Nina Petruna
Naloge šolskega tekmovanja iz matematike KENGURU
Rešitve
Dne 20. 3. 1998 je bilo na naši šoli izvedeno šolsko tekmovanje KENGURU. Tekmovanja se je udeležilo 75 dijakinj in dijakov.
Med tekmovanjem, ki je trajalo dve šolski uri, dijaki niso smeli uporabljati niti tablic niti žepnega raèunala.
Vrstni red:
A | B | C | D | |
1. | Brunskole Irena
Kuzma Tomaž |
Pavlišiè Ana | Štefaniè Marko | Prus Mateja |
2. | Rogina Primož | Plut Tina | Moravec Andrej | Snedec Ester |
3. | Stepinac Marjan | Brunskole Mojca | Fabjan Rok | Jud Simon |
4. | Šavli Jan | Fazliæ Sanela | Pavlišiè Andrej | Humljan Matjaž
Matkoviè Matej |
5. | Grabrijan Uroš | Simèiè Matej | Kuniè Marko | Sever Damjan |
6. | Skube Peter | Tomašiè Tihomir | Vidmar Matjaž | Imširoviè Denis
Štefaniè Polona |
7. | Kartuš Violeta | Šavor Aleksandra | Kuretiè Marko | |
8. | Aleksiæ Jovo | Škof Andrej | Pavlakoviè Katarina | |
9. | Ivanoviè Anja
Medek Matej |
Matko Jože | Dragoš Mirjana | |
10. | Matkoviè Maja | Kapele Tomaž | Bahor Simon | |
11. | Aupiè Nina | Petruna Nina | ||
12. | Angelovski Igor | |||
13. | Petric Darja |
Evropski matematièni kenguru
Marec 1998
PRVI IN DRUGI LETNIK
1. Kolikšno je najmanjše število košèkov, ki jih potrebuješ, da sestaviš besedo KENGURU? Na voljo imaš:
GURO | UR | K | NGU | ENG | URU | GUR | GNE | EN | KAN |
(A) 2 | (B) 3 | (C) 4 | (D) 5 | (E) 6 |
2. Katere notranje kote trikotnika ABC lahko izraèunamo, èe
poznamo velikost kotov1
in 1?
|
3. Kolikšna je vsota vseh dvomestnih števil, katerih vsaka števka je enaka 1 ali 2?
(A) 33 | (B) 50 | (C) 55 | (D) 44 | (E) 66 |
4. Èe želiš dobiti kvadrat, moraš liku na desni dodati lik:
(A) |
(B) |
(C) |
(D) |
(E) |
5. List papirja v obliki pravokotnega trikotnika ABC ima robove dolge AB= 5 cm, AC = 4 cm in BC = 3 cm. List prepognemo tako, da se oglišèe A prekriva z oglišèem C. Kolikšna je dolžina pregiba?
(A) 1,5 cm | (B) 2 cm | (C) 2,5 cm | (D) 3 cm | (E) 4 cm |
6. Èe je + = 30, ++= 160 in +=80, potem je ++ + =
(A) 30 | (B) 100 | (C) 110 | (D) 210 | (E) 90 |
7. Za pol kilograma moke plaèamo 30 tolarjev veè kot za èetrt kilograma moke. Koliko stane kilogram moke?
(A) 60 tolarjev | (B) 75 tolarjev | (C) 90 tolarjev | (D) 120 tolarjev | (E) 180 tolarjev |
8.Nekega leta so bili v mesecu januarju štirje ponedeljki in štirje petki. Kateri dan v tednu je bil prvi januar?
(A) torek | (B) sreda | (C) èetrtek | (D) sobota | (E) nedelja |
9. Bojan je povedal, da je vèeraj preteklo 20000 dni od njegovega rojstva. Kateri rojstni dan bo naslednji, ki ga bo Bojan praznoval?
(A) 5 | (B) 100 | (C) 55 | (D) 77 | (E) 54 |
10. Plošèina enakostraniènega trikotnika je 36. Pri vsakem od oglišè odrežemo majhen enakostranièni trikotnik tako, da je dobljeni lik pravilni šestkotnik. Kolikšna je plošèina tega šestkotnika?
(A) 24 | (B) 26 | (C) 28 | (D) 30 | (E) 33 |
11. Anžetov avto ima šestmestni števec prevoženih kilometrov. Anže je do sedaj prevozil že 21120 kilometrov, zato ima na števcu število, ki je enako, èe ga preberemo od leve proti desni ali od desne proti levi. Koliko je takšnih števil od 000000 do 999999, èe ti dve števili prištevamo mednje?
(A) 1000 | (B) 99 | (C) 100 | (D) 999999 | (E)666666 |
12. Iz 64 enako velikih belih kockic sestavimo veèjo kocko, katere površino prebarvamo modro. Koliko manjših kockic ostane popolnoma belih?
(A) 16 | (B) 8 | (C) 32 | (D) 1 | (E) 4 |
13. Jan, ki sme razdeliti krog z eno ali dvema ravnima èrtama, bi rad izpolnil štiri naloge: en krog bi razdelil na dva dela, en krog na tri dele, en krog na štiri dele in en krog na pet delov. Koliko nalog lahko izvrši?
(A) nobene | (B) eno | (C) dve | (D) tri | (E) štiri |
14. Kvadrat s plošèino 1m*m bi radi razdelili s 5 cm dolgimi vžigalicami na enake kvadrake s stranicami, dolgimi 5 cm. Koliko vžigalic potrebujemo, èe jih postavimo tudi po robu kvadrata?
(A) 400 | (B) 480 | (C) 640 | (D) 840 | (E) 960 |
15. Štiri deklice stojijo pred nami. Zanima nas, ali je naslednja trditev pravilna: 'Èe deklica nima oèal, potem ima pentljo v laseh.' Da bi to ugotovili, zadošèa da se obrne (ta):
(A) Meta in Tanja | (B) Meta | (C) Tanja | (D) Ana in Meta | (E) Tanja in Vesna |
16. Notranji kot pri ogljišèu C enakokrakega trikotnika ABC s krakoma AC in BC meri 22 stopinj. Koliko meri notranji kot pri ogljišèu B.
(A) 68 | (B) 78 | (C) 90 | (D) 79 | (E) 83 |
17. Vezalko na športnih copatih vidimo od zunaj tako, kot je narisano
na desni sliki.Èe pogledamo vezalko iz notranje strani športne copate
potem je ne moremo videti tako kot je narisano na sliki:
|
18. Škatlo dolžine 40 cm, širine 25 cm in višine 15 cm moramo napolniti z majhnimi kockami, katerih rob meri 5 cm, in velikimi kockami, katerih rob meri 10 cm, tako, da bomo porabili najmanjše število kock in da ne bo nikjer v škatli praznega prostora. Kolikšno je najmanjše število kock, ki jih potrebujemo, da napolnimo škatlo:
(A) 56 | (B) 58 | (C) 60 | (D) 64 | (E) 120 |
19. Sveža lubenica z maso2 kg je vsebovala 99% vode. Ko so jo pred predelavo izsušili je vsebovala le še 98% vode. Kolikšna je bila tedaj njena masa?
(A) 1,99 kg | (B) 1,98 kg | (C) 1 kg | (D) 0,99 kg | (E) 0, 98 kg |
20. Mojca in Simona sta ravno konèevali z shujševalno kuro. Mojca, ki je tehtala med 60 kg in 65 kg je izgubila 3 ali 4 kg. Simona, ki je tehtala med 63 kg in 67 kg, pa je izgubila 4 ali 5 kg. Mojca in Simona sta skupaj stopili na tehtnico, ki je pokazala med:
(A) 114 in 123 kg | (B) 116 in 123 kg | (C) 114 in 125 kg | (D) 116 in 125 kg | (E) ne moremo vedeti |
21. V prvem nadstropju gradu je 16 sob. Kolikšno je najmanjše število vrat, ki jih moramo odpreti, da lahko pridemo v vse sobe, ne glede na to, v kateri sobi smo na zaèetku, èe vrat za sabo ne zapiramo?
(A) 8 | (B) 12 | (C) 15 | (D) 16 | (E) 31 |
22. Imamo 2 litra korenèkovega soka, ki vsebuje 10% sladkorja, in 3 litre paradižnikovega soka, ki vsebuje 15% sladkorja. Sokova zmešamo. Koliko odstotkov sladkorja vsebuje mešanica?
(A) 12,5% | (B) 12,75% | (C) 13% | (D) 25% | (E) 5% |
23. Števila 1, 2, 2'8, 5 in 7'5 so dolžine štirih stranic in diagonale štirikotnika. Katere od teh petih števil predstavlja število diagonale?
(A) 1 | (B) 2 | (C) 2'8 | (D) 5 | (E) 7'5 |
24. Kolikšna je vsota x+y, èe velja (x-y-1)*(x-y-1)+(x+y-7)*(x+y-7)= 0 ?
(A) 3 | (B) 4 | (C) 1 | (D) -1 | (E) 7 |
25. Vsako od stranic trikotnika ABC podaljamo za dolžino te stranice tako , da dobimo trikotnik KLM. Kakšna je plošèina trikotnika, èe vemo, da je plošèina trikotnika ABC enako 1? | |||||||||||||||||
|
26. Pravokotni kos papira na sliki je skupaj s petimi vodoravnimi in napiènimi èrtami razdeljen na 12 delov. Èe bi hoteli pravokoten kos papirja razdeliti s skupaj n navpiènimi in vodoravnimi èrtami na 24 delov, potem n ne more biti: |
(A) 8 | (B) 9 | (C) 12 | (D) 18 | (E) 23 |
27. Najveè koliko števil lahko izberemo iz med {1, 2, ....24, 25}, tako da vsota nobenih dveh izbranih števil ne bo deljiva s 3?
(A) 4 | (B) 5 | (C) 9 | (D) 10 | (E) 17 |
28. Milo ima obliko kvadra. Peter, ki se s tem milom redno umiva, je po 19 dneh opazil, da so dolžine robov mila za tretjino krajše kot na zaèetku. Koliko dni bo Peter še lahko uporabljal milo?
(A) 8 | (B) 19 | (C) 27 | (D) 38 | (E) 57 |
29. Števila 1, 2, 3..., 1023, 1024 so po vrsti razporejena po krožnici v smeri urinega kazalca. Najprej odstranimo število 1, nato pa v smeri urinega kazalca vsako drugo število dokler ne ostane eno samo število. Katero število je ostalo?
(A) 2 | (B) 64 | (C) 512 | (D) 1024 | (E) ne da se doloèiti |
30. Katero od naslednjih števil je deljivo s 7 ne glede na to, kateri števki predstavljata èrki P in R?
(A) RRPPR | (B) RPRPRP | (C) PRPPRR | (D) RPPRRP | (E) PPPRRR |
Evropski matematièni kenguru
Marec 1998
TRETJI IN ÈETRTI LETNIK
1. Luka ima obleèeno majico z napisom KENGURU. Ko se postavi pred ogledalo vidi:
2. V katerem primeru se bo na vrvi zadrgnil vozel, èe bomo potegnili oba konca vrvi?
3. Kolikšen kot (v stopinjah) oklepata urina kazalca ob 9 uri in 20 minut?
(A) 140 | (B) 150 | (C) 160 | (D) 165 | (E) 170 |
4. Bojanova hiša je prikazana na štirih slikah, Emilova pa le na eni. Katera hiša je Emilova?
5. Razpredelnico, v katero lahko vpisuješ samo števila od 1 do 5, dopolni
tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in na vsaki od obeh diagonal
vsako od števil 1, 2, 3, 4 in 5 nastopalo natanko enkrat. Katero število
bo v srediènem polju razpredelnice?
|
6. Kolikšen je smerni koeficient premice x/5 + y/7 = 1?
(A) 7/5 | (B) 12 | (C) -7/5 | (D) 5/7 | (E) 35 |
7. List v obliki kvadrata s stranico a prepognemo po èrtkani
èrti, ki je oznaèena na sliki, prièemer je razdalja
AS enaka a/3 in DT enaka 2a/3. Tisti del papirja, ki ga prekriva prepognjeni
del, je:
|
8. Imamo èrne, bele, rdeèe in modre kroglice, ki jih dajemo v èrno, belo, rdeèo in modro škatlo tako, da sta barvi kroglice in škatle enaki. Najmanj koliko kroglic moramo imeti, da bomo preprièani, da je v vsaj eni škatli šest kroglic?
(A) 24 | (B) 21 | (C) 20 | (D) 16 | (E) 12 |
9. Na ravnih tleh stojita 3- meterski in 6- meterski drog. Z napetima vrvema povežemo vrh prvega droga z dnom drugega droga in obratno. Kako visoko nad tlemi je toèka, kjer se vrvi prekrižata?
(A) 1,5 m | (B) m | (C) 2 m | (D) 2,25 m | (E) odvisno od razdalje med drogovoma |
10. Èe zapišemo vsa števila od 1 do 1000 eno poleg drugega, se števka 4 pojavi:
(A) 110 krat | (B) 300 krat | (C) 121 krat | (D) 200 krat | (E) 100 krat |
11. Sneguljèica je razdelila sedmim palèkom 707 gob. Najprej je dala nekaj gob najmlajšemu palèku, nato pa vsakemu naslednjemu po velikosti 1 gobo veè kot palèku pred njim. Koliko gob je dobil najmanjši palèek?
(A) 107 | (B) 105 | (C)104 | (D) 101 | (E) 98 |
12. V ravnini so 3 toèke, ki ne ležijo na isti premici. Koliko je v tej ravnini premic, ki so enako oddaljene od vseh treh toèk?
(A) nobene ni | (B) ena | (C) dve | (D) tri | (E) neskonèno mnogo |
13. Èe je 3x =12 in 12y= 81, potem je xy enako:
(A) 1 | (B) 3,5 | (C) 4 | (D) 5 | (E) 27 |
14. Miha in Jošt imata vsak po tri karte. Miha ima na svojih kartah števila 2, 4 in 6, Jošt pa števila 1, 3 in 5. Miha in Jošt izmenoma polagata karte eno poleg druge od leve proti desni, pri èemer Miha položi prvo karto. Miha se trudi, da bi bilo tako nastalo šestmestno število èim manjše, Jošt pa, da bi bilo šestmestno število èim veèje. Katero število bosta dobila?
(A) 123456 | (B) 654321 | (C) 254361 | (D) 253146 | (E) 253416 |
15. Uèenec je sklepal
(1) Vemo, da je x > 3,
(2) zato je 3x >9,
(3) zato je 3x - x2 > 9 - x2,
(4) zato je x(3-x)>(3-x)(x+3),
(5) zato je x > 3+x,
(6) zato je 0>3.
Kje je napravil napako?
(A) od (1) k (2) | (B) od (2) k (3) | (C) od (3) k (4) | (D) od (4) k (5) | (E) od (5) k (6) |
16. Ploskev ABC piramide ABCD je pravokotni trikotnik s pravim kotom pri C. Ploskev ACD je pravokotna na ploskev BCD in na ploskev ABC. Koliko ploskev piramide ABCD ima obliko pravokotnega trikotnika?
(A) 1 | (B) 2 | (C) 3 | (D) 4 | (E) ne moremo ugotoviti |
17. Za števili a in b naj ab pomeni veèje izmed števil 2a in a+b. Kaj je (2*3)(3*2)?
(A) 9 | (B) 10 | (C) 11 | (D) 12 | (E) 13 |
18. Za katero izmed neenakosti
(1) x2 > y2 | (2) y2 > x2 | (3) x/y > 1 |
lahko z gotovostjo trdimo, da sledi iz neenakosti x>y, kjer sta x in y realni števili?
(A) za (1) in (2) | (B) za (1) in (3) | (C) za (2) in (3) | (D) za (1) | (E) za nobeno |
19. Naj bosta a in b realni števili, katerih produkt je negativno število. Katera od naštetih enakosti je zagotovo pravilna?
(A) |a|+a=0 | (B)|b|+b=0 | (C) |a+b|=||a|-|b|| | (D) |a+b|=|a-b| | (E) |a+b|=|a|+|b| |
20. Katera od naslednjih izjav o diagonalah konveksnega veèkotnika je pravilna?
(A) Obstaja konveksen veèkotnik z 28 diagonalami |
(B) Èe je število diagonal liho, potem je tudi število stranic liho |
(C) Število diagonal je vedno veèje od števila stranic |
(D) Obstaja konveksen veèkotnik s 35 diagonalami. |
(E) Prvi konveksen veèkotnik, ki ima veè kot 100 diagonal, ima 17 stranic. |
21. S šestilom narišemo krožnico s polmerom R na leseni krogli s polmerom R. Kolikšen je obseg te krožnice?
22. Kenguru skaèe po koordinatnem sistemu. Zaène v izhodišèu. V prvem skoku skoèi eno enoto proti vzhodu, v drugem skoku dve enoti proti severu, v tretjem tri enote proti zahodu, nato štiri enote proti jugu, nato pet enot zopet proti vzhodu in tako dalje. Po petdesetih skokih bo v toèki:
(A) (-25, 26) | (B) (25, 26) | (C) (26, 25) | (D) (25, -26) | (E) (26, -25) |
23. Koliko odstotkov plošèine pravokotnika pokriva osenèen lik? |
24. Koliko je takšnih ravnin, ki presekajo kocko na dva enaka dela?
(A) 1 | (B) 3 | (C) 13 | (D) 9 | (E) neskonèno mnogo |
27. Trimestno število X je sestavljeno iz števk 1, 2 in 3, trimestno število Y pa iz števk 4, 5 in 6. Vemo, da je število X+ Y liho in da je 2 druga števka števka števila X. Katera števka je na mestu enic v produktu XY?
(A) ne da se ugotoviti | (B) 2 | (C) 6 | (D) 5 | (E) 4 |
26. V pravokotnem trikotniku je polmer vèrtanega kroga enak 2 cm, polmer oèrtanega kroga pa 6,5 cm. Kolikšen je obseg trikotnika?
(A) 30 cm | (B) 36 cm | (C) 28 cm | (D) 31 cm | (E) 29 cm |
27. Najveèje naravno število n, za katero velja, da sta n +27 in n-62 kvadrata nekega naravnega števila, je:
(A) 598 | (B) 1598 | (C) 3998 | (D) 1998 | (E) ne obstaja |
28. Število x zadošèa enakosti x2 = x+1. Število x5 je enako
(A) 3x+1 | (B) 4x+2 | (C) 5x+3 | (D) 6x+4 | (E) 7x+5 |
29. Izmed šestih oseb A, B, C, D, E IN F sta dve osebi krivi, druge pa so nedolžne. Pet izmed njih je dalo po eno izjavo:
A: C je nedolžen.
B: D je nedolžen.
C: E je nedolžen.
D: F je nedolžen.
E: A je nedolžen.
Nedolžne osebe govorijo resnico. Kateri osebi sta krivi?
(A) ne da se ugotoviti | (B) A in B | (C) D in F | (D) B in D | (E) E in F |
30. V temni kleti je 20 kozarcev. V osmih kozarcih je jagodna marmelada, v sedmih malinova marmelada in v petih brusnièna marmelada. Kolikšno je najveèje število kozarcev, ki jih lahko vzamemo, èe hoèemo, da v kleti zagotovo ostanejo vsaj štirje kozarci ene vrste marmelade in trije kozarci druge vrste marmelade?
(A) 5 | (B) 6 | (C) 7 | (D) 8 | (E) 9 |