Processing math: 100%

Sistem 3 × 3

NALOGA: Reši sistem enačb: $\begin{array}[t]{c} 6x-7y+3z=3 \\ 9x-8y+5z=11 \\ 5x-4y+2z=9 \end{array}$

Sistem treh enačb s tremi neznankami (sistem 3 × 3) rešimo tako, ga preoblikujemo v sistem 2 × 2. To dosežemo z eliminacijo ene neznanke. Eliminacijo moramo izvesti dvakrat in obakrat moramo eliminirati isto neznanko. Odločimo se, da bomo v danem sistemu eliminirali neznanko $z$ .

Prva eliminacija:
Najprej bomo neznanko $z$ eliminirali iz prve in iz druge enačbe. Prvo enačbo bomo pomnožili s $5$ , drugo enačbo bomo pomnožili z $(-3)$ in potem bomo enačbi sešteli.
$6x-7y+3z=3~~~~~/\cdot5$
$\underline{9x-8y+5z=11}~~~/\cdot(-3)$

$\left.\begin{array}{c} 30x-35y+15z=15\\ \underline{-27x+24y-15z=-33} \end{array}\right\}+$

$3x-11y=-18$

Druga eliminacija:
Zdaj bomo neznanko $z$ eliminirali še iz druge in tretje enačbe. Drugo enačbo bomo pomnožili z $(-2)$ , tretjo enačbo bomo pomnožili s $5$ in potem bomo enačbi sešteli.
$9x-8y+5z=11 ~~~/\cdot(-2)$
$\underline{5x-4y+2z=9}~~~~~/\cdot5$

$\left.\begin{array}{c} -18x+16y-10z=-22 \\ \underline{25x-20x+10z=45} \end{array}\right\}+$

$7x-4y=23$

Sistem 2 × 2:
Združimo obe zgoraj dobljeni enačbi in pred nami je sistem 2 × 2. Tudi ta sistem lahko rešimo z metodo eliminacije. Zdaj se bomo znebili neznanke $y$ .
$3x-11y=-18 ~~~/\cdot(-4)$
$\underline{7x-4y=23}~~~~~~~~/\cdot11$

$\left.\begin{array}{l} -12x+44y=72 \\ \underline{~~~77x-44y=253} \end{array}\right\}+$

$65x=325$

$x=\frac{325}{65}$

$x=5$

Tako smo določili prvo neznanko: $x=5$ . Ostali dve neznanki določimo z vstavljanjem v zgoraj zapisane enačbe.

Določanje preostalih neznank:
Dobljeni $x$ vstavimo v eno od enačb sistema 2 × 2 in izračunamo $y$ . Odločimo se (recimo) za prvo od teh dveh enačb:
$3x-11y=-18$
$3\cdot5-11y=-18$

$-11y=-18-15$

$-11y=-33$

$y=3$

Zdaj uporabimo eno od enačb prvotnega sistema 3 × 3, da izračunamo še $z$ . Odločimo se (recimo) za prvo od teh treh enačb. Vstavimo dobljeni $x$ in $y$ , potem pa izračunamo še $z$ .

$6x-7y+3z=3$
$6\cdot5-7\cdot3+3z=3$

$3z=3-30+21$

$3z=-6$

$z=-2$

Sistem 3 × 3

Sistem 3 × 3