Racionalna števila

1. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)    $(3\frac{1}{2}-\frac{5}{3})\cdot\frac{15}{22}$

   (b)    $(2-\frac{7}{8})(1-\frac{1}{3})^2$

   (c)    $\frac{\textstyle\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}{\textstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{5}{4}$,     (b)  $\cdots=\frac{1}{2}$,     (c)  $\cdots=\frac{7}{4}$
2. Izračunaj in rezultat zapiši kot mešano število:
   

   (a)    $(\frac{5}{18}+\frac{3}{12})\cdot4$

   (b)    $3\frac{5}{6} : (1\frac{1}{2}+1\frac{2}{3})$

   (c)    $\frac{\textstyle 3\frac{1}{2}+\frac{1}{12}}{\textstyle 1\frac{1}{6}-\frac{1}{2}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=2\frac{1}{9}$,     (b)  $\cdots=1\frac{4}{19}$,     (c)  $\cdots=5\frac{3}{8}$
3. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)    $2^{-2}+3^{-2}+6^{-1}$

   (b)    $(\frac{3}{4})^{-1}+(\frac{3}{7})^{-1}+(\frac{1}{2})^{-2}$

   (c)    $3^{-2}\cdot(\frac{7}{6}+\frac{5}{9})^{-1}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{19}{36}$,     (b)  $\cdots=\frac{23}{3}$,     (c)  $\cdots=\frac{2}{31}$
4. Preoblikuj v decimalni zapis:
   

   (a)    $\frac{37}{250}$

   (b)    $\frac{123}{33}$

   (c)    $\frac{17}{18}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=0,\!148$,     (b)  $\cdots=3,\!\overline{72}$,     (c)  $\cdots=0,\!9\overline{4}$
5. Preoblikuj decimalno število v okrajšan ulomek:
   

   (a)    $0,\!36$

   (b)    $0,\!\overline{36}$

   (c)    $0,\!3\overline{6}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{9}{25}$,     (b)  $\cdots=\frac{4}{11}$,     (c)  $\cdots=\frac{11}{30}$
6. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)    $(0,\!5\overline{2}-\frac{1}{45})\cdot\frac{140}{31}\cdot\frac{31}{210}$

   (b)    $(0,\!4+0,\!\overline{4}):(\frac{4}{9}+\frac{5}{3})$

   (c)    $(0,\!\overline{629}+3^{-3})^2-1234^0$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{1}{3}$,     (b)  $\cdots=\frac{2}{5}$,     (c)  $\cdots=-\frac{5}{9}$
7. Okrajšaj racionalni izraz:
   

   (a)    ${\displaystyle \frac{15a^2xy^3}{20ax^2y^4}}$

   (b)    ${\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-9}}$

   (c)    ${\displaystyle \frac{x^3-3x^2-10x}{x^3-5x^2}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{3a}{4xy}$,     (b)  $\cdots=\frac{x+2}{x+3}$,     (c)  $\cdots=\frac{x+2}{x}$
8. Poenostavi izraz:
   

   (a)    ${\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}}$

   (b)    ${\displaystyle \frac{x^2-2x-8}{x^2+x-30}:\frac{x+2}{x-5}}$

   (c)    ${\displaystyle \Big(\frac{x}{x+5}\Big)^{-1}\cdot\frac{x^2+2x}{x^2+2x-15}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{x^2}{x-2}$,     (b)  $\cdots=\frac{x-4}{x+6}$,     (c)  $\cdots=\frac{x+2}{x-3}$
9. Seštej oziroma odštej izraze:
   

   (a)    ${\displaystyle 1+\frac{1}{x-1}}$

   (b)    ${\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}}$

   (c)    ${\displaystyle \frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-3}+\frac{18}{x^2-9}}$

   (d)    ${\displaystyle \frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{x}{x-1}$,     (b)  $\cdots=\frac{2}{x(x+2)}$,     (c)  $\cdots=\frac{5}{x-3}$,     (d)  $\cdots=\frac{1}{x(x-1)}$
10. Poenostavi izraze:
    

    (a)    ${\displaystyle \Big(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x}\Big)\cdot\frac{x+2}{x^2+x}}$

    (b)    ${\displaystyle \Big(3+\frac{3}{x+2}\Big)\cdot\frac{x+2}{x^2+4x+3}}$

    (c)    ${\displaystyle \Big(\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}\Big):\frac{x-2}{x}}$

    (d)    ${\displaystyle \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots=\frac{2}{x^2}$,     (b)  $\cdots=\frac{3}{x+1}$,     (c)  $\cdots=\frac{x+1}{x+2}$,     (d)  $\cdots=x+1$
11. Reši neenačbe:
    

    (a)    $3x-2 \leqslant x+10$

    (b)    ${\displaystyle 2x+\frac{3}{2}\geqslant \frac{x}{2}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{5}{6} \gt \frac{x}{2}-\frac{1}{3}}$

    Rešitev:    (a)  $x \leqslant 6$,     (b)  $x \geqslant -1$,     (c)  $x \lt 7$
12. Reši neenačbe:
    

    (a)    ${\displaystyle x+\frac{2x-3}{5} \lt \frac{3x-1}{5}}$

    (b)    ${\displaystyle \Big(\frac{x+1}{2}\Big)^2 \gt \frac{1}{4} x^2 +x+1}$

    (c)    ${\displaystyle x^2-\frac{x+9}{4} \leqslant \Big(x+\frac{1}{2}\Big)^2}$

    Rešitev:    (a)  $x \lt \frac{1}{2}$,     (b)  $x \lt -\frac{3}{2}$,     (c)  $x \geqslant -2$
13. Reši enačbe:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x-1}{6} = x+1}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{x}{2}\cdot (x+3) =\frac{(x+2)^2}{2}}$

    (c)    $(x+2)^3=x(x+3)^2+10$

    Rešitev:    (a)  $x=-1$,     (b)  $x=-4$,     (c)  $x=\frac{2}{3}$
14. Reši enačbe:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{5}{x^2-9x+14} =\frac{1}{x-7}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{x}{x^2-2x-3} =\frac{1}{2x-6}}$

    Rešitev:    (a)  $x=5$,     (b)  Enačba ni rešljiva,     (c)  $x=1$
15. Reši enačbe:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{x+3}{x^2-1}=\frac{x}{x+1}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2} =\frac{x^2}{x^2-4}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{x^2}{x-2} =2+\frac{12}{x-2}}$

    Rešitev:    (a)  $x=3$,     (b)  $x=1$,     (c)  $x_1=-2,~ x_2=4$
16. Reši enačbi:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{x^2-5x}{x-4}=\frac{4}{4-x}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{x}{x-3} =\frac{3}{3-x}}$

    Rešitev:    (a)  $x=1$,     (b)  $x=-3$
17. Reši enačbi:
    

    (a)    $(x-3)^{-1}=\frac{1}{4}x$

    (b)    $(x+2)^{-1}=x^{-2}$

    Rešitev:    (a)  $x_1=-1,~ x_2=4$,     (b)  $x_1=-1,~ x_2=2$