Vaje, Fizika na FGG

Vaje

    Električni potencial in električna energija

  1. Zapišimo električno polje znotraj in okoli enakomerno nabite krogle s polmerom R!

    Upoštevajmo, da je (Gaussov zakon!) električno polje znotraj votle krogle enako nič! K polju znotraj krogle na razdalji r od središča krogle prispeva le naboj v krogli z radijem r. Zato električno polje znotraj krogle linearno narašča (enako smo ugotovili za gravitacijo znotraj Zemlje!), zunaj pa pojema kakor r-2.

    Skupaj
    E = {e\over 4\,\pi\,\epsilon_0\,R^2}\,{r\over R}, za r < R in

    E = {e\over 4\,\pi\,\epsilon_0\,R^2}\,{R^2\over r^2}, , za r >= R

  2. Zapišimo električni potencial okoli enakomerno nabite krogle s polmerom R!

    Ker električno polje zunaj krogle pojema kakor okoli točkastega naboje, je enak tudi potencial:

    V = {e\over 4\, \pi\,\epsilon_0\,r}.

    Znotraj krogle pa potencial izračunamo po formuli V = -\int \vec{E}\cdot \vec{r}
    Integracijsko konstanto določimo tako, da je potencial na površini krogle zvezen.

    Dobimo: V = {e\over 4\,\pi\,\epsilon_0\,R} ({3\over 2} - {r^2\over 2\,R^2}), za r < R.

  3. Kolikšna je elektrostatska energija enakomerno nabite krogle s polmerom R in nabojem e_0!

    Mislimo si, da "gradimo" enakomerno nabito kroglo tako, da prinašamo iz neskončnosti naboj de. Za to opravimo delo dA = de\cdot (V_2 - V_1) = de\cdot ({e(r)\over 4\,\pi\,\epsilon_0 \,r} - 0). Krogla je do takrat zrasla do polmera r. Upoštevamo, da je gostota naboja konstantna in dobimo e(r) = e_0\,{r^3\over R^3} in de ={e_0\over R^3}\,3\,r^2\,dr.

    Nazadnje integriramo A = \int_0^R dA = {1\over 4\,\pi\,\epsilon_0}\,{3\,e_0^2\over 5\,R}.