Naravna in cela števila

1. Izračunaj:
     (a)    $1+2\cdot(3\cdot 4-5)$
     (b)    $(9-2\cdot 5)(2\cdot 7-6\cdot 3)\cdot 4-3\cdot 2$
     (c)    $(-3+2\cdot(-2))\cdot 3-2\cdot(-2\cdot(-3)-1)$
   Rešitev:    (a) 15,     (b) 10,     (c) −31
2. Izračunaj:
     (a)    $(7-3\cdot4)^2+(5^2-4\cdot7)^3$
     (b)    $1+(-2)^2-(-2^4+3^2)((-3)^3-(-2)^5)$
   Rešitev:    (a) −2,     (b) 40
3. Izračunaj števila $a,b,c$ in $d$ in jih uredi po velikosti (od najmanjšega do največjega):
        $a=-3^2\cdot(-2-(-1))$
        $b=(-3)^2\cdot(-2)-(-1)$
        $c=(-3^2)(-2\cdot(-1))$
        $d=(-3^2-2)\cdot(-1)$
   Rešitev:    $a=9,~ b=-17,~ c=-18,~ d=11;~~~~~~ c\lt b\lt a\lt d$
4. Zapiši matematični izraz, ki ustreza naslednjemu besedilu: Produkt števil  $a+2b$   in   $2a-b$  zmanjšamo za 7.
   Nato izračunaj vrednost tega izraza za $a=5,~ b=3$.
   Rešitev:    Izraz:  $(a+2b)(2a-b)-7$.   Za $a=5,~ b=3$ je vrednost izraza enaka 70.
5. Izračunaj vrednost izraza   $(x^2-3x-1)(-x^2+x)-2x+90$
     (a)    za $x=5$
     (b)    za $x=-2$
   Rešitev:    (a) −100,     (b) 40
6. Poenostavi izraz:
     (a)    $3a^2(ab^2)^3\cdot(2b)^2$
     (b)    $(2xy^2)^3\big(xy^2(2x)^3\big)^2$
     (c)    $(x^2y)^3xy^5+(3xy^3)^2x^5y^2$
   Rešitev:    (a) $\cdots=12a^5b^8$,     (b) $\cdots=2^9x^{11}y^{16}=512x^{11}y^{16}$,     (c) $\cdots=x^7y^8+9x^7y^8=10x^7y^8$
7. Razčleni (preoblikuj izraz v obliko vsote členov):
     (a)    $(2x-3)(x+2)-x(x-5)$
     (b)    $(x+5)^2+(2x-3)^2$
     (c)    $(3x+2)^3$
   Rešitev:    (a) $\cdots=x^2+6x-6$,     (b) $\cdots=5x^2-2x+34$,     (c) $\cdots=27x^3+54x^2+36x+8$
8. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev), če se da:
     (a)    $x^2-4x$
     (b)    $x^2-4$
     (c)    $x^2+4x$
     (d)    $x^2+4$
     (e)    $x^2-4x+3$
   Rešitev:    (a) $\cdots=x(x-4)$,     (b) $\cdots=(x-2)(x+2)$,     (c) $\cdots=x(x+4)$,     (d) $\cdots=x^2+4$ (izraz ni razcepen),     (e) $\cdots=(x-3)(x-1)$
9. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
     (a)    $x^3-27$
     (b)    $x^3+125$
     (c)    $x^4+8x$
   Rešitev:    (a) $\cdots=(x-3)(x^2+3x+9)$,     (b) $\cdots=(x+5)(x^2-5x+25)$,     (c) $\cdots=x(x+2)(x^2-2x+4)$
10. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
      (a)    $x^3-7x^2-4x+28$
      (b)    $x^3-7x^2+4x-28$
      (c)    $x^4+x^3-x^2-x$
    Rešitev:    (a) $\cdots=(x-7)(x-2)(x+2)$,     (b) $\cdots=(x-7)(x^2+4)$,     (c) $\cdots=x(x-1)(x+1)^2$
11. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
      (a)    $x^2+2x-35$
      (b)    $x^2-10x-24$
      (c)    $x^4+5x^2+4$
      (d)    $x^5-5x^3+36x$
      (e)    $x^4-x^3-6x^2$
    Rešitev:    (a) $\cdots=(x+7)(x-5)$,     (b) $\cdots=(x+2)(x-12)$,     (c) $\cdots=(x^2+4)(x^2+1)$,     (d) $\cdots=x(x-3)(x+3)(x^2+4)$,     (e) $\cdots=x^2(x-3)(x+2)$
12. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
      (a)    $x^5+7x^4-10x^3-70x^2+9x+63$
      (b)    $x^5-5x^4+10x^3-50x^2+9x-45$
      (c)    $x^5-2x^4-3x^3-8x^2+16x+24$
    Namig:    Pri (a) in (b) združuj po dva člena, pri (c) združuj po tri člene.
    Rešitev:    (a) $\cdots=(x+7)(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)$,     (b) $\cdots=(x-5)(x^2+9)(x^2+1)$,     (c) $\cdots=(x-3)(x+1)(x-2)(x^2+2x+4)$
13.   (a)   Razčleni izraz:  $(2x-5)^2-x^2$
      (b)   Razcepi izraz:   $(2x-5)^2-x^2$
    Namig:    Pri razčlenjevanju moraš odpraviti oklepaj. Pri razcepljanju uporabi formulo za razcep razlike kvadratov.
    Rešitev:    (a) $\cdots=3x^2-20x+25$,     (b) $\cdots=(x-5)(3x-5)$
14. Reši enačbo:
      (a)    $x^2-5x=0$
      (b)    $x^2-3x-18=0$
      (c)    $x^3-5x^2-4x+20=0$
    Rešitev:    (a) $x_1=0,~ x_2=5$,     (b) $x_1=6,~ x_2=-3$,     (c) $x_1=-2,~ x_2=2,~ x_3=5$
15. Reši enačbo:
      (a)    $x^2=x+12$
      (b)    $x^3=x$
      (c)    $x(x+2)^2=8x+16$
    Rešitev:    (a) $x_1=4,~ x_2=-3$,     (b) $x_1=0,~ x_2=1,~ x_3=-1$,     (c) $x_1=-2,~ x_2=2,~ x_3=-4$
16. Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo in katero je sestavljeno število: 53,  91,  179,  209,  391,  523,  667,  899,  947.
    Rešitev:    Praštevila: 53,  179,  523,  947.  Sestavljena števila: 91,  209,  391,  667,  899.
17. Razcepi na prafaktorje naslednja števila: 182,  405,  727,  936.
    Rešitev:    $182=2\cdot7\cdot13,$     $405=3^4\cdot5,$     $727=727$ (to je praštevilo),     $936=2^3\cdot3^2\cdot13$
18. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 112 in 140.
    Rešitev:    $D=28,~~~~ v=560$
19. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 192,  360 in 492.
    Rešitev:    $D=12,~~~~ v=118\,080$
20. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 2537 in 2773.
    Rešitev:    $D=59,~~~~ v=119\,239$