Linearna funkcija

1. Dana je linearna funkcija \(f(x)=3x-2\). Računsko preveri, katera od naslednjih točk leži na grafu te linearne funkcije:    \(A(3,7),~~ B(-12,-34),~~ C\big(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\big)\)
   Rešitev:    A leži, B ne leži, C leži na grafu.
2. Dana je premica \(p\!:~~ {\displaystyle y=\frac{2x-5}{3}}\). Računsko preveri, katera od naslednjih točk leži na tej premici:    \(A(4,1),~~ B\big(-\frac{3}{2},-\frac{8}{3}\big),~~ C\big(\frac{3}{7},\frac{29}{21}\big)\)
   Rešitev:    A leži, B leži, C ne leži na premici.
3. Premica poteka skozi točki \(A(-1,5)\) in \(B(2,-1)\). Zapiši enačbo te premice v eksplicitni obliki. Premico tudi nariši.
   Rešitev:    \(y=-2x+3\)
4. Premica poteka skozi točki \(A(11,-4)\) in \(B(-5,2)\). Zapiši enačbo te premice v eksplicitni obliki. Računsko preveri, ali ta premica poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema.
   Rešitev:    Premica ima enačbo \(y=-\frac{3}{8}x+\frac{1}{8}\) in ne poteka skozi izhodišče.
5. Premica poteka skozi točki \(A(2,-3)\) in \(B(10,9)\). Zapiši enačbo te premice v vseh treh oblikah (če se da). Premico tudi nariši.
   Rešitev:    Eksplicitna: \(y=\frac{3}{2}x-6\),  implicitna: \(3x-2y-12=0\),  segmentna: \(\frac{x}{4}-\frac{y}{6}=1\).
6. Premica poteka skozi točki \(A\big(-2,-\,\frac{3}{2}\big)\) in \(B\big(\frac{1}{6},\frac{1}{8}\big)\). Zapiši enačbo te premice v vseh treh oblikah (če se da). Premico tudi nariši.
   Rešitev:    Eksplicitna: \(y=\frac{3}{4}x\),  implicitna: \(3x-4y=0\),  segmentna oblika ne obstaja, ker premica poteka skozi izhodišče.
7. Dana je premica \(p\!:~~ x+2y-3=0\). Preoblikuj enačbo v segmentno obliko in zapiši (s koordinatami) točki, kjer ta premica seka koordinatni osi. Premico tudi nariši.
   Rešitev:    Segmentna oblika: \(\frac{x}{3}+\frac{y}{{\textstyle\frac{3}{2}}}=1\). Premica seka abscisno os v \(A(3,0)\), ordinatno os pa v \(B\big(0,\frac{3}{2}\big)\).
8. Dana je premica \(p\!:~~ y=\frac{3}{2}x+12\). Preoblikuj enačbo v segmentno obliko in izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejuje ta premica skupaj s koordinatnima osema.
   Rešitev:    Segmentna oblika: \(-\frac{x}{8}+\frac{y}{12}=1\), ploščina: \(S=48\).
9. Dana je premica \(y=\frac{4}{3}x-4\). Izračunaj ploščino in obseg trikotnika, ki ga omejuje ta premica skupaj s koordinatnima osema.
   Rešitev:    Ploščina: \(S=6\), obseg: \(o=12\).
10. Dana je premica \(p\!:~~ y=4x-3\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki je vzporedna premici \(p\) in poteka skozi točko \(A(2,9)\).
    Rešitev:    \(q\!:~~ y=4x+1\)
11. Dana je premica \(p\!:~~ 2x-5y+3=0\). Premica \(q\) je vzporedna s premico \(p\) in poteka skozi točko \(A\big(\frac{1}{2},-1\big)\). Zapiši enačbo premice \(q\).
    Rešitev:    \(q\!:~~ y=\frac{2}{5}x-\frac{6}{5}\)
12. Dana je premica \(p\!:~~ 3x+2y-1=0\). Premica \(q\) je vzporedna s premico \(p\) in poteka skozi točko \(T(6,-3)\). Zapiši enačbo premice \(q\) v segmentni obliki in jo nariši.
    Rešitev:    \(q\!:~~ \frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\)
13. Dana je premica \(p\!:~~ y=-3x+2\). Premica \(q\) je pravokotna na premico \(p\) in poteka skozi točko \(T(6,0)\). Zapiši enačbo premice \(q\).
    Rešitev:    \(q\!:~~ y=\frac{1}{3}x-2\)
14. Dana je premica \(p\!:~~ \frac{x}{8}-\frac{y}{10}=1\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki je pravokotna na premico \(p\) in poteka skozi točko \(A\big(\frac{1}{4},\frac{1}{5}\big)\).
    Rešitev:    \(q\!:~~ y=-\frac{4}{5}x+\frac{2}{5}\)
15. Dana je premica \(p\!:~~ y=\frac{1}{2}x+2\). Ta premica seka abscisno os v točki A, ordinatno os v točki B in simetralo lihih kvadrantov v točki C. Zapiši koordinate točk A, B in C.
    Rešitev:    \(A(-4,0),~ B(0,2),~ C(4,4)\)
16. Dana je premica \(p\!:~~ 2x-3y+1=0\). Ta premica seka simetralo sodih kvadrantov v točki T in premico \(q\!:~~ y=2x\) v točki V. Izračunaj koordinate točk T in V.
    Rešitev:    \(T\big(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\big),~~ V\big(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\big)\)
17. Dana je premica \(p\!:~~ 5x+12y-119=0\). Ta premica seka simetralo lihih kvadrantov v točki A, simetralo sodih kvadrantov pa v točki B. Izračunaj razdaljo med točkama A in B.
    Rešitev:    Točki \(A(7,7)\) in \(B(-17,17)\),  razdalja:  \(|AB|=26\)
18. Izračunaj presečišče premic \(p\!:~~ y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\)  in  \(q\!:~~ y=\frac{5}{6}x-2\).
    Rešitev:    \(P\big(3,\frac{1}{2}\big)\)
19. Izračunaj presečišče premic \(p\!:~~ 5x+6y+1=0\)  in  \(q\!:~~ 4x+5y+2=0\).
    Rešitev:    \(P(7,-6)\)
20. Dana je premica \(p\!:~~ y=-\frac{1}{2}x+6\). Ta premica, abscisna os in simetrala lihih kvadrantov omejujejo trikotnik. Izračunaj koordinate oglišč tega trikotnika. Koliko meri ploščina tega trikotnika?
    Rešitev:    \(A(0,0),~ B(12,0),~ C(4,4);~~~ S=24\)
21. Dani sta premici \(p\!:~~ -\frac{x}{5}+\frac{y}{12}=1\)  in  \(q\!:~~ \frac{x}{9}+\frac{y}{12}=1\). Ti dve premici skupaj z abscisno osjo omejujeta trikotnik. Izračunaj obseg in ploščino tega trikotnika.
    Rešitev:    \(o=42,~~ S=84\)