 |
 |
 |
|
|
|
NALOGA: Trikotnik ima oglišča v točkah \(A(3,-3,8),~ B(5,3,-1)\) in \(C(-2,7,2)\). Izračunaj kot \(\beta\) v tem trikotniku. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
Najprej moramo zapisati vektorja, ki izhajata iz skupne začetne točke in oklepata iskani kot. Izračunamo ju s pomočjo krajevnih vektorjev (v praksi to pomeni, da koordinate končne točke odštejemo od koordinat začetne točke).
\(\vekt{u}\,=\,\vekt{BA}\,=\,\vekt{r_A}-\vekt{r_B}\,=(-2,-6,9)\)
\(\vekt{v}\,=\,\vekt{BC}\,=\,\vekt{r_C}-\vekt{r_B}\,=(-7,4,3)\)
Zdaj bomo izračunali kot med vektorjema \(\vekt{u}\) in \(\vekt{v}\). Pomagali si bomo z osnovno
formulo za skalarni produkt: \(\vekt{a}\cdot\vekt{b}\,=\,|\vekt{a}|\cdot|\vekt{b}|\cdot\cos\varphi\).
To formulo lahko preoblikujemo tudi v obliko:
\({\displaystyle \cos\varphi=\frac{\vekt{a}\cdot\vekt{b}}{|\vekt{a}|\cdot|\vekt{b}|}}\)
Da bomo formulo lahko uporabili, moramo najprej izračunati tri pomožne količine: dolžino vektorja \(\vekt{u}\), dolžino vektorja \(\vekt{v}\) in skalarni produkt obeh vektorjev.
Pomagali si bomo s formulama: \(|\vekt{a}|\,=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) in \(\vekt{a}\cdot\vekt{b}\,=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
\(|\vekt{u}|=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2+9^2}=\sqrt{121}=11\)
\(|\vekt{v}|=\sqrt{(-7)^2+4^2+3^2}=\sqrt{74}\)
\(\vekt{u}\cdot\vekt{v}\,=14-24+27=17\)
Zdaj bomo uporabili zgoraj zapisano formulo za kot med vektorjema:
\({\displaystyle \cos\beta=\frac{\vekt{u}\cdot\vekt{v}}{|\vekt{u}|\cdot|\vekt{v}|}}\)
\({\displaystyle \cos\beta=\frac{17}{11\cdot\sqrt{74}}}\)
S kalkulatorjem izračunamo končni rezultat:
\(\beta\doteq79^\circ39'\)
REŠITEV: Iskani kot meri \(\beta\doteq79^\circ39'\).
