothing }\subset \mathbb{N}$
    (b)   $0\in \mathbb{N}$	(h)   $0\subset \mathbb{N}$
    (c)   $1\in \mathbb{N}$	(i)   $1\subset \mathbb{N}$
    (d)   $\{1\}\in \mathbb{N}$	(j)   $\{1\}\subset \mathbb{N}$
    (e)   $\{1\}\in \{\mathbb{N}\}$	(k)   $\{1\}\subset \{\mathbb{N}\}$
    (f)   $\mathbb{N}\in \{\mathbb{N}\}$	(l)   $\mathbb{N}\subset \{\mathbb{N}\}$

    Rešitev:    (a)  $n$;     (b)  $n$;     (c)  $p$;     (d)  $n$;     (e)  $n$;     (f)  $p$;     (g)  $p$;     (h)  $n$;     (i)  $n$;     (j)  $p$;     (k)  $n$;     (l)  $n$;    

 Domov