 |
 |
 |
|
|
|
NALOGA: Reši enačbo: \({\displaystyle \frac{x-12}{x^2-3x}=\frac{x}{3-x}}\)
Najprej razcepimo imenovalec ulomka na levi strani.
\({\displaystyle \frac{x-12}{x(x-3)}=\frac{x}{3-x}}\)
Števec in imenovalec desnega ulomka pomnožimo z \((-1)\):
\({\displaystyle \frac{x-12}{x(x-3)}=\frac{x\cdot(-1)}{(3-x)\cdot(-1)}}\)
\({\displaystyle \frac{x-12}{x(x-3)}=\frac{-x}{-3+x}}\)
\({\displaystyle \frac{x-12}{x(x-3)}=\frac{-x}{x-3}}\)
Zdaj lahko odpravimo oba ulomka.
To naredimo tako, da levo in desno stran enačbe pomnožimo s skupnim imenovalcem.
V našem primeru je skupni imenovalec enak \(x(x-3)\).
\({\displaystyle \frac{x-12}{x(x-3)}=\frac{-x}{x-3}}~~~~~/\cdot x(x-3)\)
Na levi se \(x(x-3)\) krajša in ostane \(x-12\) iz števca.
Na desni se krajša samo \((x-3)\) in zato števec pomnožimo z \(x\).
Dobimo:
\(x-12=-x^2\)
Dobljeno enačbo uredimo: prenesemo vse člene na levo stran in jih zapišemo po vrsti po potencah.
Nato enačbo razcepimo po Viètovem pravilu in dobimo rezultata \(x_1\) in \(x_2\):
\(x^2+x-12=0\)
\((x-3)(x+4)=0\)
Dobimo:
\(x_1=3,~~~~x_2=-4\), toda pozor: naloge še ni konec!
Ko smo odpravljali ulomka, smo enačbo pomnožili z izrazom \(x(x-3)\).
Vedno kadar množimo enačbo z izrazom, ki vsebuje neznanko, obstaja možnost, da kateri od dobljenih rezultatov ni rešitev
prvotne enačbe.
Lažni rezultat najlažje odkrijemo s preizkusom, zato je pri racionalnih enačbah preizkus obvezen.
Prvi preizkus:
V prvotno enačbo namesto \(x\) vstavimo število 3 in izračunamo vrednost leve in desne strani:
\(\frac{\textstyle 3-12}{\textstyle 3^2-3\cdot3} \stackrel{?}{=} \frac{\textstyle 3}{\textstyle 3-3}\)
\(\frac{\textstyle-9}{\textstyle0} \ne \frac{\textstyle3}{\textstyle0}~~~ \mathbf{\diagup\!\!\!\diagup}\)
Ker ulomek ne sme imeti 0 v imenovalcu, vrednosti leve strani sploh ne moremo izačunati (ne obstaja).
Enako tudi vrednost desne strani ne obstaja.
Zato rezultat \(x=3\) ni rešitev enačbe ("odpade pri preizkusu").
Drugi preizkus:
V prvotno enačbo namesto \(x\) vstavimo število \(-4\) in izračunamo vrednost leve in desne strani:
\(\frac{\textstyle -4-12}{\textstyle(-4)^2-3\cdot(-4)} \stackrel{?}{=} \frac{\textstyle-4}{\textstyle 3-(-4)}\)
\(\frac{\textstyle -16}{\textstyle 28} \stackrel{?}{=} \frac{\textstyle -4}{\textstyle 7}\)
\(-\frac{\textstyle 4}{\textstyle 7} = -\frac{\textstyle 4}{\textstyle 7}~~~ \mathbf{\checkmark}\)
Leva stran je enaka desni, torej se preizkus izide in \(x=-4\) je rešitev enačbe.
REŠITEV: Edina rešitev enačbe je \(x=-4\).
