Eulerjeva poliederska formula

Povezava med številom oglišč, robov in ploskev poliedrov je zagotovo ena izmed pomembnejših lastnosti teles. Matematiki so jo odkrili šele v 17. oz. 18. stoletju. Presenetljivo, če vemo , da je bila že v starogrški matematiki študiju poliedrov namenjena ena izmed osrednjih vlog in da je bilo že takrat s tega področja  na voljo precej znanja. Omenjena lastnost pravi, da naj bo p število oglišč, r število ploskev in q število robov poliedra. Za poljuben enostaven polieder velja:

p – q + r = 2

 Pri tem je enostaven polieder vsak tisti, ki bi ga bilo mogoče, če bi bil primerno prožen, z raztegovanjem preoblikovati oz. napihniti v kroglo, ne da bi se pri tem na katerem koli mestu pretrgal. Torej zagotovo niso enostavni poliedri tisti, ki imajo, denimo kakšno »luknjo«, ali pa so sestavljeni iz dveh ali več manjših poliedrov, ki se stikajo zgolj vzdolž enega samega robu.

Poliedersko formulo bom preverila za pravilne poliedre, a malce kasneje.

 
Privoščimo si nekoliko zgodovinske radovednosti in poizvedovanja o avtorstvu poliederske formule.

Poliedrsko formulo naj bi poznal že Arhimed (287 - 212 pr. n. št.), vendar o tem ni dokazov.

ARHIMED

Slika na spletu:
http://www.slodiver.net/fizika/images/arhimed.jpg

Zanesljivo je formulo poznal  René Descartes (1596 - 1650). Okoli leta 1639 je namreč v nekem rokopisu opisoval lastnosti poliedrov na način, ki skorajda neposredno vodi do omenjene formule. Ni znano, ali je Descartes poznal tudi dokaz za svoje trditve. Zdi pa se, da jim vendarle ni posvečal večje pozornosti, saj ni o tem ničesar objavil. Tako se je njegov rokopis kasneje celo izgubil in so ga ponovno odkrili šele leta 1860.

RENE DESCARTES Slika na spletu:  http://www.iep.utm.edu/d/descarte.htm

Za uradnega avtorja  poliedrske formule velja  švicarski matematik Leonhard Euler. Vznemirjalo ga je predvsem dejstvo, da še nihče ni poskušal  razvrstiti poliedrov glede na število oglišč, ploskev in robov . Sam je o tem zapisal: 

“V ravninski geometriji je mogoče mnogokotnike zelo preprosto klasificirati glede na število njihovih stranic, ki je seveda vedno enako številu oglišč. Klasifikacija poliedrov v stereometriji pa je  pa je precej zahtevnejši problem, saj zgolj število njihovih ploskev za ta namen ne zadošča.”

Euler je poliedrsko formulo tudi dokazal, a le za pravilne poliedre. Za nepravilne poliedre ta formula ne velja. Eulerjeva ugotovitev je, da poliedrska formula velja le za enostavne poliedre.

LEONHARD EULER Slika na spletu: http://www.gimptuj.net/mobid/Koenigsberg/Biografi/e1-1.gif