Racionalna števila

1. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)    \((3\frac{1}{2}-\frac{5}{3})\cdot\frac{15}{22}\)

   (b)    \((2-\frac{7}{8})(1-\frac{1}{3})^2\)

   (c)    \(\frac{\textstyle\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}{\textstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{5}{4}\),     (b)  \(\cdots=\frac{1}{2}\),     (c)  \(\cdots=\frac{7}{4}\)
2. Izračunaj in rezultat zapiši kot mešano število:
   

   (a)    \((\frac{5}{18}+\frac{3}{12})\cdot4\)

   (b)    \(3\frac{5}{6} : (1\frac{1}{2}+1\frac{2}{3})\)

   (c)    \(\frac{\textstyle 3\frac{1}{2}+\frac{1}{12}}{\textstyle 1\frac{1}{6}-\frac{1}{2}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\frac{1}{9}\),     (b)  \(\cdots=1\frac{4}{19}\),     (c)  \(\cdots=5\frac{3}{8}\)
3. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)    \(2^{-2}+3^{-2}+6^{-1}\)

   (b)    \((\frac{3}{4})^{-1}+(\frac{3}{7})^{-1}+(\frac{1}{2})^{-2}\)

   (c)    \(3^{-2}\cdot(\frac{7}{6}+\frac{5}{9})^{-1}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{19}{36}\),     (b)  \(\cdots=\frac{23}{3}\),     (c)  \(\cdots=\frac{2}{31}\)
4. Preoblikuj v decimalni zapis:
   

   (a)    \(\frac{37}{250}\)

   (b)    \(\frac{123}{33}\)

   (c)    \(\frac{17}{18}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=0,\!148\),     (b)  \(\cdots=3,\!\overline{72}\),     (c)  \(\cdots=0,\!9\overline{4}\)
5. Preoblikuj decimalno število v okrajšan ulomek:
   

   (a)    \(0,\!36\)

   (b)    \(0,\!\overline{36}\)

   (c)    \(0,\!3\overline{6}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{9}{25}\),     (b)  \(\cdots=\frac{4}{11}\),     (c)  \(\cdots=\frac{11}{30}\)
6. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)    \((0,\!5\overline{2}-\frac{1}{45})\cdot\frac{140}{31}\cdot\frac{31}{210}\)

   (b)    \((0,\!4+0,\!\overline{4}):(\frac{4}{9}+\frac{5}{3})\)

   (c)    \((0,\!\overline{629}+3^{-3})^2-1234^0\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{1}{3}\),     (b)  \(\cdots=\frac{2}{5}\),     (c)  \(\cdots=-\frac{5}{9}\)
7. Okrajšaj racionalni izraz:
   

   (a)    \({\displaystyle \frac{15a^2xy^3}{20ax^2y^4}}\)

   (b)    \({\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-9}}\)

   (c)    \({\displaystyle \frac{x^3-3x^2-10x}{x^3-5x^2}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{3a}{4xy}\),     (b)  \(\cdots=\frac{x+2}{x+3}\),     (c)  \(\cdots=\frac{x+2}{x}\)
8. Poenostavi izraz:
   

   (a)    \({\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}}\)

   (b)    \({\displaystyle \frac{x^2-2x-8}{x^2+x-30}:\frac{x+2}{x-5}}\)

   (c)    \({\displaystyle \Big(\frac{x}{x+5}\Big)^{-1}\cdot\frac{x^2+2x}{x^2+2x-15}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{x^2}{x-2}\),     (b)  \(\cdots=\frac{x-4}{x+6}\),     (c)  \(\cdots=\frac{x+2}{x-3}\)
9. Seštej oziroma odštej izraze:
   

   (a)    \({\displaystyle 1+\frac{1}{x-1}}\)

   (b)    \({\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}}\)

   (c)    \({\displaystyle \frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-3}+\frac{18}{x^2-9}}\)

   (d)    \({\displaystyle \frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{x}{x-1}\),     (b)  \(\cdots=\frac{2}{x(x+2)}\),     (c)  \(\cdots=\frac{5}{x-3}\),     (d)  \(\cdots=\frac{1}{x(x-1)}\)
10. Poenostavi izraze:
    

    (a)    \({\displaystyle \Big(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x}\Big)\cdot\frac{x+2}{x^2+x}}\)

    (b)    \({\displaystyle \Big(3+\frac{3}{x+2}\Big)\cdot\frac{x+2}{x^2+4x+3}}\)

    (c)    \({\displaystyle \Big(\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}\Big):\frac{x-2}{x}}\)

    (d)    \({\displaystyle \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{2}{x^2}\),     (b)  \(\cdots=\frac{3}{x+1}\),     (c)  \(\cdots=\frac{x+1}{x+2}\),     (d)  \(\cdots=x+1\)
11. Reši neenačbe:
    

    (a)    \(3x-2 \leqslant x+10\)

    (b)    \({\displaystyle 2x+\frac{3}{2}\geqslant \frac{x}{2}}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{5}{6} \gt \frac{x}{2}-\frac{1}{3}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x \leqslant 6\),     (b)  \(x \geqslant -1\),     (c)  \(x \lt 7\)
12. Reši neenačbe:
    

    (a)    \({\displaystyle x+\frac{2x-3}{5} \lt \frac{3x-1}{5}}\)

    (b)    \({\displaystyle \Big(\frac{x+1}{2}\Big)^2 \gt \frac{1}{4} x^2 +x+1}\)

    (c)    \({\displaystyle x^2-\frac{x+9}{4} \leqslant \Big(x+\frac{1}{2}\Big)^2}\)

    Rešitev:    (a)  \(x \lt \frac{1}{2}\),     (b)  \(x \lt -\frac{3}{2}\),     (c)  \(x \geqslant -2\)
13. Reši enačbe:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x-1}{6} = x+1}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{x}{2}\cdot (x+3) =\frac{(x+2)^2}{2}}\)

    (c)    \((x+2)^3=x(x+3)^2+10\)

    Rešitev:    (a)  \(x=-1\),     (b)  \(x=-4\),     (c)  \(x=\frac{2}{3}\)
14. Reši enačbe:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{5}{x^2-9x+14} =\frac{1}{x-7}}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{x}{x^2-2x-3} =\frac{1}{2x-6}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=5\),     (b)  Enačba ni rešljiva,     (c)  \(x=1\)
15. Reši enačbe:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x+3}{x^2-1}=\frac{x}{x+1}}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2} =\frac{x^2}{x^2-4}}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{x^2}{x-2} =2+\frac{12}{x-2}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=3\),     (b)  \(x=1\),     (c)  \(x_1=-2,~ x_2=4\)
16. Reši enačbi:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x^2-5x}{x-4}=\frac{4}{4-x}}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{x}{x-3} =\frac{3}{3-x}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=1\),     (b)  \(x=-3\)
17. Reši enačbi:
    

    (a)    \((x-3)^{-1}=\frac{1}{4}x\)

    (b)    \((x+2)^{-1}=x^{-2}\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=4\),     (b)  \(x_1=-1,~ x_2=2\)