DERIVE

Kaj so programi za simbolno računanje?

Računala, priprave, ki omogočajo, da brez zapletenih postopkov, brskanja po tablicah ali zamudnega računanja “peš” ugotovimo, koliko je 125498 * 546516, 1687/54654, sin(44.54),…

So že tako prisotni v vsakdanjem življenju, da si matematike, brez njih praktično ne znamo več predstavljati. Še močnejše orodje so računalniki in računala, opremljeni s programi za simbolno računanje.

Simbolno računanje je, kot namiguje že ime samo, računanje s simboli. Tako kot z računalom zmnožimo dve števili, s simbolnim računalom zmnožimo dva izraza, izračunamo razcep števila na prafaktorje, določimo odvod funkcije, narišemo graf funkcije, rešimo enačbo, poiščemo nedoločeni integral funkcije,…

Programi za simbolno računanje nam lahko mnogokrat pomagajo. Zaradi njihovih zmožnosti, lahko ugotavljamo določene matematične zakonitosti. Poenostavitev določenih postopkov, ki so dokaj zamudno opravilo, nam omogoča, da se bolje posvetimo samemu problemu.

Taki programi so: Macsyma, Axsiom, Maple, Mathematica, MathCAD, DERIVE.

Večina teh programov je namenjena raziskovalnemu in razvojnemu delu. Toda uporabljamo jih tudi drugače.

DERIVE kot računalo

DERIVE lahko uporabljamo kot računalo. Izvajanje matematičnih operacij je enostavno. Vnesemo izraz, uporabimo ukaz in dobimo nov izraz. Vse izraze lahko uporabimo v naslednjih izrazih.

Vnos izrazov

Author

Večino izrazov posredujemo računalniku, tako da jih vtipkamo. Osnovni pripomoček pri tem je izbira AUTHOR. Ta ukaz izpiše Autor expression in čaka, da vnesemo izraz. Izraz natipkamo. Ko v vrstici piše tisto, kar želimo, pritisnemo na tipko Enter/Author expression enter in s tem zapišemo izraz na delovno površino.

Program vneseni izraz le (morda) problikuje in ga ne ovrednoti. Vsak izraz dobi tudi zaporedno številko (s katerimi se na izraze sklicujemo in jih tudi uporabljamo pri tvorjenju novih izrazov).

Zadnji izraz, ki smo ga vnesli, je osvetljen (in v desnem spodnjem kotu piše User, kot oznaka, da smo osvetljeni izraz vnesli sami in ni rezultat kakšnega računa.

Pri sestavljanju izrazov so nam na voljo vse osnovne matematične operacije:

Seštevanje ( + )

Odštevanje ( - )

Množenje ( * )

Deljenje ( / )

Pri računanju DERIVE upošteva prioriteto operacij (seveda lahko vrstni red izvajanja operacij predpišemo z uporabo oklepajev – pri tem uporabljamo le okrogle oklepaje)

DERIVE pozna tudi potence. Tako 2^43 pomeni 2⁴³ . Potence torej vnašamo z znakom ^. DERIVE potence na delovni površini izpiše dvignjeno, kot smo navajeni v matematiki. Poleg potenc pa pozna tudi !, ki označuje faktorielo.

Ulomki

Kakor hitro vnesemo izraz, kjer uporabljamo deljenje, ga DERIVE preoblikuje v ulomek. Ulomek je ena od osnovnih oblik, v katerih DERIVE hrani števila.

DERIVE predstavi racionalna števila v obliki okrajšanega ulomka. Ulomki so lahko tudi večnivojski (pozor: ker izraz vnašamo linearno moramo pri vnosu uporabiti ustrezne oklepaje).

Pisanje znaka za množenje

Da je vse skupaj bolj podobno običajnemu pisanju, lahko znak za množenje tudi izpustimo in ga nadomestimo s presledkom. Tudi če ga napišemo ga program na delovni površini ne zapiše, ampak ga nadomessti s piko.

V Declare / Output settings lahko z nastavitvijo določimo, kakšen bo videz operatorja za množenje pri zapisu.

Napaka pri vnosu – popravljanje

Med vnosom lahko izraz popravljamo. Prav tako moramo izraz popraviti, če je nepravilen in ga program noče sprejeti.

Enkrat ko smo izraz vnesli, ga ne moremo več popravljati. Če ga želimo spremeniti, ga moramo ponovno vnesti (ustrezno popravljenega).

F3 nam omogoči, da v vnosno polje prenesemo označeni izraz na delovni površini.

F4 pa naredi isto le da nam izraz prikaže opremljenega z oklepaji.

Poenostaljanje izrazov

DERIVE vnesene izraze samo oblikuje in jih ne vrednosti. Če pa želimo izvedeti, koliko je vrednost izraza, ki smo ga vnesli, moramo izraz poenostaviti (poenastvitev je kar izračun izraza). Izraz poenostavimo z izbiro Simplify.

Pri poenostavitvi DERIVE ulomke pretvori v enonivojske in jih okrajša.

Če na koncu izraza uporabimo enačaj = nam DERIVE poleg izraza izpiše poenostavljen izraz (rezultat).

Računanje z velikimi celimi števili

V nasprotju z računali zna DERIVE računati s poljubno velikimi števili.

Izpis števil

DERIVE lahko izpisuje števila na več načinov.

RATIONAL standardni (privzeti) način je, da se števila izpišejo kot okrajšani ulomki in z vsemi možnimi števkami.

SCIENTIFIC ulomke prikaže kot decimalna števila na predpisano število števk, kar določamo z izbiro Digits

DECIMAL pusti cela števila taka kot so, le ulomke zapiše v obliki decimalnega števila.

MIXED ulomke in cela števila, če so dovolj majhna, pusti takšna kot so. V nasprotnem primeru jih predstavi v eksponentnem zapisu (majhnost je opredeljena s številom števk – Digits)

S temi nastavitvami le preoblikujemo kako se vidijo zapisi na zaslonu, v samem programu so števila še vedno predstavljena točno.

Pravila glede prikaza se upoštevajo šele pri poenostavitvi.

DECIMALNI ZAPIS, PRIBLIŽEK

Če pri ukazu Author uporabimo decimalni zapis, bomo število tudi na delovni površini videli v tej obliki. Kakor hitro uporabimo ukaz Simplify, dobimo predstavitev tega decimalnega števila v obliki okrajšanega ulomka (seveda to velja le, če je uporabljena nastavitev prikaza Notation := Rational).

Če bi radi vedeli le približek, nam to omogoča izbira approximate (kako natančen rezultat dobimo, je odvisno od nastavitve Simplify / Approximate.

IRACIONALNA ŠTEVILA

Poleg racionalnih števil, vnesenih kot ulomek ali kot decimalno število, nam do vseh realnih števil manjkajo le še iracionalna števila. The DERIVE ne more predstaviti kot ulomke, zato jih hrani v nespremenjeni obliki.

DERIVE pozna tudi več konstant. Med njimi sta tudi p in e.

Vrednost neskončno vnesemo kot inf (infinity) in z njo lahko tudi računamo.

KOMPLEKSNA ŠTEVILA

DERIVE pozna tudi kompleksna števila, Imaginarno enoto vnesemo kot SQRT (-1)

FUNKCIJE

DERIVE pozna precej funkcij:

Kvadratni koren	SQRT (x)
Absolutna vrednost	ABS (x)
Sinus	SIN (x)
Kosinus	COS (x)
Tanges	TAN (x)
Kotanges	COT (x)
Arcus sinus	ASIN (x)
Arcus kosinus	ACOS (x)
Arcus tanges	ATAN (x)
Arcus kotanges	ACOT (x)
Eksponentna funkcija	EXP (x)
Naravni logaritem	LN (x) ali LOG (x)
Logaritem izraza m pri osnovi b	LOG (m,b)

ABSOLUTNE VREDNOSTI

Med funkcijami posebaj omenimo absolutno vrednost, ki jo lahko vnašamo kot ABS (izraz) ali êizraz ê.

DERIVE kot simbolno računalo

RAČUNANJE S SIMBOLI

Čeprav je že natančno računanje posebnost, po kateri se programi za simbolno računanje razlikujejo od običajnih računalniških programov s področja matematike in od računal, je računanje s simboli tista poglavitna novost, ki jo prinašajo. Tako izračunamo, da je rešitev enačbe x + b = 2, da je odvod funkcije x³ funkcija 3x² in podobno. V izrazih, ki jih uporabljamo, lahko nastopajo tudi spremenljivke in ne le števila..

Izraze, ki vsebujejo spremenljivke, vnašamo tako kot številske izraze, torej z izbiro Author. Dobljene izreze poenostavimo z ukazom Simplify (vendar je poenostavitev izrazov s simboli malo bolj zapletena kot s števili)

Spremenljivke

Spremenljivke, ki jih uporablja DERIVE, so enočrkovne. Zaradi tega DRIVE vsa daljša imena (abc) obravnava kot produkt ustreznih spremenljivk Pri standardni nastavitvi DERIVE ne loči med malimi in velikimi črkami.

FACTOR

Izbira Factor ponuja še en način preoblikovanja izrazov. Ko uporabimo to izbiro nas DERIVE vpraša po izrazu, ki naj ga razcepi ali, kot temu pogosto rečemo, faktorizira.

Ukaz zahteva, da povemo izraz, ki ga faktoriziramo. Pustimo vneseno števiko #1 in pritisnemo na tipko Enter.

Izbira Factor sprašuje katere spremenljivke naj upošteva.

DERIVE pozna več vrst faktorizacije:

TRIVIAL: tu DERIVE le izpostavi skupne faktorje.

SQUAREFREE: naredi faktorizacijo kot TRIVIAL in izpostavi še potence vsot oziroma produkte različnih potenc vsot

RATIONAL: je najbolj pogosto uporabljena faktorizacija, zato je na začetku označena. Tu poskušamo izraz razcepiti na produkt členov čim nižje stopnje brez uporabeiracionalnih ali kompleksnih števil

RADICAL: naredi faktorizacijo do nivoja, kjer bi bilo treba vpeljati kompleksna števila.

COMPLEX: polinom razcepimo na produkt samih linearnih faktorjev. Pri tem pogosto potrebujemo kompleksna števila. Ker DERIVE računa točno in kompleksna števila predstavlja v pravokotniški obliki, so dobljeni rezultati večkrat nepregledni, potem približno ovrednotimo z ukazom approximate.

Izbiro Factor lahko uporabimo tudi samo na delu izraza (ni potrebno da faktoriziramo celoten izraz, če tega nočemo)

RAZCEP NA PRAŠTEVILA

Kadar ukaz Factor uporabimo na celem številu, nam število razcepi na produkt praštevil. Če isti ukaz uporabimo za ulomek, nam ulomek najprej okrajša in v okrajšanem ulomku razcepi števec in imenovalec na prafaktorje.

DERIVE in ANALIZA

Računanje limit, določenih in nedoločenih integralov, seštevanje in produkt vrst, računanje odvodov in Taylorjeva formula so postopki, ki se skrivajo pod izbiro Calculus. Dejansko s temi izbirami le vnašamo ustrezne funkcije – rezultat dobimo ob poenostavitvi.

Limita

Izbiro Limit uporabljamo, če želimo izračunati limito izraza, ko se ta od spremenljivk, ki v izrazu nastopajo, približuje določeni vrednosti.

Ustrezni ukaz lahko vnesemo tudi prek izbire Author. To nam pride prav tudi zato , ker ga lahko opremimo z enačajem, ki v isti vrstici poenostavi limito.

Funkcija, ki ustreza lim_x®au(x), je torej LIM(u(x),x,a. če želimo izračunati desno limito, dodamo kot četrti argument 1 oziroma –1 za levo limito.

Vsota

Izbira Sum nam omogoča računati končne in neskončne vsote. Ko jo izberemo, nas program, tako kot pri računanju limit, vpraša po izrazu, ki ga bomo seštevali. Vnesemo njegovo številko ali pa ga vnesemo na novo. Nato podamo iteracijsko spremenljivko in njeni meji. Meje so poljubni izrazi, cela števila ali pa neskončna.

Tudi tu imamo na voljo funkcijo SUM(u,k,n,m) izračuna vsoto členov oblike u, ko se k spreminja od n do m .

Odvod

S Differentiate odvajamo. Vnesti moramo številko izraza ali izraz, ki ga odvajamo, spremeljivko, po kateri odvajamo, in red odvoda. Rezultat ni avtomatično poenostalnjen, ampak program le ustrezno preoblikuje izraz. Ko uporabimo Simplify, dobimo želeni rezultat.

Ustrezna funkcija je DIF(u,x), ki izračuna odvod u po x, oziroma DIF(u,x,n), ki izračuna n-ti odvod u po x.

Integral

DERIVE zna poiskati tako nedoločeni kot tudi določeni integral.