Sistem 3x3

NALOGA: Reši sistem enačb: ⇨ \(\begin{array}[t]{c} 6x-7y+3z=3 \\ 9x-8y+5z=11 \\ 5x-4y+2z=9 \end{array}\)

Sistem treh enačb s tremi neznankami (sistem 3 × 3) rešimo tako, ga preoblikujemo v sistem 2 × 2. To dosežemo z eliminacijo ene neznanke. Eliminacijo moramo izvesti dvakrat in obakrat moramo eliminirati isto neznanko. Odločimo se, da bomo v danem sistemu eliminirali neznanko \(z\).

Prva eliminacija:
Najprej bomo neznanko \(z\) eliminirali iz prve in iz druge enačbe. Prvo enačbo bomo pomnožili s \(5\), drugo enačbo bomo pomnožili z \((-3)\) in potem bomo enačbi sešteli.
\(6x-7y+3z=3~~~~~/\cdot5\)
\(\underline{9x-8y+5z=11}~~~/\cdot(-3)\)

\(\left.\begin{array}{c} 30x-35y+15z=15\\ \underline{-27x+24y-15z=-33} \end{array}\right\}+\)

⇨ \(3x-11y=-18\)

Druga eliminacija:
Zdaj bomo neznanko \(z\) eliminirali še iz druge in tretje enačbe. Drugo enačbo bomo pomnožili z \((-2)\), tretjo enačbo bomo pomnožili s \(5\) in potem bomo enačbi sešteli.
\(9x-8y+5z=11 ~~~/\cdot(-2)\)
\(\underline{5x-4y+2z=9}~~~~~/\cdot5\)

\(\left.\begin{array}{c} -18x+16y-10z=-22 \\ \underline{25x-20x+10z=45} \end{array}\right\}+\)

⇨ \(7x-4y=23\)

Sistem 2 × 2:
Združimo obe zgoraj dobljeni enačbi in pred nami je sistem 2 × 2. Tudi ta sistem lahko rešimo z metodo eliminacije. Zdaj se bomo znebili neznanke \(y\).
⇨ \(3x-11y=-18 ~~~/\cdot(-4)\)
⇨ \(\underline{7x-4y=23}~~~~~~~~/\cdot11\)

\(\left.\begin{array}{l} -12x+44y=72 \\ \underline{~~~77x-44y=253} \end{array}\right\}+\)

\(65x=325\)

\(x=\frac{325}{65}\)

\(x=5\)

Tako smo določili prvo neznanko: \(x=5\). Ostali dve neznanki določimo z vstavljanjem v zgoraj zapisane enačbe.

Določanje preostalih neznank:
Dobljeni \(x\) vstavimo v eno od enačb sistema 2 × 2 in izračunamo \(y\). Odločimo se (recimo) za prvo od teh dveh enačb:
⇨ \(3x-11y=-18\)
\(3\cdot5-11y=-18\)

\(-11y=-18-15\)

\(-11y=-33\)

\(y=3\)

Zdaj uporabimo eno od enačb prvotnega sistema 3 × 3, da izračunamo še \(z\). Odločimo se (recimo) za prvo od teh treh enačb. Vstavimo dobljeni \(x\) in \(y\), potem pa izračunamo še \(z\).

⇨ \(6x-7y+3z=3\)
\(6\cdot5-7\cdot3+3z=3\)

\(3z=3-30+21\)

\(3z=-6\)

\(z=-2\)

Sistem 3 × 3

Sistem 3 × 3