Realna števila

1. Izračunaj natančno:
   

   (a)    \((7-3\sqrt{5})(5+2\sqrt{5})\)

   (b)    \((3+\sqrt{7})^2\)

   (c)    \((1+\sqrt{18}-\sqrt{8})^2\)

   (d)    \({\displaystyle \sqrt{50}-\sqrt{12}+\frac{6}{\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{2}}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=5-\sqrt{5}\),     (b)  \(\cdots=16+6\sqrt{7}\),     (c)  \(\cdots=3+2\sqrt{2}\),     (d)  \(\cdots=8\sqrt{2}\)
2. Izračunaj s kalkulatorjem. Rezultat zaokroži na tri decimalke:
   

   (a)    \({\displaystyle \frac{\sqrt{45}}{2-\sqrt{3}}}\)

   (b)    \((3+\sqrt{7})^2\)

   (c)    \({\displaystyle \sqrt{\frac{7}{3}}-\frac{3}{2}}\)

   (d)    \({\displaystyle \frac{7}{3}+7\sqrt{2}+3^{-3}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots\doteq25,\!035\),     (b)  \(\cdots\doteq31,\!875\),     (c)  \(\cdots\doteq0,\!028\),     (d)  \(\cdots\doteq12,\!270\)
3. Izračunaj s kalkulatorjem. Rezultat zaokroži na štiri mesta:
   

   (a)    \(\sqrt{321}-\sqrt{123}\)

   (b)    \((3+\sqrt{7})^2\)

   (c)    \({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{3}{7}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots\doteq6,\!826\),     (b)  \(\cdots\doteq31,\!87\),     (c)  \(\cdots\doteq0,\!01864\)
4. Dana so števila \(a=3\!\frac{1}{4},~~ b=0,\!\overline{12}\)  in  \(c=\sqrt{\frac{1}{7}}\). Izračunaj vrednost naslednjega izraza (rezultat zaokroži na štiri mesta):   \({\displaystyle\frac{a+b^{-1}}{c}}\).
   Rešitev:    \(\cdots\doteq30,\!43\)
5. Reši neenačbo in množico rešitev zapiši kot interval:
   

   (a)    \(3x-6 \geqslant x+4\)

   (b)    \({\displaystyle 2x+\frac{1}{2} \lt \frac{x}{2}+5}\)

   (c)    \({\displaystyle \frac{x-3}{6} \lt \frac{x}{4}-\frac{2}{3}}\)

   Rešitev:    (a)  \(x\in [5,\infty)\),     (b)  \(x\in (-\infty,3)\),     (c)  \(x\in (2,\infty)\)
6. Reši neenačbo in množico rešitev zapiši kot interval:
   

   (a)    \({\displaystyle x-\frac{x+3}{7} \leqslant \frac{2x+5}{7}}\)

   (b)    \({\displaystyle \Big(\frac{3x-2}{3}\Big)^2 \gt x\,\Big(x-\frac{2}{3}\Big)}\)

   (c)    \({\displaystyle \frac{x}{2}\,(x-1) \lt \Big(\frac{x}{2}+1\Big)\,x+1}\)

   Rešitev:    (a)  \(x\in (-\infty,2]\),     (b)  \(x\in (-\infty,\frac{2}{3})\),     (c)  \(x\in (-2,\infty)\)
7. Izračunaj:
   

   (a)    \(2+|3-2\cdot 4|-3\)

   (b)    \(|0,\!75-\frac{2}{3}|-|\frac{1}{6}-0,\!5|\)

   (c)    \(\Big|2\!\frac{1}{2}-2\cdot|1-3|+1\Big|\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=4\),     (b)  \(\cdots=-\frac{1}{4}\),     (c)  \(\cdots=\frac{1}{2}\)
8. Reši enačbo:
   

   (a)    \(|2x|=x+6\)

   (b)    \(2x=|x+6|\)

   (c)    \(|2x|+x+6=0\)

   (d)    \(2x+|x+6|=0\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=6,~ x_2=-2\),     (b)  \(x=6\),     (c)  enačba nima rešitve,     (d)  \(x=-2\)
9. Reši enačbo:
   

   (a)    \(3x-|2x-13|=17\)

   (b)    \(x^2+|x-5|=7\)

   Rešitev:    (a)  \(x=6\),     (b)  \(x_1=2,~ x_2=-1\)
10. Reši enačbo:
    

    (a)    \({\displaystyle\frac{|x-2|}{x+1}=\frac{5}{4}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{4}{x^2-9}=\frac{1}{|x|-3}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=\frac{1}{3}\),     (b)  \(x_1=1,~ x_2=-1\)