Linearna funkcija

Enačba premice

1. Linearna funkcija ima enačbo \({\displaystyle f(x)=\frac{2x-4}{3}}\). Ugotovi, katera od naslednjih točk leži na grafu te funkcije:
   

      \(A(8,4),~ B(13,7)\), \(C\big(\frac{3}{5},-1\big),~ D\big(\frac{3}{4},-\frac{5}{6}\big),~ E(\sqrt{17},\sqrt{2})\)

   Rešitev:    Točka A leži, B ne leži, C ne leži, D leži in E ne leži na grafu te funkcije.
2. Dane so točke \(A(-6,-12),~ B(8,4),~ C(16,13)\) in \(D(36,36)\). Tri od teh točk ležijo na isti premici. Ugotovi, katere tri točke so to, in zapiši enačbo ustrezne premice.
   Rešitev:    A, B in D ležijo na premici z enačbo \(y=\frac{8x-36}{7}\).
3. Premica poteka skozi točki \(A(6,7)\) in \(B\big(-\frac{9}{2},\frac{7}{8}\big)\). Zapiši enačbo te premice v vseh treh značilnih oblikah. Premico tudi nariši.
   Rešitev:    Eksplicitna oblika: \(y=\frac{7}{12}x+\frac{7}{2}\),  implicitna oblika: \(7x-12y+42=0\),  segmentna oblika: \(-\frac{x}{6}+\frac{y}{{\textstyle\frac{7}{2}}}=1\).
4. Zapiši enačbo premice, ki poteka skozi točki \(A(-2,2+\sqrt{2})\) in \(B(\sqrt{2},0)\).
   Rešitev:    Eksplicitna oblika: \(y=-x+\sqrt{2}\)
5. Dana je premica  \({\displaystyle p\!:~ \frac{x}{3}+\frac{y}{3\sqrt{3}}=1}\). Ugotovi, katera od naslednjih točk leži na premici \(p\):
   

      \(A(2,\sqrt{3}),~ B(3,1),~ C(3-\sqrt{3},3),~ D(\sqrt{3},3\sqrt{3})\)

   Rešitev:    Točka A leži, B ne leži, C leži in D ne leži na tej premici.
6. Dana je premica  \(p\!:~ 3x-4y-36=0\). Izračunaj dolžino daljice, ki jo na tej premici omejujeta obe koordinatni osi.
   Rešitev:    Dolžina daljice je 15 enot.
7. Dana je premica  \(p\!:~ y=5x-24\). Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejujeo: premica \(p\), simetrala lihih kvadrantov in simetrala sodih kvadrantov.
   Rešitev:    Ploščina: \(S=24\)
8. Premica \(p\) ima enačbo \(4x+3y=60\). Premica \(p\) skupaj s koordinatnima osema omejuje trikotnik.
   

   (a)   Izračunaj ploščino tega trikotnika.

   (b)   Izračunaj, koliko meri višina na hipotenuzo v tem trikotniku.

   Rešitev:    (a)  \(S=150\),     (b)  \(v_c=12\)
9. Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejujejo naslednje tri premice:
   

       \(p_1\):  \(\displaystyle y=\frac{6+x}{2}\),       \(p_2\):  \(x+y=3\),       \(p_3\):  \(x-4=0\)

   Rešitev:    Ploščina: \(S=12\)
10. Dana je premica \({\displaystyle p\!:~ \frac{x}{12}+\frac{y}{16}=1}\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki je vzporedna s premico \(p\) in poteka skozi koordinatno izhodišče.
    Rešitev:    \(q\!:~ y=-\frac{4}{3}x\)
11. Dana je premica \(p\):  \(x-y\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0\)
    

    (a)   Zapiši enačbo premice \(p\) v segmentni obliki in izračunaj dolžino daljice, ki jo na tej premici omejujeta obe koordinatni osi.

    (b)   Zapiši enačbo premice \(q\), ki je pravokotna na \(p\) in poteka skozi koordinatno izhodišče.

    Rešitev:    (a)  \(\frac{x}{3\sqrt{3}}-\frac{y}{3}=1,~~ d=6\),     (b)  \(q\):  \(y=-x\sqrt{3}\)
12. Na premici  \(p\!:~ y=4x-10\) leži točka A, ki ima absciso in ordinato v razmerju \(2:3\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki poteka skozi točko A in je pravokotna na premico \(p\).
    Rešitev:    Točka \(A(4,6)\),  premica  \(q\!:~ y=-\frac{1}{4}x+7\)
13. Dana je točka \(A(3,5)\) in premica  \({\displaystyle p\!:~ y=\frac{5-x}{2}}\). Če točko \(A\) pravokotno projiciramo na premico \(p\), dobimo točko \(A'\). Izračunaj koordinati točke \(A'\).
    Rešitev:    \(A'\big(\frac{7}{5},\frac{9}{5}\big)\)
14. Dana je premica \(p\):  \(x+3y-30=0\). Premica \(q\) poteka skozi koordinatno izhodišče in je pravokotna na premico \(p\). Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejujejo premica \(p\), premica \(q\) in ordinatna os.
    Rešitev:    \(S=15\)
15. Dana je premica \(p\):  \(y=-\frac{3}{2}x+13\)
    

    (a)   Zapiši enačbo premice \(q\), ki je pravokotna na \(p\) in poteka skozi koordinatno izhodišče.

    (b)   Računsko določi, katera točka premice \(p\) je najbližja koordinatnemu izhodišču.

    Rešitev:    (a)  \(q\):  \(y=\frac{2}{3}x\),     (b)  \(T(6,4)\)

Grafi z absolutno vrednostjo

16. Dana je funkcija:  \(f(x)=x+1+|x-1|\)
    

    (a)   Zapiši \(f\) kot funkcijo z deljenim funkcijskim predpisom.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2x; & x\geqslant 1 \cr 2; & x\lt 1 \end{array} \right.\)
17. Dana je funkcija:  \(f(x)=2-|x-2|\)
    

    (a)   Zapiši \(f\) kot funkcijo z deljenim funkcijskim predpisom.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} -x+4; & x\geqslant 2 \cr x; & x\lt 2 \end{array} \right.\)
18. Dana je funkcija:  \(f(x)=|x|+|x-2|\)
    

    (a)   Zapiši \(f\) kot funkcijo z deljenim funkcijskim predpisom.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2x-2; & x\geqslant 2 \cr 2; & x\in[0,2) \cr -2x+2; & x\lt 0 \end{array} \right.\)
19. Dana je funkcija:  \(f(x)=|x-1|-|x-4|\)
    

    (a)   Zapiši \(f\) kot funkcijo z deljenim funkcijskim predpisom.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 3; & x\geqslant 4 \cr 2x-5; & x\in[1,4) \cr -3; & x\lt 1 \end{array} \right.\)
20. Dana je funkcija:  \(f(x)=x+|x-1|-|x+2|\)
    

    (a)   Zapiši \(f\) kot funkcijo z deljenim funkcijskim predpisom.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x+3; & x\lt -2 \cr -x-1; & x\in[-2,1) \cr x-3; & x\geqslant 1 \end{array} \right.\)

Družine premic

21. Dana je družina premic \(ax+3y-6=0\). Izračunaj, katera premica iz te družine poteka skozi točko \(T(5,-3)\). To premico tudi nariši.
    Rešitev:    \(a=3\), premica: \(3x+3y-6=0\) oziroma \(y=-x+2\)
22. Dana je družina premic \(y=ax+3a\). Izračunaj, katera premica iz te družine je vzporedna s premico \(y=2x-1\).
    Rešitev:    \(a=2\), premica: \(y=2x+6\)
23. Dana je družina premic \(y=ax+2a+3\). Izračunaj, katera premica iz te družine je pravokotna na premico \(3x-5y=0\).
    Rešitev:    \(a=-\frac{5}{3}\), premica: \(y=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}\)
24. Določi realni parameter \(a\) tako, da bo premica \({\displaystyle \frac{x}{a+3}+\frac{y}{a-5}=1}\) pravokotna na simetralo sodih kvadrantov. To premico tudi nariši.
    Rešitev:    \(a=1\),  premica \(\frac{x}{4}-\frac{y}{4}=1\)
25. Dane so točke \(A(5,0)\), \(B(7,2m)\) in \(C(1,-4m)\). Dokaži, da so te tri točke za katero koli vrednost parametra \(m\) vedno kolinearne. Zapiši tudi enačbo premice, na kateri ležijo.
    Rešitev:    Ploščina \(\triangle ABC\) je enaka nič, ležijo na premici \(y=mx-5m\).
26. Premica \(p\) poteka skozi točki \(A(5,2)\) in \(B(-3,m)\). Določi parameter \(m\) tako, da bo premica \(p\) vzporedna simetrali sodih kvadrantov in zapiši enačbo te premice.
    Rešitev:    \(m=10\),  premica \(y=-x+7\)
27. Premica \(p\) poteka skozi točki \(A(\frac{7}{2},2)\) in \(B(10,15)\).
    

    (a)   Zapiši enačbo premice \(p\).

    (b)   Premica \(q\) poteka skozi točko \(A\) in skozi točko \(C(6,m)\). Določi neznano koordinato \(m\) tako, da bo premica \(q\) pravokotna na premico \(p\).

    Rešitev:    (a)  \(y=2x-5\),     (b)  \(m=\frac{3}{4}\)
28. Dana je premica \(\displaystyle\frac{x}{m-1}+\frac{y}{8}=1\). Določi realni parameter \(m\), če veš, da je dolžina daljice, ki jo na tej premici omejujeta obe koordinatni osi, enaka 10.
    Rešitev:    \(m_1=7,~ m_2=-5\)
29. Dana je premica \(4x+ay=4a\). Izračunaj realni parameter \(a\), če veš da ta premica skupaj s koordinatnima osema določa trikotnik s ploščino 12. Zapiši obe možni rešitvi.
    Rešitev:    \(a_1=6,~ a_2=-6\)
30. Dana je družina premic:  \((a-2)x-ay-15=0\)
    

    (a)   Ugotovi, katera premica iz te družine seka ordinatno os v isti točki kot premica \(p\):  \(y=2x-5\).

    (b)   Ugotovi, katera premica iz te družine je vzporedna premici \(p\):  \(y=2x-5\).

    Rešitev:    (a)  \(a=3\), premica \(x-3y-15=0\),     (b)  \(a=-2\), premica \(-4x+2y-15=0\)
31. Dana je družina premic \((a+2)x+(a-1)y=6a\). Vse premice iz te družine potekajo skozi skupno točko \(T\). Izračunaj koordinati te točke.
    Rešitev:    \(T(2,4)\)
32. Dana je družina premic:  \((a-1)x+(a+2)y-9a=0\)
    

    (a)   Izračunaj, katera premica iz te družine poteka skozi točko \(T(2,5)\). Zapiši enačbo te premice.

    (b)   Izračunaj koordinati točke \(A\), skozi katero potekajo vse premice iz te družine.

    Rešitev:    (a)  \(a=4\), premica \(y=-\frac{1}{2}x+6\),     (b)  \(A(6,3)\)
33. Dana je družina premic:  \(ax+(a-6)y+12=0\)
    

    (a)   Izračunaj koordinati točke \(S\), skozi katero potekajo vse premice iz te družine.

    (b)   Ugotovi, katera premica iz te družine je vzporedna premici z enačbo \(y=2x\).

    Rešitev:    (a)  \(S(-2,2)\),     (b)  \(a=4,~~ y=2x+6\)

Obravnavanje linearnih enačb

34. Reši naslednje linearne enačbe:
    

    (a)   \((x+1)^2=x(x+2)+x\)

    (b)   \((x+1)^2=x(x+2)\)

    (c)   \((x+1)^2=x(x+2)+1\)

    Rešitev:    (a)  \(x=1\),     (b)  enačba nima rešitve,     (c)  rešitev je vsak \(x\in\mathrm{I\!R}\)
35. Obravnavaj enačbo:   \(ax-2(x+a)=a(a-2)\)
    Rešitev:    Za \(a=2\) enačba ni rešljiva, sicer pa je rešitev \(x=\frac{a^2}{a-2}\).
36. Obravnavaj enačbo:   \(a(a+2x)=a+x+ax\)
    Rešitev:    Za \(a=1\) je rešitev vsak \(x\in\mathrm{I\!R}\), sicer pa je rešitev \(x=-a\).
37. Obravnavaj enačbo:   \(a(ax-2)+x(a+3)=3x\)
    Rešitev:    Za \(a=0\) je rešitev vsak \(x\in\mathrm{I\!R}\), za \(a=-1\) rešitve ni, sicer pa je rešitev \(x=\frac{2}{a+1}\).
38. Obravnavaj in reši enačbo:  \(\displaystyle\frac{a}{3}\,\left(\frac{ax}{3}-1\right)=x-1\)
    Rešitev:    Za \(a=3\) je rešitev \(\forall x\in\mathrm{I\!R}\), za \(a=-3\) rešitve ni, sicer pa je \(x=\frac{3}{a+3}\).
39. Obravnavaj in reši enačbo:  \(\displaystyle\frac{ax-2}{3}=x-\frac{x+a}{3}\)
    Rešitev:    Za \(a=2\) je rešitev \(\forall x\in\mathrm{I\!R}\), sicer pa je rešitev samo \(x=-1\).
40. Obravnavaj in reši enačbo:  \(\displaystyle\left(\frac{x}{2}+1\right)^2-\left(\frac{x}{2}-a\right)^2=0\)
    Rešitev:    Če je \(a=-1\), je rešitev \(\forall x\in\mathrm{I\!R}\); sicer pa je rešitev \(x=a-1\).
41. Obravnavaj in reši enačbo:  \(\displaystyle x-1=\frac{x+2}{a}\)
    Rešitev:    Za \(a=0\) enačba ni smiselna; za \(a=1\) ni rešljiva; sicer pa je rešitev \(x=\frac{a+2}{a-1}\).
42. Obravnavaj in reši enačbo:  \(a^2(x-1)+x=x(ab+1)\)
    Rešitev:    Za \(a=0\) je rešitev \(\forall x\in\mathrm{I\!R}\); za \(a=b\ne0\) rešitev ne obstaja; sicer pa je rešitev \(x=\frac{a}{a-b}\).

Linearne neenačbe z dvema neznankama

43. Nariši množico točk:  \(A=\{(x,y);~ x\geqslant-2,~ y\lt x+3,~ x+2y+2\geqslant 0 \}\)
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

44. Nariši množico točk:  \(A=\{(x,y);~ |y|\lt 1 \lor y\geqslant |x| \}\)
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

45. Dana je množica točk \(A=\{(x,y);~ 2x+3y\leqslant 5\}\). Računsko ugotovi, katera od naslednjih točk leži v tej množici:
    

       \(A(-1,1),~ B(1,1),~ C(6,-2),\) \(D\big(\frac{15}{16},\frac{17}{16}\big),~ E\big(\frac{18}{17},\frac{16}{17}\big)\)

    Rešitev:    Točka A leži, B leži, C ne leži, D ne leži in E leži v tej množici.
46. Nariši množico točk v ravnini:  \(\mathcal{M}=\Big\{(x,y);~ y\in(-1,3],~ y\geqslant 2-|x-2|\Big\}\)
47. V koordinatnem sistemu nariši množico točk:  \(\mathcal{M}=\Big\{(x,y);~ y>|x+3| \lor y\geqslant |x|+1\Big\}\)
48. Dana je množica točk v ravnini:  \(\mathcal{M}=\Big\{(x,y);~ 1\leqslant y \leqslant x,~ x+3y\leqslant 12\Big\}\)
    

    (a)   Nariši to množico točk.

    (b)   Izračunaj ploščino te množice točk.

    Rešitev:    (b)  \(S=8\)
49. Dana je množica točk v ravnini:  \(\mathcal{M}=\Big\{(x,y);~ |x|\leqslant y,~ x+2y\leqslant 6\Big\}\)
    

    (a)   Nariši to množico točk.

    (b)   Izračunaj ploščino te množice točk.

    Rešitev:    (b)  \(S=12\)
50. Dana je množica točk v ravnini:  \(\mathcal{M}=\Big\{(x,y);~ |x|+|y|\leqslant 1\Big\}\)
    

    (a)   Nariši to množico točk.

    (b)   Izračunaj ploščino te množice točk.

    Rešitev:    (b)  \(S=2\)

 Domov