Primer 1:

KOCKA
p = 8
q =12           
r = 6

p – q + r = 2

8 – 12 + 6 = 2

Primer 2:

a)   n – strana piramida
Število oglišč ( p )
Ima n oglišč na osnovni ploskvi in eno oglišče v vrhu  V.
p = n + 1

Število robov ( q )
Ima n robov na osnovni ploskvi in n robov, ki vežejo vsako oglišče osnovne ploskve z vrhom  V piramide.
q = 2 · n

Število ploskev ( r )
Ima n stranskih ploskev in eno osnovno ploskev.
 r = n + 1
Preverimo Eulerjev obrazec: 

p – q + r = ( n + 1 ) – 2 · n + ( n + 1 ) =  2                  

b)    Piramida n = 6     

 p = n + 1 = 6 + 1 = 7                        

 q = 2 · n = 2 · 6 =12                         

 r = n + 1 = 6 + 1 =7

 p – q + r = 7 – 12 + 7 = 2

 Eulerjev obrazec res velja.

Primer 3:

a) n – strana prizma

Število oglišč ( p )
Prizma ima dve osnovni ploskvi in na vsaki n oglišč.
p = 2 · n 

Število robov ( q )
Ima n robov na osnovni ploskvi in n robov, ki vežejo vsako oglišče osnovne ploskve piramide z vrhom  V.
q = 3 · n 

Število ploskev ( r )
Ima n stranskih ploskev in dve osnovni ploskvi.
r = n + 2 

Preverimo Eulerjev obrazec: 

p – q + r = 2 · n – 3 · n + ( n + 2 ) =   2 

Eulerjev obrazec res velja.

b) Prizma n = 6      

p = 2 · n = 2 · 6 = 12                        

q = 3 · n = 3 · 6 =18                         

r = n + 2 = 6 + 2 =8

p – q + r = 12 – 18 + 8 = 2

 Eulerjev obrazec res velja.

Primer 4:

a) Če v nekem telesu prisekamo oglišče, se veljavnost Eulerjevega obrazca ohranja.

To je prikaz oglišča, v katerem se stika n robov.

Recimo, da ima naše prvotno telo:
p_o = število oglišč
q_o = število robov
r_o = število ploskev

Za njega velja Eulerjev obrazec   p_o – q_o + r_o = 2 

Koliko oglišč, robov in ploskev ima naše novo telo? 

Število oglišč ( p )
Eno oglišče smo odstranili, vendar smo dodali novo oglišče za vsak rob, ki je imel krajišče v  starem oglišču. Če je bilo n takih robov, potem je število takih oglišč zdaj
p = p_o + n – 1.

 Število ploskev ( r )
Ko smo telo prisekali, smo dobili novo ploskev,
r = r_o + 1

Število robov ( q )
ki je n-kotnik, zato imamo tudi n novih robov.
q = q_o + n 

Če sedaj izračunamo 

p – q + r =  ( p_o + n – 1 ) – ( q_o + n ) + ( r_o + 1 ) =  p_o – q_o + r_o + n – 1 – n + 1 = 

in upoštevamo, da je  p_o – q_o + r_o = 2,  dobimo: 

= 2 + n – 1 – n + 1 = 2 

Torej spet velja :   p – q + r =  2

b) Kocka s prisekanim enim ogliščem  ( n = 3 … število robov, ki se stikajo v oglišču, ki smo ga prisekali).

p = p_o + n – 1 = 6 + 3 – 1 = 10

r = r_o + 1 = 6 + 1 = 7

q = q_o + n = 12 + 3 = 15

p – q + r = 10 – 15 + 7 = 2

 Eulerjev obrazec spet velja.

Vrnimo se spet k pravilnim telesom. Pravilno telo ima vse ploskve skladne. To dejstvo je pomembno in nam pomaga dobiti zvezo med  številom ploskev  in številom robov.

 Vse ploskve so n – kotniki  ( n ≥ 3 ). Ker leži vsak rob na dveh ploskvah, velja zveza:

 2 · q = n · r      

Primer  : kocka  ( n = 4 )     

2 · q = n · r  

Podobno zvezo dobimo med številom oglišč in številom robov.  V pravilnem telesu se mora v vsakem oglišču sekati enako število ( recimo d ) ploskev ( večkotnikov). Pri tem mora biti d ≥ 3 . V vsakem oglišču se stika torej d robov in ker ima vsak rob dve krajišči ( oglišči ), dobimo:

2 · q = d · p

Primer  : kocka  ( n = 4 )     

2 · q = d · p  

2 · 12 = 3 · 8           

Iz obrazcev2 · q = n · r in 2 · q = d · p dobimo:

r=2q/n       p = 2q/d            n ≥ 3    in     d ≥ 3     

Če to vstavimo v p – q + r = 2 dobimo:

 2q/d - q + 2q/n = 2     oziroma če enačbo delimo z 2 · q, dobimo:

1/d + 1/n = 1/q + 1/2

 Ker je q > 0, dobimo  1/d + 1/n > 1/2 .

Ločimo dva primera :

a) d je manjše ali enako n . 

Tedaj je 1/n manjše ali enako 1/d  in dobimo  2/n je večje ali enako 1/n + 1/d > 1/2 , zato je d < 4 , torej je d = 3.

b) n je manše ali enako d . 

 Tedaj je 1/d manjše ali enako 1/n  in dobimo 2/n je večje ali enako 1/n + 1/d > 1/2, zato je  n < 4 , torej je n = 3. 

Torej je število ploskev (d) ali oblika ploskve – pravilni večkotnik (n) enako 3. Vse možnosti so prikazane v tabeli.