Računanje Lagrangevih točk - JavaScript calculator
(LaGrange Points - JS Calculator)

Gravitacijski in centrifugalni potencial Φgc:
 Φgc = Φg + Φc = -G( MN/|r-rN| + MK/|r-rK|) - (ω xr)2/2
Φgc = -G( MN/(r2 + rN2 + 2rrNcos(φ ) )1/2 + MK/(r2 + rK2 - 2rrKcos(φ ) )1/2 ) - ω 2r2/2



Iščemo stacionarne točke potenciala Φgc z odvajanjem in iskanjem ničel odvodov - to so Lagrangeve točke, primerne recimo za satelite (sonde, teleskope ...). Pomembne so tudi (recimo L1) v tesnih dvojnih sistemih zvezd pri pretakanju snovi iz velikih zvezd (N) na kompaktne zvezde (K) - recimo na bele pritlikavke ..., torej pri nastanku akrecijskih diskov. Supernova tipa Ia nastane prav v takem dvojnem sistemu in preko standardnega svetilnika eksplozije take supernove smo ugotovili šokantno dejstvo, da se vesolje pospešeno širi. Ko se prvotno bela pritlikavka poveča do Chandrasekharjeve meje, na okrog 1.4 M☉ (2.765×1030 kg), eksplodira kot supernova tipa Ia (elektroni in protoni se pod težo gravitacije združijo v nevtrone: e- + p › νe + n, sprosti se veliko nevtrinov in enormne količine energije, kar za izsev okrog celotne galaksije, za okrog 5 milijard Sonc).
V L4 in L5 pa se nabirajo asteroidi - recimo Trojanci v sistemu Jupiter - Sonce.
Iskanje točk L1, L2, L3 zahteva numerično reševanje - iteracijo (BISEKCIJA/sekantna/Newton ...).
Velja še: R = rN + rK, za ω smo vstavili Keplerjevo vrednost ω2 = G(MN+MK)/(rN + rK)3 ). Odvod ∂ Φgc/∂ r=0, je po odvajanju pomnožen z r - tako se lažje najde rešitve, pomembni so predznaki (kot vemo, je odvod potenciala po razdalji, pomnožen z maso, kar sila na telo, v tem primeru vsota sil na majhno telo z maso m). Seveda smo povsod okrajšali gravitacijsko konstanto G in maso m.
Več teorije dvojnega sistema teles v vesolju najdeš v dokumentu o akreciji, tudi izpeljavo Lagrangevih točk.



SLEDI JavaScripot kalkulator z bisekcijo za izračun lagrangevih točk in rel. potenciala!
LaGrange Points - JS Calculator
This calculator computes the distance to L1, the distance to L2, the distance to L3, the distance to L4 and the distance to L5 for any two-body system.



Vnesi enote za maso in razdaljo
(AU je astronomska enota, razdalja Sonce-Zemlja; M_Sonca je enota kar masa Sonca; lahko pa vnašaš podatke v kg, m, km ...). Ni obvezno, je pa pomembno, da vemo, s katerimi enotami računamo.

Vnesi maso masivnejšega telesa MN : (input Primary mass)
Vnesi maso manjšega telesa MK : (input Secondary mass)
Vnesi razdaljo med središčema teles R: (input (R) Distance between MN and MK)

-----------------------sldijo rezultati-------------
Razdalja centra veliekga telesa od težišča T: [ v km]
Izračun v km, vnesi pretvornik (recimo AU = 149597870.7 km): km (če je polje prazno, ni pretvorbe v km) IN pretvornik za maso (recimo M☉ = 1988550000000000000000000000000 kg) kg
Lagrangeva točka, razdalja
od težišča sistema T: 		Razdalja od centra velikega
telesa -with respect
to primary MN ... 		Razdalja od centra manjšega
telesa - with respect
to secondary MK ... 		Lagrangeva točka, razdalja
od težišča sistema T v km: 		Razdalja od središča
velikega telesa v km: 		Razdalja od središča
manjšega telesa v km:
L1:
L2:
L3:
L4:
L5:
Kot φ med zveznico obeh teles in
krajevnim vektorjem do Lagrangeve točke L4(5): °
POTENCIAL Φ v enoti (MN + MK)/(rN + rK), brez konstante G:
Potencial v L1
Potencial v L2
Potencial v L3
Potencial v L4
Potencial v L5
Sile v enotah (MN + MK)/(rN + rK)2 v točkah:
L1 , L2 , L3 ,
L4 , L5
(so pričakovano nič - tako smo preverili teorijo - izračuni dajo prve vrednosti komaj nekje na 10-16 dec. mestu !!!)


Obhotni čas dvojnega sistema to = 2π/ω = 2π/(G(MN+MK)/(rN + rK)3 )1/2 :
let || sek.
Orbitalna hitrost velikega telesa vM = rM*ω: km/s
Orbitalna hitrost manjšega telesa vK = rK*ω: km/s



Za vajo lahko vstavite podatke (najdete jih spodaj) za par Zemlja-Sonce, tudi Jupiter Sonce ... in boste poleg oddaljenosti Lagrangeevih točk, relativnega potenciala ..., dobili še izračune hitrosti premikanja Sonca okrog skuzpnega težišča (Jupiter povzroči premikanje, kroženje Sonca s hitrostjo približno 12.47 m/s = 0.012469 km/s, Zemlja pa zgolj le še 0.09 m/s = 0.00008945 km/s). Zakaj sta ta dva izračuna pomebna?
Ker se eksoplanete išče tudi preko Dopplerjevega pojava premikanja matične zvezde ob eksoplanetu. Hitrosti merimo torej z Dopplerjevim pojavom (sprememba valovne dolžine svetlobe z zvezde zaradi premikanja, rotacije zvezde: vz = cΔλ/λ, c je hitrost svetlobe, Δλ je sprememba valovne dolžine zaradi premikanja zvezde) in želimo si seveda, da bi bile hitrosti čim večje, zaradi občutljivosti same metode (problem so namreč »motnje« zaradi visokih površinskih hitrosti plazme na površini zvezde, nekaj 100 m/s, tukaj je še gravitacijski premik valovnih dolžin, samo premikanje Zemlje, itn – vse to je potrebno odšteti od signala). Enačba za hitrost nam pove ( vzvezde = 2πrz/T = 2πG1/3T2/3m/(T((M + m)2π)2/3) = m(2πG/T)1/3/(M + m)2/3 ), da si želimo masivne planete (a Zemlja je majhen planet), ker je hitrost sorazmerna z maso m planeta in - želimo si še relativno skromno maso M zvezde, ker je izraz (M + m)2/3 v imenovalcu in nam tako majhna masa zvezde da tudi večjo hitrost. Kljub že omenjenim izrazitim motnjam pri merjenju Dopplerjevega premika spektralnih črt, se iz signala nekako le da izluščiti periodične spremembe valovnih dolžin. Pomembno je tudi, kako je ravnina kroženja orientirana glede na Zemljo – idealno je, če Zemlja leži v ravnini kroženja eksoplaneta (takrat, gledano iz Zemlje, eksoplanet prečka matično zvezdo točno čez sredino). Glejte tudi članek: VK2020 - Od Keplerja do Newtona

JS koda: Vičar Zorko (2022)






Lagrangeve točke sistema Zemlja-Luna.
Podatki:
R = 384400 km - razdalja Zemlja-Luna
Masa_Lune = 7.34767309 1022 kg = 73476730000000000000000 kg
Masa_Zem = 5.97219 1024 kg = 5972190000000000000000000 kg



Sun, Earth and Moon Data
-------------------------------------

Sun
Mass of the Sun
1 Solar Mass
1047.708 Jupiter Masses
332.968 Earth Masses (1/332968 = 0.0000030032916076019315)
1.98855 x 1030 kilograms

Earth
Mass of the Earth: 5.97219E24 kg
Earth Aphelion: 1.01558932154734 au
Mean Distance to Sun: 1.00001423355152 au
Earth Perihelion: 0.983269342809232 au

Moon
Mass of the Moon: 0.01230314690256 Earth Masses (7.34767309E22 kg)
Distance of Moon to Earth: 384400.0 km
Radius of the Moon: 1737.1 km

Jupiter
Mass = 1.8982×10^27 kg
317.8 of Earth's
1/1047 = 0.00095510983 of Sun's
The average distance between Jupiter and the Sun is 778 million km (5.2 AU)
and it completes an orbit every 11.86 years,
Mean density = 1326 kg/m3 = 1.326 g/cm3
Polar radius = 66,854 km (41,541 mi) = 10.517 of Earth's

Saturn
Mass = 5.6834×10^26 kg = 95.159 Earths
Mass = 0.0002857 of Sun's
The average distance between Jupiter and the Sun is 1400 million km ( 9.54  AU)
and it completes an orbit every 29.6573. years,
Aphelion 1,514.50 million km (10.1238 AU),
Perihelion 1,352.55 million km (9.0412 AU)
Mean density = 0.687 g/cm3 (less than water) = 0.1246 Earths
Polar radius = 54,364 km (33,780 mi) = 8.552 Earths


https://www.vcalc.com/wiki/l1-l2-lagrange-points


Lagrangeve točke Zemlja-Sonce so zelo pomembne.
L2 in JWST
L2 = 1.010048271688083 AU,
torej je od Zemlje oddaljena = (1.0100512750134183 -1)*150000000 km = 1507691 km ≈ 1,5 106 km.
Uporabite zgornji kalkulator in preverite podatek za lego L2 glede na Zemljo ...!!!

Vesoljski teleskop James Web se nahaja v Lagrangevi točki L2 - razlogov je več. Prvi razlog je, da je L2 najbolj oddaljena lokacija od Sonca, Zemlje in Lune, ki pa je še vedno dovolj blizu Zemlje za enostavno, hitro komunikacijo. L2 je skoraj 4x razdalja Zemlja - Luna (384400 km). Sonce oddaja velike količine sevalne energije, ki bi lahko zakrila tisto, kar lahko vidi zelo občutljiv teleskop. Zato ima JWST tako velik (4-slojni) sončni ščit. Kljub temu JWST deluje na Sončno energijo. L2 je tudi v liniji z Zemljo, vendar točka ni tako blizu, da bi Zemlja blokirala Sončno svetlobo.
Tudi sonda SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) recimo kroži skupaj s sistemom Zemlja-Sonce v Lagrangeevi točki L1 in ima tako cel čas odprt pogled za slikanje Sonca.










Lagrangeva točka L2 v sistemu Zemlja-Luna je primerna za komunikacijski satelit, ki lahko cel čas nemoteno komunicira z Zemljo. Ta komunikacija pride zelo prav pri poletih na Luno.


Do eksplozije supernove tipa Ia lahko pride zato, ker se snov z normalne zvezde prek Lagrangeve točke L1 (leži na zožitvi toka plazme) pretaka na bližnjo belo pritlikavko. Ko tej masa naraste prek Chandrasekharjeve meje, na okrog 1.4 M☉, se bela pritlikavka pod lastno težo sesede v nevtronsko zvezdo - eksplozija supernove tipa Ia (vir: ESA/ATG medialab/C. Carreau).

JS koda: Vičar Zorko (2022)



Nazaj na domačo stran.