Processing math: 100%

Diagonale in koti večkotnika

NALOGA: Pravilni večkotnik ima 44 diagonal. Izračunaj, kateri večkotnik je to in koliko meri notranji kot v tem večkotniku. Kot zapiši v stopinjah in minutah.

Najprej se spomnimo na formulo za število diagonal: $D_n=\frac{n(n-3)}{2}$
V tej formuli $n$ predstavlja število stranic, $D_n$ pa število diagonal.
Ker vemo, da ima večkotnik 44 diagonal, vstavimo 44 v levo stran formule. Dobimo enačbo, ki jo potem poenostavimo in uredimo:
     $44=\frac{n(n-3)}{2}$    $/\cdot 2$
     $88=n(n-3)$
     $88=n^2-3n$
     $0=n^2-3n-88$
Izraz na desni razcepimo po Viètovem pravilu in dobimo dve rešitvi:
     $0=(n+8)(n-11)$
     $n_1=-8~\mathbf{\diagup\!\!\!\diagup}~~~~~~~~n_2=11~\mathbf{\checkmark}$
Število stranic ne more biti negativno, zato je pravilni rezultat samo $n=11$ . Gre torej za pravilni enajstkotnik.
Pri računanju kota si bomo pomagali s formulo: $S_n=(n-2)\cdot180^\circ$
Rezultat $S_n$ pomeni vsoto vseh notranjih kotov večkotnika.
Za enajstkotnik dobimo:
     $S_{11}=(11-2)\cdot 180^\circ$
     $S_{11}=1620^\circ$
Ker gre za pravilni enajstkotnik, je vseh enajst notranjih kotov skladnih in posamezni kot izračunamo tako, da vsoto kotov delimo z 11:
     $\alpha=1620^\circ:11$
     $\alpha=147\frac{3}{11}^\circ=147,272727\ldots^\circ$
Dobljeni rezultat še pretvorimo v stopinje in minute:
     $\alpha\doteq147^\circ 16'$

REŠITEV: To je pravilni enajstkotnik in notranji kot meri

$\alpha\doteq147^\circ 16'$ .