Določanje gravitacijskega pospeška s prostim padom, kotaljenjem in nihanjem

Ali je Gallilei res ugotovil, da vsa telesa padajo z istim gravitacijskim pospeškom z metanjem krogel s stolpa v Pisi?




Jaka Bobnar

Andraž Briški-Javor

Matija Perne

Jernej Urankar

Gašper Žerovnik

Mitar Milutinović (zunanji sodelavec)

Metode dela:

Kroglico smo spuščali z balkona Plemljeve vile, visokega 9,35 m. Najprej smo poskušali meriti čas padanja za posamezne kroglice, vendar so bili rezultati premalo natančni za kakršnekoli sklepe, zato smo kroglice vrgli hkrati in jih tik nad tlemi fotografirali in skušali določiti razliko v preletenih poteh med posameznimi žogicami.

Fotografije:
 
 


 
 


 
 

Multimedijski spektakel: padanje žogic

Pri prostem padu smo ugotovili, da ne moremo dobiti točnih podatkov, zato smo v drugem delu žogice kotalili po klancih z različnimi nakloni. Za to tehniko smo se odločili, ker nekateri sklepajo, da je Gallilei počel isto.
 


 

Domnevajo, da si je Galilei ogledal kotaljenje krogel iz različnih snovi po klancu ali žlebu in ugotovil, da se vse kotalijo enako hitro. Iz tega naj bi sklepal, da vsa telesa padajo z istim pospeškom, kar je menda objavil. Vendar ta sklep ni trivialen. Pri kotaljenju se (z današnjimi izrazi) nekaj potencialne energije kroglice pretvori v translacijsko kinetično energijo in nekaj v rotacijsko. In kako bi Galilei vedel, da bo razmerje med kinetičnima energijama za vse kroglice enako?

Najbrž bi Galilei isto upal objaviti tudi, če se kroglici, ki jih je primerjal, ne bi gibali po klancu s konstantnim nagibom, ampak po kaki drugi poti, ki bi bila za obe kroglici enaka. Še bolj všeč bi mu verjetno bilo, če se kroglici ne bi (ali skoraj ne bi) vrteli. In če bi pri takem eksperimentu izgube lahko zmanjšali bolj kot pri kotaljenju, bi bil res idealen.

Tem zahtevam pa dokaj dobro ustreza nihanje nitnega nihala. Galilei sicer ni vedel formule za nihajni čas, iz katere bi izrazil gravitacijski pospešek, vendar bi lahko primerjal nihanje dveh enako dolgih nitnih nihal z različnima utežema in po možnosti še z istima amplitudama. Menda pa je on celo opazil, da nihalo niha s konstantno frekvenco ne glede na amplitudo, zato se mu tudi z majhnimi razlikami amplitud ne bi bilo treba ukvarjati.

Zaradi navedenih razlogov smo tudi mi izvedli poskus z nihanjem nitnega nihala in iz nihajnega časa izračunali gravitacijski pospešek. In ravno tu sta se rezultata za različni kroglici najbolje ujemala.
 
 

Rezultati:

  1. Prosti pad

    2.  

     
     
     

    Po pregledu fotografij smo ugotovili, da težje žogice tudi hitreje padajo (bilijardna krogla je bila najhitrejša, medtem ko je namiznoteniška žogica za njo zaostajala več kot 2 metra).

    Galilei je iz padanja kroglic lahko sklepal, da je g za vsa telesa enak, če je imel dovolj domišljije.
     

  2. Kotaljenje

    3.  

     
     
     

    Dolžina klanca je bila v vseh primerih 1,18 m.

    Wp z = Wk r + Wk t - zračni upor zaradi majhnih hitrosti zanemarimo

    mgh = 1/2 Jw2 + 1/2 mv2

    mgh = 1/2 kmr2 v2/r2 + 1/2 mv2

    gh = 1/2 v2 (k+1)
     

    v (poprečna) = s / t

    v (končna) = 2s / t
     

    gh = 1/2 4s2/t2 (k+1)

    gh = 2s2/t2 (k+1)
     

    g = 2s2 (k+1) / (t2h)
     

    k (polna krogla) = 2/5

    k (votla krogla) = 2/3

    k (valj) = 1/2
     
     

    B = bilijardna kroglica

    N = navadna namiznoteniška žogica

    P = polna namiznoteniška žogica

    G = gumijasta žogica

    V = valj

    Naklon: j = 23°, h = 0,47 m

    Vse časovne enote so v sekundah.
     
      B N P G V
      0,92    0,98  0,96  0,97 
      0,89    0,82  0,90  1,04 
      0,98    0,77  0,92  1,02 
      0,82    0,89  0,98  0,79 
      0,96    0,82  1,04  1,11 
      0,98    0,89  0,95  0,92 
      0,90    0,87  0,85  0,85 
      0.92    0,93  0,95  0,92 
          0,89     
          0,95     
    Poprečni čas 0,92    0,87  0,94  0,95
    Gravit. Pospešek  9,8 m/s2   11,0 m/s2 9,4 m/s2 9,8 m/s2

    Naklon: j = 5,5°, h = 0,113 m
     
      B N P G V
      1,89 2,12 1,90 1,98 2,05
      1,93 2,20 1,73 1,82 2,07
      2,05 2,14 2,07 1,82 1,98
      1,95 2,14 1,98 1,81 2,01
      2,04 2,15 1,92 1,95 2,07
      1,85 2,07 1,86 1,92 2,10
      1,82   2,14 1,76 2,10
      2,02   1,85 2,14 1,96
      1,98     1,87 1,90
      1,65     2,05 1,96
      1,68     1,95 1,82
      1,95     1,85 1,92
      1,90     2,23  
      1,85     2,30  
      1,85     2,08  
            1,77  
    Poprečni čas 1,89 2,13 1,93 1,96 2,00
    Gravit. Pospešek 9,7 m/s2 9,1 m/s2 9,2 m/s2 9,6 m/s2 9,2 m/s2

    Naklon: j = 1,8°, h = 0,037 m
     
      B N P G V
      3,30 3,89      
      3,17 3,48      
      3,36 3,83      
      3,27 3,58      
      3,29 4,29      
      3,39 4,10      
      3,27 4,43      
      3,29 4,00      
      3,32 4,00      
    Poprečni čas 3,30 3,96      
    Gravit. Pospešek 9,7 m/s2 8,0 m/s2    

     
     

  3. Nihanje
    t0 = 2p (l/g)(1/2) => g = 4p2l / t02
 

    Bilijardna krogla

    t0 = 3 s

    l1 = 2,22 m

    g = 9,803 m/s2
 

    Namiznoteniška žogica

    t0 = 2,97 s

    l2 = 2,15 m

    g = 9,57 m/s2
 

    Zaključek

    g = 9,8068019363762283184 ms-2