S pomočjo Newtonovih zakonov gibanja in njegovega univerzalnega gravitacijskega zakona, ki vsi po vrsti veljajo za točkasta telesa, je namen tega raziskovalnega dela, izpeljati nekatere fizikalne zakonitosti, ki veljajo za gravitacijske sile med telesi. Te običajno privzamemo, tokrat pa bo naš namen njihove dedukcija iz principov in implementacija ugotovljenih dejstev na nič kaj praktičen a morda vendarle zanimivem primeru tunela skozi Zemljo.

• Najprej obravnavamo primer, ko je D > R

Postuliramo Newtonov gravitacijski zakon, ki nam v formalni obliki pove, da med dvema točkastima telesoma z masama m1 in m2 na razdalji D, deluje sila, ki je po velikosti premo sorazmeren produktu njunih mas in obratno sorazmerna s kvadratom razdalje med njima. Sila pa kaže v zveznici teh točk.Veljajo naslednje enakosti: (1,2,3,4,5)

cos ω = \frac{D−x}{\sqrt{(D−x)^{2}+R^{2}−x^{2}}} = \frac{D−x}{\sqrt{D^{2}−2Dx+R^{2}}}

r^{2} = (D − x)^{2} + y^{2}

cos ϕ = \frac{x}{R}

sin ϕ = \frac{y}{R}

dm = ρRdϕ2πy

(1)

Zaradi simetrije se vse navpične komponente sil, ki jih prispeva kolobar, izničijo. Upoštevamo samo vodoravne komponente sil.

dF = G m dm_{\overline{r^{2} cos ω}}(2)

Uporabimo enakosti 1 − 5. dF = G m ρRdϕ2πy(D−x)_{\overline{r^{2}r=− \frac{2πGmρ(D−x)dx}{sin ϕ} =− \frac{2RπGmρ(D−x)dx}{r^{3}} =− \frac{2RπGmρ(D−x)dx}{(\sqrt{D^{2}+R^{2}−2Dx})^{3}}}} (3)

Nato seštejemo sile po vseh kolobarjih.

F = ∫_{R}^{−R} \frac{2RπGmρ(D−x)dx}{(\sqrt{D^{2}+R^{2}−2Dx})^{3}}(4)

Nato dobljeni izraz vstavimo v program Mathematica in dobimo sledeč rezultat:

F = (4 πr^{2})ρGm_{\overline{D^{2}}} (5)

Tako vidimo, da je sila, ki deluje med masno točko in sfero po velikost in smeri enaka tisti med taisto masno točko in drugo masno točko, v kateri je zbrana vsa masa sfere in leži v središču sfere.

• Obravnavajmo primer, ko je D < R

Veljajo naslednje enakosti (1,2,3,4,5,6)

y^{2} + x^{2} = R^{2}

r^{2} = (x − D)^{2} + y^{2}

dm = ρRdϕ2πy

cos ω = \frac{x − D}{r}

cos ϕ = \frac{x}{R}

sin ϕ = \frac{y}{R}

−\frac{ds}{sin y} = Rdϕ

Zaradi simetrije se vse navpične sile, ki jih prispeva kolobar izničijo, zopet upoštevamo samo vodoravne komponente sil.

dF = G dm m_{\overline{r^{2}∗cos ω}}(7) Uporabimo trditve 1 − 6.

dF = G m ρRdϕ2πy(x−D)_{\overline{r^{2}r}}= −\frac{2GmρπyR(x−D)dx}{sin ωr^{3}}= −\frac{2GmρπR(x−D)dx}{r^{3}}(8) Vsota vseh sil, ki jo prispevajo kolobarji desno od masne točke je

∫_{D}^{R} dF = α_{1}(9) Vsota vseh sil, ki jo prispevajo kolobarji levo od masne točke je

∫_{−R}^{D} dF = α_{2}(10) Torej velja (po uporabi Mathematice)

—_{1}| = |_{2}|_{1} = −_{2}(11) Na masno točko znotraj sfere ne deluje gravitacijska sila iz naslova sfere.

• Izračun nihalnega časa, kjer je .

• Izračun I. kozmične hitrosti in primerjava z nihalnim časom Ugotovili smo, da je nihalni čas (t0) enak času, ki ga potrebuje telo, da pri prvi kozmični hitrosti obkroži Zemljo (t1).

• Izračun nihalnega časa pri prečnem tunelu Ne glede kje in kam naredimo tunel skozi Zemljo, bomo potrebovali enak čas. Pribijmo torej še enkrat! Na drugo stran Zemlje pridemo v času ne glede na to, ali se odpravimo okoli Zemlje s prvo kozmično hitrostjo, skozi tunel skozi središče Zemlje ali pa se odpravimo skozi prečni tunel.