uma.8

Krog in krožnica

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Krog in krožnica

Krožnica je množica točk, ki so od izbrane točke (središče) oddaljene za izbrano razdaljo (polmer).
Krog je množica točk, ki so od središča oddaljene za polmer ali manj.

Središče se označi s črko S.
Polmer se označi s črko r.
Premer se označi s črko d.

Krog je del ravnine.

Krožnica je krivulja in je del kroga. Krog brez krožnice se imenuje notranjost kroga.

Mimobežnica je premica, ki nima s krožnico nobene skupne točke.

Dotikalnica ali tangenta ima s krožnico eno samo skupno točko - dotikališče.

Sečnica ali sekanta ima s krožnico dve skupni točki - presečišči. Sečnica ima s krogom skupno daljico - tetivo.

Najdaljše tetive gredo skozi središče kroga in so enake premeru. Dolžina premera je enaka dvema polmeroma: d = 2r.

Začetna slika

Prikazani so vsi elementi kroga in vsi trije možni odnosi med premico in krogom.

Prikaz po korakih

Sprožilo ▶ središče sprazni risbo in prikaže le središče. S kliki na naslednja sprožila se prikazujejo ostali elementi. Poudarjena je razlika med krožnico kot krivuljo in krogom kot delom ravnine.

Sprožilo ▶ mimobežnica prikaže mimobežnico, nato pa naslednja sprožila prestavljajo premico v položaj dotikalnice in še sečnice. Dotikalnica obkroži krog, da pokaže vse svoje možne položaje.

Sprožilo ▶ tetiva prikaže daljico, nato je prikazan še polmer. Ta se zavrti okrog središča, da pokaže vse možne položaje premera.

Deli krožnice in kroga

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Deli kroga in krožnice

Dve točki A in B na krožnici razdelita krožnico na dva krožna loka: lok AB in lok BA.

Tetiva med točkama na krožnici razdeli krog na dva krožna odseka: odsek AB in odsek BA.

Dve točki na krožnici povezani s polmeroma s središčem kroga razdelita krog na dva krožna izseka: izsek AB in izsek BA.

Krožni izsek je enak krožnemu odseku, kadar je tetiva enaka premeru.

Vsakemu loku AB, tetivi AB, izseku AB pripada kot ∢ASB, ki se imenuje središčni kot.

Začetna slika

Prikazan je le krog. S kliki na sprožilce se prikazujejo posamezne vrste delov kroga in krožnice.

Prikaz po korakih

Sprožilo ▶ krožni lok nariše na krožnici dve točko A in B. Krožnico razdeli na dva loka. Oba loka prestavi iz kroga na desno

Sprožilo ▶ krožni odsek prikaže tetivo AB, ki razdeli krog na dva oseka. Odseka prestavi navzdol.

Sprožilo ▶ krožni izsek nariše krožni izsek AB. Oba krožna izseka prestavi navzdol in v desno.

Obseg kroga

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Obseg kroga

Obseg kroga je v resnici dolžina krožnice. Trije krogi v risbi se zavrtijo za polovico (180°). Sled kotaljenja je daljica med rdečo in modro piko in je enaka polovici obsega. Ugotovitev: modre pike, ležijo na premici. Vsakemu krogu tako pripada pravokotni trikotnik s katetama: premer in pol obsega. Trikotniki so med sabo podobni, kar pomeni, da sta obseg in polmer v premem sorazmerju. Lahko zapišemo:

½o = k·r → k = (½o) : r

Koeficient se ugotovi z merjenjem dolžin sledi kotaljenja, in z vnosom podatkov v preglednico na desni strani. Obseg je:

o = 2·π·r

premer (r)	pol obsega (½o)	koeficient (k)
1
2
3
povprečje koeficienta

Koeficient se označi z grško črko pi, njegova vrednost je:

π = 3,141592654...

Za računanje se uporabljata števili 3,14 ali ²²/₇.

Začetna slika

Prikazani trije krogi s polmeri velikimi 1,2 in 3 enote. Postavljeni so tako, da imajo skupno gornjo točko, spodnjo pa na razdalji dveh enot.

Prikaz po korakih

Sprožilo ▶ krog r = 1 zakotali prvi krog za polovico obsega vodoravno v desno.

Sprožilo ▶ krog r = 2 zakotali drugi krog za polovico obsega vodoravno v desno.

Sprožilo ▶ krog r = 3 zakotali tretji krog za polovico obsega vodoravno v desno.

Sprožilo ▶ merjenje poveže s premico izhodiščne točke krogov, z drugo pa dosežene točke. Nastane družina vloženih podobnih trikotnikov, s stranicami: premer in polovica obsega.

Vnašanje izmerjenih (ocenjenih) dolžin polovic obsegov za posamezni krog izračunava povprečno vrednost količnika med polovico obsega in polmerom. Podatki se ocenijo na eno decimalko, decimalna vejica se lahko vnaša kot vejica ali pika.

Ploščina kroga

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Ploščina kroga

Ploščina vsakega doslej znanega lika se je ugotovila tako, da se je lik razrezal na sestavne dele in preložil v lik, za katerega (pravokotnik) je način izračuna ploščine znan.

Kako razrezati krog? Najbolj naravni krožni deli so izseki.
Krog se najprej razreže na štiri enake izseke. Te se zloži tako, da jih je pol postavljenih na loke, pol pa na konice. Dobljeni lik ima dve nasprotni lomljenki lokov dolžine ½ obsega kroga, in dve nasprotni vzporedni stranici dolžine polmera kroga.
Krog se razreže ne osem enakih izsekov in ti se zložijo na enak način. Za dobljeni lik velja ista ugotovitev, le lomnjenki nista tako visoka in polmera sta bol pokončna.
Pri razrezu na šestnajst izsekov je sestavljenka že bolj podobna pravokotniku.
Pri dovolj drobnem deljenju (neskončno) na enake izseke, se ti zložijo v pravokotnik s dolžino ½ obsega in polmera. Ploščina kroga je zato enaka:

p = ½·o·r = ½·2·π·r·r = π·r²

Začetna slika

Prikazan je le krog. S kliki na sprožilce se prikazujejo posamezni razrezi kroga.

Prikaz po korakih

Sprožilo ▶ razrez na 4 razreže krog na štiri enake dele. Izseke nato razpre in jih premakne navzdol v pripravljeni pravokotnik.

Sprožilo ▶ razrez na 8 razreže krog na osem enakih delov. Izseke nato razpre in jih premakne navzdol v pripravljeni pravokotnik.

Sprožilo ▶ razrez na 16 razreže krog na štiri enake dele. Izseke nato razpre in jih premakne navzdol v pripravljeni pravokotnik.

Postopek ima neskončno korakov, po katerih je dosežen želen rezultat. Običajna metoda matematike (limitiranje), ki jo učenci tu srečajo prvič.

Dolžina krožnega loka

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Dolžina krožnega loka

Dolžina krožnega loka je povezana z neko tetivo, nekim izsekom in nekim središčnim kotom. Med temi podatki mora obstojati neka odvisnost.

Najenostavnejša odvisnost je premo sorazmerje. Ta odvisnost se ugotavlja v risanki, ko so v treh enakih krogih trije različni loki, dobljeni z enojnim, dvojnim in trojnim izbranim središčnim kotom α.

V risanki se krogi zavrtijo, da se loki razvijejo v daljice. Ko se krajišča daljic povežejo, ustvarijo družino treh podobnih trikotnikov. To pa pomeni, da je dolžina loka v premem sorazmerju z velikostjo središčnega kota.

l \propto α

l : 2 π r = α : 360 °

l = \frac{π r α}{180}

Začetna slika

Prikazani so trije krogi s tremi loki, ki imajo središčne kote α, 2α in 3α.

Prikaz po korakih

Sprožilo ▶ zasuk α zakotali krog za kot α in nariše sled kotaljenja, ki je enaka dolžini loka.

Sprožilo ▶ zasuk 2α zakotali drugi krog.

Sprožilo ▶ zasuk 3α zakotali tretji krog.

Sprožilo ▶ merjenje poveže s premico izhodiščne točke in z drugo dosežene točke kotaljenja. Nastane družina podobnih trikotnikov, ki ponazarjajo premo sorazmerje med velikostjo središčnega kota in dolžino loka.

Ploščina krožnega izseka

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Ploščina krožnega izseka

Podobno kot pri dolžini krožnega loka, risanka prikaže premo sorazmerje med ploščino krožnega izseka in velikostjo središčnega kota.

p_{i} \propto α

p_{i} : π r^{2} = α : 360

p_{i} = \frac{π r^{2} α}{360}

še druga oblika z ploščino krožnega izseka:

p_{i} = \frac{r l}{2}

Začetna slika

Prikazani so trije krogi s tremi izseki, ki imajo središčni kot enak α, 2α in 3α. Koti so narisani po pravilu za seštevanje kotov. Premo sorazmerje med središčnim kotom in ploščino krožnega odseka je skoraj očitno.

Prikaz po korakih

Sprožilo ▶ izseki premakne izseke iz krogov v desno.

Sprožilo ▶ razrez razpre drugi in tretji izsek na izseke s kotom α.

Sprožilo ▶ še ... združi razprte izseke v novo "trikotno" zgradb, ki prikazuje kvadratno sorazmerje med polmerom in ploščino izseka.

Kot α je v tem primeru izbran tako, da je lok izseka enak polmeru. Izsek je enakostraničen, kot te velikosti pa je tudi enota za merjenje kotov:

1 radian = 180 : π = 57,2957°

Poln krog meri 2π radianov.

Krožni kolobar

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Krožni kolobar

Kolobar je lik, ki ga omejujeta dve krožnici s skupnim središčem.

Obseg vsakega lika je enak dolžini njegovega roba. Rob v kolobarju sestavljata dve krožnici, zato je obseg enak:

o =2πR + 2πr = 2π(R+r)

Ploščina kolobarja je enaka razliki ploščin obeh krogov:

p = πR² – πr² = π(R² – r²)

Krožni odsek

Krožni odsek določa tetiva. Obseg in ploščina se lahko določita le ko so znan: polmer, dolžina tetive in središčni kot.

o = t + 2r

p = p_i – p_t

Poznati je treba Pitagorov izrek.

Začetna slika

Prikazana sta kolobar in krog prerezan s tetivo na dva odseka.

Prikaz po korakih

Sprožilo ▶ razrez v obeh primerih razstavi lik na druge like, za katere se lahko izračuna ploščina.

Spremno besedilo

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Izhodišča v izdelavi pripomočka.

učno gradivo po načelu:
kar vidiš, je vse kar imaš
vsebina se s projekcijo prikaže na platno ali i-tablo
vključene so premične risbe (risanke)
namenjen razumevanju učne vsebine
gradivo ni učbenik, niti povzetek.

Gradivo jezikovno in vsebinsko ni pregledano.

Matematika ni zbirka pravil.
Matematika ne opisuje izmišljenega sveta.
Matematika išče pravila in uporablja izmišljene stvari.

Viri:

Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič, Skrivnosti števil in oblik 8, Založba Rokus d.o.o., Ljubljana, 2004
Milena Strnad & co, Presečišče 7, DZS d.d., Ljubljana, 1997
Jenkov.com, SVG Tutorial

Vojko Žagar, Srp 0.1, pripomoček za izdelavo spletnih predstavitev

Brskalniki:

Firefox 4 ali več omogoča ogled vseh vsebin.

Chrome, Opera, Safari ne prikazujejo matematičnih izrazov.

Internet Explorer ne prikazuje SVG risank in matematičnih izrazov.

Ogledi: