Izjave in množice

Izjave

Ugotovi, katera od naslednjih izjav je pravilna in katera napačna:

(a) Število 2 je praštevilo, ali pa je število 17 sodo.

(b) Število 2 je praštevilo in število 17 je sodo.

(d) Če je 27 praštevilo, potem je število 7 edina rešitev enačbe \({\displaystyle\frac{x+\sqrt{x+2}}{x-2}=2}\).

Rešitev: Izjava je: (a) pravilna, (b) napačna, (c) pravilna, (d) pravilna.

Zapiši pravilnostno tabelo za izjavo: \((A \land B) \Rightarrow \lnot C\)
Rešitev:

\(\begin{array}{ccc|c} A & B & C & (A \land B) \Rightarrow \lnot C \cr\hline p & p & p & n \cr p & p & n & p \cr p & n & p & p \cr p & n & n & p \cr n & p & p & p \cr n & p & n & p \cr n & n & p & p \cr n & n & n & p \end{array}\)

Ugotovi, ali je naslednja izjava tavtologija: \((A \land B) \Rightarrow (B \lor C)\)
Rešitev: Ta izjava je tavtologija.

Podane so naslednje štiri sestavljene izjave. Prva izjava: \(\lnot(A\land B)\), druga izjava: \(\lnot A\Rightarrow \lnot B\), tretja izjava: \(A\Rightarrow (B\Rightarrow A)\), četrta izjava: \(A\Rightarrow (A\land \lnot B)\).

(a) Katera od teh izjav je tavtologija?

(b) Kateri dve izjavi sta enakovredni?

Rešitev: (a) Tretja izjava je tavtologija. (b) Prva in četrta izjava sta enakovredni.

S pomočjo pravilnostne tabele ugotovi, kateri preprostejši izjavi je enakovredna izjava: \((A \lor B) \Rightarrow \lnot A\)
Rešitev: Enakovredna je izjavi \(\lnot A\).

Množice

Zapiši naslednje množice s formulo:

\(A=\{7,~ 14,~ 21,~ 28,~ 35,~\ldots\}\)

\(B=\{7,~ 11,~ 15,~ 19,~ 23,~\ldots\}\)

\(C=\{1,~ 4,~ 9,~ 16,~ 25,~\ldots\}\)

Rešitev: \(A=\{7n;~ n\in\mathbb{N}\}\), \(B=\{4n+3;~ n\in\mathbb{N}\}\), \(C=\{n^2;~ n\in\mathbb{N}\}\)

Zapiši naslednje množice z naštevanjem elementov:

\(A=\{30n;~ n\in\mathbb{N},~ n\lt5\}\)

\(B=\{n^3;~ n\in\mathbb{N},~ 5n\lt30\}\)

\(C=\{5n;~ n\in\mathbb{N},~ n^3\lt30\}\)

Rešitev: \(A=\{30,~ 60,~ 90,~ 120\}\), \(B=\{1,~ 8,~ 27,~ 64,~ 125\}\), \(C=\{5,~ 10,~ 15\}\)

Dane so množice \(A=\{2,~ 4,~ 6,~ 8,~ 10\}\), \(B=\{1,~ 2,~ 3,~ 4\}\) in \(C=\{4,~ 5,~ 6\}\). Izračunaj:

(a) \(A\cap B\cap C\)

(b) \(A\setminus(B\cup C)\)

Rešitev: (a) \(A\cap B\cap C=\{4\}\); (b) \(A\setminus(B\cup C)=\{8,~ 10\}\); (c) \((A\setminus B)\cup C=\{4,~ 5,~ 6,~ 8,~ 10\}\)

Dani sta množici \(A=\{1,~ 2,~ 3\}\) in \(B=\{3,~ 4\}\). Izračunaj:

(a) \(A\times B\)

(b) \(B\times B\)

Rešitev: (a) \(A\times B=\{(1,3),~ (1,4),~ (2,3),~ (2,4),~ (3,3),~ (3,4)\}\); (b) \(B\times B=\{(3,3),~ (3,4),~ (4,3),~ (4,4)\}\)

Podane so množice \(A=\{x;~ x\in\mathbb{N}~ \land~ x\lt20\},\) \(B=\{x;~ x\in\mathbb{N}~ \land~ x\gt13\}\) in \(C=\{2a+1;~ a\in\mathbb{N}\}\). Zapiši množico \(D=(A\cap B)\setminus C'\) z naštevanjem elementov.
Rešitev: \(D=\{15, 17, 19\}\)

Dani sta množici \(A=\{2n;~ n\in\mathbb{N}\}\) in \(B=\{25+15n;~ n\in\mathbb{N},~ n\leqslant5\}\). Zapiši množico \(A\cap B\) tako, da našteješ njene elemente.
Rešitev: \(A\cap B=\{40, 70, 100\}\)

Dani sta množici \(A=\{2n+5;~ n\in\mathbb{N}\}\) in \(B=\{3n+2;~ n\in\mathbb{N}\}\). Zapiši množico \(D=A\cap B\) s formulo.
Rešitev: \(D=\{6n+5;~ n\in\mathbb{N}\}\)

Dani sta množici \(A=\{3n;~ n\in\mathbb{Z}\}\) in \(B=\{3n-1;~ n\in\mathbb{Z}\}\). Zapiši množico \(M=(A\cup B)'\) s formulo. Upoštevaj \(\mathcal{U}=\mathbb{Z}\).
Rešitev: \(M=\{3n+1;~ n\in\mathbb{Z}\}\)

Dani sta množici \(A=\{2n;~ n\in\mathbb{Z}\}\) in \(B=\{7n+1;~ n\in\mathbb{Z}\}\). Zapiši s formulo naslednji množici:

(a) \(A\cap B\)

(b) \(B\setminus A\)

Rešitev: (a) \(A\cap B=\{14n+8;~ n\in\mathbb{Z}\}\), (b) \(B\setminus A=\{14n+1;~ n\in\mathbb{Z}\}\)

Množica \(A\) je podmnožica množice \(B\), množica \(B\) pa je podmnožica množice \(C\). Izračunaj:

(a) \(A\cup B\cup C\)

(b) \(A\setminus (B\setminus C)\)

Rešitev: (a) \(C\), (b) \(A\), (c) \(\emptyset\)

Množici \(A\) in \(B\) sta podmnožici množice \(C\), poleg tega pa sta \(A\) in \(B\) med sabo disjunktni. Izračunaj:

(a) \(A\cup C\)

(b) \(A\cap B\cap C\)

(d) \((A\setminus C)'\)

(e) \(A\cap B'\)

Rešitev: (a) \(C\), (b) \(\emptyset\), (c) \(C\), (d) \(\mathcal{U}\), (e) \(A\)

Množici \(A\) in \(B\) sta množici točk v ravnini (glej sliko spodaj). Na sliki določi:

(a) \(A\cap B\)

(b) \(B\setminus A\)

Rešitev:

V razredu 1.Ž je 30 učencev, ki imajo možnost obiskovati dva krožka. Krožek kitajščine obiskuje 18, krožek japonščine pa 10 učencev iz tega razreda. V razredu je 5 učencev, ki ne obiskujejo nobenega od teh dveh krožkov. Izračunaj:

(a) koliko učencev obiskuje oba krožka,

(b) koliko učencev obiskuje vsaj en krožek,

Rešitev: (a) 3 učenci, (b) 25 učencev, (c) 22 učencev

V dijaškem domu stanuje 120 dijakov. Naročijo se lahko na tri revije: Astronomija, Biznis in Cvetličarstvo. Na vsako od teh revij je naročenih 40 dijakov. Na Astronomijo in Biznis je naročenih 8 dijakov, na Astronomijo in Cvetličarsto je naročenih 14 dijakov, na Biznis in Cvetličarstvo pa je naročenih 12 dijakov. Na vse tri revije je naročenih 5 dijakov. Izračunaj:

(a) koliko dijakov ni naročenih na nobeno revijo,

(b) koliko dijakov je naročenih točno na eno revijo,

Rešitev: (a) 29 dijakov, (b) 67 dijakov, (c) 24 dijakov

V razredu je 36 učencev. Takih, ki ne smučajo, je dvakrat toliko kot takih, ki smučajo. Takih, ki plavajo, je trikrat toliko kot takih, ki ne plavajo. S točno enim od teh dveh športov se ukvarja 25 učencev. Izračunaj, koliko učencev se ukvarja z obema športoma.
Rešitev: Smuča jih 12, plava jih 27, z obema športoma se jih ukvarja 7.

V razredu je 30 učencev. Matematični krožek obiskuje trikrat toliko učencev tega razreda kot fizikalni krožek. Točno enega od teh dveh krožkov obiskuje 20 učencev. Oba krožka obiskujejo 4 učenci. Izračunaj, koliko učencev obiskuje matematični krožek.
Rešitev: Matematični krožek obiskuje 21 učencev.

Dana je množica \(A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

(a) Izračunaj \(m(\mathcal{P}A)\).

(b) Zapiši vse podmnožice množice A, ki so disjunktne z množico \(B=\{2n;~ n\in\mathbb{Z}\}\).

Rešitev: (a) \(m(\mathcal{P}A)=2^7=128\); (b) disjunktne so: \(\{\},~ \{1\},~ \{3\},~ \{5\},~ \{1,3\},~ \{1,5\},~ \{3,5\},~ \{1,3,5\}\); (c) \(M=\big\{ \{0,2\},~ \{1,2\},~ \{2,3\},~ \{2,4\},~ \{2,5\},~ \{2,6\} \big\}\)

Dana je množica \(A=\{n^2;~ 3n\lt20,~ n\in\mathbb{N}\}\). Zapiši množico \(B=\{X\subset A;~ m(X)\leqslant1,~ 9\not\in X\}\) tako, da našteješ njene elemente.
Rešitev: \(B=\big\{ \{\},~ \{1\},~ \{4\},~ \{16\},~ \{25\},~ \{36\} \big\}\)

Dani sta množici \(A=\{n\in\mathbb{N};~ 6\,|\,n\}\) in \(B=\{n\in\mathbb{N};~ n\,|\,60\}\). Zapiši množico \(C=A\cap B\) tako, da našteješ njene elemente.
Opomba: Oznaka \(a\,|\,b\) pomeni, da je število \(a\) delitelj števila \(b\).
Rešitev: \(C=\{6,~ 12,~ 30,~ 60\}\)

Ugotovi, kakšni morata biti množici \(A\) in \(B\), da velja:

(a) \(A\cap B=A\cup B\)

(b) \(A\cap B=A\)

(d) \(A\setminus B=B\setminus A\)

(e) \(m(A)+m(B)=m(A\cup B)\)

Rešitev: (a) Biti morata enaki \((A=B)\); (b) \(A\) mora biti podmnožica \(B\) \((A\subset B)\); (c) Biti morata prazni \((A=B=\emptyset)\); (d) Biti morata enaki \((A=B)\); (e) Biti morata disjunktni \((A\cap B=\emptyset)\)

Ugotovi, katere od naslednjih izjav so pravilne (\(p\)) in katere napačne (\(n\)):

(a) \(\emptyset\in\mathbb{N}\)	(g) \(\emptyset\subset\mathbb{N}\)
(b) \(0\in\mathbb{N}\)	(h) \(0\subset\mathbb{N}\)
(c) \(1\in\mathbb{N}\)	(i) \(1\subset\mathbb{N}\)
(d) \(\{1\}\in\mathbb{N}\)	(j) \(\{1\}\subset\mathbb{N}\)
(e) \(\{1\}\in\{\mathbb{N}\}\)	(k) \(\{1\}\subset\{\mathbb{N}\}\)
(f) \(\mathbb{N}\in\{\mathbb{N}\}\)	(l) \(\mathbb{N}\subset\{\mathbb{N}\}\)

Rešitev: (a) \(n\); (b) \(n\); (c) \(p\); (d) \(n\); (e) \(n\); (f) \(p\); (g) \(p\); (h) \(n\); (i) \(n\); (j) \(p\); (k) \(n\); (l) \(n\);