Logaritemska enačba

• Najprej bomo odpravili ulomek.
      \(\log(2x-4)+1 =2\log(x-17)\)
• Uporabimo standardni prijem  —  člen brez logaritma zapišemo kot logaritem (upoštevamo, da je \(1=\log 10\)):
      \(\log(2x-4)+\log 10 =2\,\log(x-17)\)
• Spomnimo se na pravila za preoblikovanje logaritmov. Uporabimo:    \(\log a + \log b = \log(ab)\)    in    \(n\,\log a = \log(a^n) \)
  Torej dobimo:
      \(\log((2x-4)\cdot10) =\log(x-17)^2\)
• Zdaj enačbo antilogaritmiramo. To pomeni, da odpravimo logaritem na levi in na desni strani.
  Dobimo enačbo brez logaritmov, nato odpravimo oklepaja in uredimo člene:
      \((2x-4)\cdot 10 =(x-17)^2\)
      \(20x-40 =x^2-34x+289\)
      \(x^2-54x+329=0\)
• Ker smo dobili kvadratno enačbo, lahko izračunamo rešitvi po formuli: \({\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)
  V našem primeru dobimo rezultata: \(x_1=7,~~ x_2=47\)
• Pri logaritemski enačbi je preizkus obvezen. S preizkusom izločimo morebitni napačni rezultat. Preizkus naredimo tako, da vstavimo dobljeni rezultat v prvotno enačbo.
• Prvi preizkus:
  V prvotno enačbo namesto \(x\) vstavimo število 7 in izračunamo vrednost leve in desne strani:
      \({\displaystyle \frac{\log(2\cdot7-4)+1}{\log(7-17)} \stackrel{?}{=} 2}\)
        \({\displaystyle \frac{\log(10)+1}{\log(-10)} \ne 2~~~ \mathbf{\diagup\!\!\!\diagup}}\)
  Ker logaritem negativnega števila ne obstaja, vrednosti leve strani sploh ne moremo izačunati. Zato rezultat \(x=7\) ni rešitev enačbe ("odpade pri preizkusu").
• Drugi preizkus:
  V prvotno enačbo namesto \(x\) vstavimo število 47 in izračunamo vrednost leve in desne strani:
      \({\displaystyle \frac{\log(2\cdot47-4)+1}{\log(47-17)} \stackrel{?}{=} 2}\)
        \({\displaystyle \frac{\log(90)+1}{\log(30)} \stackrel{?}{=} 2}\)
              \({\displaystyle 2 = 2~~~ \mathbf{\checkmark}}\)
  Leva stran je enaka desni, torej se preizkus izide in \(x=47\) je rešitev enačbe.