uma.8

Pravokotni trikotnik

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Pravokotni trikotnik

Trikotnik, ki ima en kot pravi (90°) imenujemo pravokotni trikotnik.

Stranico, ki leži nasproti pravemu kotu imenujemo hipotenuza.

Stranici, ki oklepata pravi kot imenujemo kateti.

Kadar sta kateti eno dolgi, ga imenujemo enakokraki pravokotni trikotnik.

Lastnosti:

Hipotenuza je najdaljša stranica v pravokotnem trikotniku.
Središče očrtane krožnice leži v razpolovišču hipotenuze.
Kateti sta druga drugi višine.
Višinska točka je v oglišču s pravim kotom.

Ugotovili bomo: če poznamo dolžini dveh stranic pravokotnega trikotnika, lahko izračunamo dolžino tretje stranice.

Navodilo se pokaže s pritiskom na tipko Enter ali s klikom na ikono Opis .

Ugotoviti je treba:

je trikotnik pravokoten,
kateri kot je pravi,
katera stranica je hipotenuza,
kateri stranici sta kateti.

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ Hipotenuza
▶ Kateta
▶ Kateta → klik na te napise sproži razširjanje posameznih stranic.
▶ Značilnosti → nariše se višina na hipotenuzo in očrtana krožnica.

▶ klik na spodnje trikotnike prikaže tri možne pravokotne trikotnike, glede na to, kateri kot je pravokotni.

▶ Prikaz od začetka se na vseh premičnih risbah izvede s klikom na kontrolno ikono Osveži .

Pitagorov izrek

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Pitagorov izrek:

Kvadrat nad hipotenuzo je ploščinsko enak vsoti kvadratov nad katetata.

c² = a² + b²

Torej, če poznamo dolžini katet, lahko izračunamo dolžino hipotenuze.

Velja tudi, če poznamo dolžino hipotenuze in ene katete, lahko izračunamo dolžino druge katete:

a² = c² − b²

b² = c² − a²

Premična risba na levi potrjuje pravilnost trditve. Najprej se naredi smiseln razrez manjših kvadratov, nato se delce zloži v večji kvadrat, tako da je v celoti prekrit.

Kliki na napise v risbi prikažejo kvadrate, razrez in izvedejo pokritje.

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ Kvadrati → nad stranicami se narišejo kvadrati.

▶ Razrezi → nariše se razrez kvadratov nad katetama tako, da je mogoče dobljene dele zložiti v kvadrat nad hipotenuzo.

▶ Pokritje → sproži se premik posameznih delov kvadratov nad katetama, tako, da pokrijejo kvadrat nad hipotenuzo.

Predstavljena konstrukcija ni dokaz Pitagorovega izreka, omogoči pa predstavo o tem, kaj Pitagorov izrek pravi.

Uporaba Pitagorovega izreka

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Uporaba Pitagorovega izreka

V pravokotnem trikotniku je ena kateta dolga 6 cm in druga 8 cm. Izračunaj dolžino hipotenuze.

a = 6 cm
b = 8 cm

c = ?

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
$c^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
$c^{2} = 36 + 64$
$c^{2} = 100$
$c = \sqrt{100}$
$c = 10$

Hipotenuza je dolga 10 cm.

V pravokotnem trikotniku je hipotenuza dolga 12 cm in kateta 8 cm. Izračunaj dolžino druge katete.

c = 12 cm
a = 8 cm

b = ?

$b^{2} = c^{2} - a^{2}$
$b^{2} = 12^{2} - 8^{2}$
$b^{2} = 144 - 64$
$b^{2} = 80$
$b^{} = \sqrt{80}$
$b = 4 \sqrt{5} ≅ 8, 9$

Druga kateta je dolga 8,9 cm.

Uporaba v pravokotniku

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Uporaba v pravokotniku

Razrez pravokotnika po vsaki diagonali, razdeli pravokotnik na skladna pravokotna trikotnika.

Trikotnika iz razreza po diagonali AC nista skladna s trikotnikoma dobljenima iz razreza po diagonali BD. Imajo pa vsi trikotniki enako dolge stranice. Vsi so pravokotni, diagonala je v vseh hipotenuza.

Zato velja za vse Pitagorov izrek:

d² = a² + b²

a² = d² – b²

b² = d² – a²

Pravokotnik nastane z zrcaljenjem pravokotnega trikotnika čez središče hipotenuze.
Pravokotni trikotnik je vedno polovica nekega pravokotnika.

Pravokotnik je lik, ki ima nasprotne stranice vzporedne, sosednje pa pravokotne.

Obseg:

o = 2(a+b)

Ploščina:

p = ab

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ diagonali AC → nariše diagonalo AC in pobarva desni trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol.

▶ diagonali BD → nariše diagonalo BD in pobarva levi trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol in v desno.

Premaknjeni trikotnik → vrne trikotnik v izhodišče.

▶ prezrcali → prezrcali trikotnik v pravokotnik.

Uporaba v kvadratu

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Uporaba v kvadratu

Razrez kvadrata po vsaki diagonali razdeli pravokotnik na skladna enakokraka pravokotna trikotnika.
Razrez po obeh diagonalah razdelli kvadrat na štiri skladne enakokrake pravokotne trikotnike.

V prvih trikotnikih je hipotenuza diagonala, v drugih pa stranica.

Za večjega velja Pitagorov izrek:

d^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}

d = \sqrt{2 a^{2}} = a \sqrt{2}

Za manjšega pa

a^{2} = {(\frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} = \frac{d^{2}}{4} + \frac{d^{2}}{4} = \frac{d^{2}}{2}

a = \sqrt{\frac{d^{2}}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d \sqrt{2}}{2}

Kvadrat nastane z zrcaljenjem enakokrakega pravokotnega trikotnika čez hipotenuzo.
Enakokraki pravokotni trikotnik je vedno polovica nekega kvadrata.

Kvadrat je pravokotnik, ki ima vse štiri stranice enako dolge.

Obseg:

o = 4a

Ploščina:

p = a² = ½d²

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ diagonali AC → nariše diagonalo AC in pobarva desni trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol in v desno.

▶ diagonali BD → nariše diagonali AC in BD in pobarva spodnji trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol.

Premaknjeni trikotnik → vrne trikotnik v izhodišče.

▶ prezrcali → prezrcali trikotnik v kvadrat.

Uporaba v enakokrakem trikotniku

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Enakokraki trikotnik

Razrez trikotnika po višini na osnovnico razdeli pravokotnik na pravokotna trikotnika. Dobljena trikotnika sta zrcalni sliki in imata enako dolge stranice. Hipotenuza je krak trikotnika.

Pitagorov izrek za vse daljice:

a^{2} = {(\frac{c}{2})}^{2} + v^{2}

$v^{2} = a^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}$

${(\frac{c}{2})}^{2} = a^{2} - v^{2}$

Enakokraki trikotnik nastane z zrcaljenjem pravokotnega trikotnika čez kateto.

Enakokraki trikotnik ima dve stranici enako dolgi.

Obseg:

o = 2a + c

Ploščina:

p = ½cv_c = ½av_a

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ višini → nariše višino na osnovnico in pobarva desni trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol in v desno.

Premaknjeni trikotnik → vrne trikotnik v izhodišče.

▶ prezrcali → prezrcali pravokotni trikotnik čez kateto v enakokrakega.

Uporaba v enakostraničnem trikotniku

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Enakostranični trikotnik

Razrez trikotnika po višini na osnovnico razdeli pravokotnik na pravokotna trikotnika. Drugi dve višini razdelita trikotnik na enak način. Dobljena trikotnika sta zrcalni sliki in imata enako dolge stranice. Hipotenuza je stranica trikotnika.

Pitagorov izrek za višino:

$v^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} =$

$= \frac{4 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4}$

$v = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Enakostranični trikotnik ima vse stranice enako dolge.

Obseg:

o = 3 a

Ploščina:

$p = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Višina:

$p = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Uporaba v rombu

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Uporaba v rombu

V razrezu po posameznih diagonalah romb razade romb v enakokraka trikotnika. Pri razrezu z obema diagonalama, pa razpade na štiri enake pravokotne trikotnike.
(Diagonali v rombu se sekata pavokotno in se razpolavljata).

Hipotenuza je stranica, kateti sta polovici diagonal.

Pitagorov izrek za stranico:

a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}

Romb je štirikotnik, ki ima vse stranice enako dolge.

Obseg:

o = 4a

Ploščina:

p = av = ½ef

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ diagonalah → nariše diagonali in pobarva spodnji trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol in v desno.

Premaknjeni trikotnik → vrne trikotnik v izhodišče.

▶ prezrcali → prezrcali enakokraki trikotnik čez osnovnico v trapez.

Uporaba v enakokrakem trapezu

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Enakokraki trapez

V razrezu po višini iz oglišča C ali D da pravokotni trikotnik s stranicami b,v,z.
Drugi razrez po diagonali AC ali BD da drugi pravokotni trikotnik s stranicami d,v,s.

Pitagorova izreka za višino v teh dveh trikotnikih:

$v^{2} = b^{2} - z^{2}$

$v^{2} = d^{2} - s^{2}$

Daljica s je srednjica trapeza:

s = \frac{a + c}{2}

Odsek z je enak:

$z = a - s$

Enakokraki trapez je štirikotnik, ki ima dve nasprotni stranici vzporedni in drugi dve nasprotni stranici enako dolgi.

Obseg:

o = a + 2b + c

Ploščina:

p = sv

Srednjica:

s = ½(a+c)

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ višini → nariše višino iz oglišča C in pobarva dobljeni trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol in v desno.

▶ diagonali → nariše diagonalo AC in pobarva dobljeni trikotnik. Nato trikotnik premakne navzdol.

Premaknjeni trikotnik → vrne trikotnik v izhodišče.

▶ srednjica → nariše srednjico v trapezu.

Uporaba v deltoidu

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Uporaba v deltoidu

V deltoidu se diagonali sekata pravokotno. Diagonalni razrez ustvari štiri pravokotne trikotnike, od katerih sta po dva zrcalno somerna.
Hipotenuzi v trikotnikih sta stranici, v obeh je ena kateta polovica diagonale e.
Diagonala f je razdeljena na dva odseka f₁ in f₂.

Pitagorov izrek za stranici:

$a^{2} = {(f_{2})}^{2} + {(\frac{e}{2})}^{2}$

$b^{2} = (f_{1}^{2}) + {(\frac{e}{2})}^{2}$

f = f_{1} + f_{2}

Deltoid nastane z zrcaljenjem raznostraničnega trikotnika čez daljšo stranico.

Deltoid je štirikotnik, ki ima po dve sosednji stranici enako dolgi.

Obseg:

o = 2(a+b)

Ploščina:

p = ½ef

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ zgornji → označi zgornji pravokotni trikotnik in ga premakne navzdol in v desno.

▶ spodnji → označi spodnji pravokotni trikotnik in ga premakne navzdol in v desno.

Premaknjeni trikotnik → vrne trikotnik v izhodišče.

▶ prezrcali → prezrcali raznostranični trikotnik čez najdaljšo stranico v deltoid.

Uporaba v krogu

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Uporaba v krogu

Dve točki A in B na krožnici določita krožni izsek, tetivo in krožni odsek.

Trikotnik ABS je enakokrak, za osnovnico ima tetivo t za kraka pa polmera r. Višina na tetivo v tem trikotniku je tudi razdalja d tetive od središča.

Višina krožnega odseka h je enaka r – d .

Pitagorov izrek za razdaljo tetive od središča:

d^{2} = r^{2} - {(\frac{t}{2})}^{2}

$h = r - d$

Krog je lik, v katerem so vse točke od središča oddaljene za polmer ali manj.

Obseg:

o = 2πr

Ploščina:

p = πr²

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ izsek → določi na krožnici dve točki in pobarva izsek.

▶ tetiva → z daljico poveže točki A in B.

▶ odsek → pobarva krožni odsek določen s točkama A in B.

▶ trikotnik → pobarva pravokotna trikotnika in ju skupaj z odsekom premakne navzdol.

Uporaba v koordinatni mreži

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Razdalja med točkama

Oziroma dolžina daljice.

Za daljico AB je treba najti pravokotni trikotnik. Osnova so koordinatne črte do točk A in B, ključna pa določitev točke E. Iz risbe je razvidno, da je |AE|=6 in |EB|=8.

|AB|²=|AE|²+|EB|²=6²+8²=36+64=100

po korenjenju je |AB| = 10

Za drugo daljico CD veljajo podobne ugotovitve (|CF|=5 in |FD|= 12).

|CD|² = |CF|²+|FD|² = 25+144 = 169

po korenjenju je |CD| = 13

Koordinatna mreža v ravnini omogoča merjenje.

Pomembna je določitev izhodišča, koordinatnih osi in določitev enote na oseh.

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ trikotnik → za dano daljico se narišejo koordinatne črte in označi pravokotni trikotnik.

Pitagorejske trikotniki

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Pitagorejski trikotniki

Pravokotni trikotnik, ki ima dolžine daljic v razmerju naravnih števil se imenuje Pitagorejski.
Trojica števil pa se imenuje Pitagorejska trojica.

Najmanjša Pitagorejska trojica je (5,4,3). Njej sorodne so vse tiste trojice, pri katerih so števila večkratniki osnovne trojice: (10,8,6), (15,12,9), (20,16,13) ...

Najmanjše osnovne Pitagorejske trojice:
(5,4,3), (13,12,5), (17,15,8), (25,24,7), (29,21,20), (37,35,12), (41,40,9) ...
Vsaki osnovi trojici pripada neskončno sorodnih trojic, tudi vseh osnovnih trojic je neskončno mnogo.

V risbi je narisan Pitagorov izrek za trikotnik (5,4,3). S kliki na naslednje ukaze, pa se prikažejo družine štirih osnovnih Pitagorejskih trikotnikov.

Pitagorejski trikotniki in Pitagorejske trojice.

Sprožitev prikazovanj v risbi:

▶ (5,4,3) → skrije prikazan Pitagorov izrek trikotnik (5,4,3) in prikaže družino trikotnikov te Pitagorejske trojice.

▶ (13,12,5) → prikaže najmanjše tri Pitagorejske trikotnike te družine.

▶ (17,15,8) → prikaže najmanjša dva Pitagorejska trikotnika te družine.

▶ (29,21,20) → prikaže najmanjši Pitagorejski trikotnik te družine.

Spremno besedilo

0;0,0,0,0;0,0,0,0;

Izhodišča v izdelavi pripomočka.

učno gradivo po načelu:
kar vidiš, je vse kar imaš
vsebina se s projekcijo prikaže na platno ali i-tablo
vključene so premične risbe (risanke)
namenjen razumevanju učne vsebine
gradivo ni učbenik, niti povzetek.

Gradivo jezikovno in vsebinsko ni pregledano.

Matematika ni zbirka pravil.
Matematika ne opisuje izmišljenega sveta.
Matematika išče pravila in uporablja izmišljene stvari.

Viri:

Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič, Skrivnosti števil in oblik 8, Založba Rokus d.o.o., Ljubljana, 2004
Milena Strnad & co, Presečišče 7, DZS d.d., Ljubljana, 1997
Jenkov.com, SVG Tutorial

Vojko Žagar, Srp 0.1, pripomoček za izdelavo spletnih predstavitev

Brskalniki:

Firefox 4 ali več omogoča ogled vseh vsebin.

Chrome, Opera, Safari ne prikazujejo matematičnih izrazov.

Internet Explorer ne prikazuje SVG risank in matematičnih izrazov.

Ogledi: