Dne 3. 4. 1998 je bilo na šoli organizirano Izbirno tekmovanje iz matematike. Na tekmovanje se je prijavilo15, tekmovalo pa 14 učencev. Četrti letniki niso tekmovali.

Doseženi rezultati po letnikih in uspehu:

IZBIRNO TEKMOVANJE IZ MATEMATIKE

Poišči vsa naravna števila, ki so enaka enajstkratniku vsote svojih števk.

Dokaži, da je število deljivo s 3.

Meta je prestavljala kozarca valjaste oblike z zunanjima premeroma 4 in 6 cm po papirju kvadratne oblike s stranico 9 cm. Če kozarca primerno postavi, lahko vzdolž ene stranice papirnatega kvadrata odreže pravokoten trak, pa bosta kozarca še zmeraj na papirju. Kolikšna je največja širina traku, ki ga lahko odreže?

Na črno-beli šahovnici velikosti n x n je prvo polje v prvi vrstici pobarvano črno. Janezek je v vsaki sodi vrstici vsa bela polja pobarval modro. Dokaži naslednji trditvi o tako pobarvani šahovnici:

(a) Šahovnica ima enako število modrih in belih polj.

(b) Šahovnica ima sodo mnogo črnih polj natanko tedaj, ko je n sodo število.

Pokaži, da enačba nima rešitev v naravnih številih.

Za pozitivna realna števila a, b in c velja:

a + b - | a - b | - | a + b + | a - b | -2c | > 0

Dokaži, da so a, b in c dolžine stranic nekega trikotnika.

Dan je pravokotnik ABCD z dolžinama stranic | AB | = 15 in | BC | = 10. V notranjosti pravokotnika leži taka točka E, da je | DE | =12 in | CE | = 9. Izračunaj razdalji | AE | in | BE |.

Janezek je, ko so doma kupili nov avto, na števcu kilometrov prebral 000052. Nato je ob vsakem prevoženem kilometru izačunal vsoto števk, ki jih je pokazal števec. Nekega dne je prvič ugotovil, da vsota števk še nikoli ni bila višja in da je bila že pred 9000 kilometri prav tolikšna. Kaj je tistega dne prebral na števcu? Čez koliko prevoženih kilometrov je bila vsota števk na števcu prvič večja od takratne?

Naj bosta b > 1 in n > 1 taki naravni števili, da je število 11...1(b) (n enic), zapisano v številskem sistemu z osnovo b, praštevilo. Dokaži, da je tudi n praštevilo.

Dana je kvadratna funkcija , kjer sta a in b poljubni celi števili. Pokaži, da za vsako celo število n obstaja tako celo število m, da je

p(n) p(n+1) = p(m)

Na stranici BC trikotnika ABC je izbrana takšna točka D, da je | BD | = | AC | = 1 in BAD = 1/3 DAC = 30°. Izračunaj dolžino daljice CD.

Dvanajst oseb se je usedlo k pojedini za okroglo mizo, vendar se nobeden od njiju ni usedel na mesto, ki mu ga je bil določil gostitelj. Dokaži, da se lahko krožno presedejo tako, da bosta vsaj dve osebi sedeli na pravih mestih.

Pokaži, da ne obstajajo naravna števila l, m in n, ki zadoščajo enačbi .

Naj bo poljubno število. Za vsak n N označimo z zadnjo števko števila v desetiškem zapisu. Dokaži, da je racionalno število.

Naj bo H višinska točka in T težišče takega ostrokotnega trikotnika ABC, v katerem je daljica HT vzporedna stranici AB. Dokaži, da je tg · tg ß = 3, kjer smo z označili notranji kot pri ogljišču A in z ß notranji kot pri ogljišču B.

1. Neko pleme ima 90 vojščakov in vsak izmed njih ima sulico, okrašeno z devetimi rdečimi ali zlatorumenimi peresi rajske ptice. Peresa so na vsako sulico pritrjena zaporedoma in nobeni dve rdeči peresi nista sosednji. Ali imajo lahko vsi vojščaki različno okrašene sulice?