Kvadratna funkcija
Splošna oblika kvadratne funkcije je:
f(x) = ax2 + bx + c
kjer so a, b in c dana števila in a ¹ 0.
Najprej si boš ogledal najpreprostejši primer kvadratne funkcije,
kjer je a = 1, b = 0 in c = 0.
Ogledal si boš funkcijo
f(x) = x2
Za načrtovanje funkcije nariši pravokotni koordinatni sistem, nato pa poišči točke, ki ustrezajo pogoju f(x) = x2.
Najpreprosteje pare točk prikažemo v obliki tabele. Zaradi natančnosti slike si moraš določiti večje število parov točk:
f( - 3) =( - 3)2 = 9, f( 1,5) = 1,52 = 2,25
|
x |
- 3 |
- 2,5 |
- 2 |
- 1,5 |
- 1 |
0 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
|
f(x) |
9 |
|
|
|
|
|
|
2,25 |
|
|
|
|
Slika funkcije f(x) = x2
S pomočjo tega osnovnega primera lahko preideš na nekoliko bolj splošni primer in sicer:
f(x) = a . x 2
Vsak x2 moraš pomnožiti z a.
Če je a > 1 bodo vse funkcijske vrednosti povečane, pri a < 1 pa zmanjšane, vendar še vedno pozitivne.
( Graf je obrnjen navzgor)
Če je a < 0, torej negativen bodo vse funkcijske vrednosti imele negativen predznak (nasprotni predznak od funkcijskih vrednosti ax2). Graf bo obrnjen navzdol.
Naj
bo a = -1. Funkcija se glasi: f(x) = - x2
Sliki funkcij f(x) = x2 in f(x) = - x2
Točki T1(2, 4 ) in T2 ( 2, -4 ) ležita simetrično glede na abcisno os zato tudi sliko funkcije dobiš najhitreje tako, da funkcijo preslikaš preko abcisne osi.
Grafi funkcij, ki jih boš še načrtoval so krivulje z enačbo y = a.x2. Te krivulje imenujemo kvadratne parabole. Ker je f(x) = a . x2 soda funkcija, so te parabole simetrične glede na ordinatno os.
Načrtaj grafe kvadratnih funkcij f(x) = a . x2, če je a = ½, 1, 2, -½, -1, -2.
Slike funkcij: a) f(x) = ½x2, b) f(x) = x2, c) f(x) = 2x2 in d) f(x) = - ½x2,
e) f(x) = - x2, f) f(x) = - 2x2 a b c
d e f
Stopi korak naprej!
Oglej si še funkcijo:
f(x) = a . x2 + c
Njene vrednosti boš dobil tako, da k vrednostim funkcije f(x) = a . x2 prišteješ vrednost c.
Če je c > 0, bo graf vzdignjen za c, če pa je c< 0 pa spuščen za c po ordinatni osi.
Načrtaj funkcijo f(x) = x2 + c, če je c = -4, 0, 2.
Slike funkcij: a) f(x) = x2 – 4 b) f(x) = x2 c) f(x) = x2 + 2
a b c
Načrtaj še funkcije:
1) f(x) =-2x2 + 4 2) f(x) = 2x2 - 4 3) f(x) = - 2x2 + 4 4) f(x) = -2 x2 - 4
Slike:
2 1
3 4
Korak dalje je, če načrtaš funkcijo f(x) = (x - 2)2
|
X |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
X- 2 |
-7 |
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
F(x) |
49 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
Sliki funkcij a) f(x) = x2 b) f(x) = (x – 2)2
a b
Opazil si, da je sedaj graf funkcije f(x) = x2 premaknjen po x osi v desno od izhodišča za 2 enoti.
Poglej si še funkcijo:
f(x) = a . (x – r)2
Predhodni primer in premislek ti pove, da bo graf tak kot je za funkcijo f(x) = a . x2 in da bo premaknjen za r od koordinatnega izhodišča.( Če je r pozitiven ostane izraz x – r nespremenjen, saj je x – (+ r) = x – r in je funkcija premaknjena po osi x desno od koordinatnega izhodišča. Če je r negativen, torej - r, se izraz x – r spremeni in sicer
x – ( - r) = x + r, kar pomeni, da je graf funkcije premaknjen po osi x v levo od koordinatnega izhodišča.
V obeh primerih je graf f(x) = a . (x – r)2 in f(x) = a . (x + r)2 parabola.
Slike funkcij: a) f(x) = (x - 4)2 b) f(x) =
x2 c) g(x) = (x + 6)2
c b a
Graf funkcije f(x) = a . (x – r) je enak grafu funkcije f(x) = a .x2 premaknjenemu za r. Simetrala naslikane parabole je premica x = r.
Nariši graf funkcije f(x) = (x – 2)2 in g(x) = - 2 . (x + 4)2
Slika:
Parabolo f(x) = (x + 2)2 dobiš s premikom parabole f(x) = x2 za –2 po x osi.
Parabolo f(x) = - 2 . (x –
3)2 s premikom parabole f(x) = - 2 . x2 za + 4 po x osi.
Če znaš narisati vse do sedaj obravnavane funkcije potem ne bi smel imeti težav pri načrtovanju funkcije
f(x) = a . (x – r)2 + d
To je temenska oblika kvadratne funkcije.
Graf funkcije f(x) = a . (x – r)2 premakneš za d v smeri ordinatne osi. Dobljena parabola ostane simetrična glede na premico x = r.
Na naslednjih slikah je narisano, kaj vse lahko dobiš na ta način,
če d ¹ 0.
1) a > 0 2) a > 0
r > 0 r > 0
d > 0 d < 0
3) a > 0 4) a > 0
r < 0 r < 0
d > 0 d < 0
5) a < 0 6) a < 0
r > 0 r > 0 0
d > 0 d < 0
7) a < 0 8) a < 0
r < 0 r < 0
d > 0 d < 0
Simetrala parabole se imenuje tudi os parabole. Točko, kjer se sekata parabola in njena os je teme parabole.
Teme parabole f(x) = a . (x – r)2 + d ima abciso enako r, ordinato pa d.
Označimo jo s črko T.
T – teme parabole je točka s koordinatama r in d.
T(r, d)
Funkcija f(x) = a . (x – r)2 + d zavzame v T (r, d) največjo ali najmanjšo vrednost:
Če je a > 0 zavzame funkcija f(x) = a . (x – r)2 + d v T(r, d) najmanjšo vrednost, ki se imenuje minimum.
Če je a < 0 zavzame funkcija f(x) = a . (x – r)2 + d v T(r,d) največjo vrednost, ki se imenuje maksimum.
Nariši graf funkcije f(x) = 2 .(x – 2)2 + 4 in g8x) = -3 .(x+4)2- 2
a = 2, r = 2, d = 4 a = -3, r = -4, d = -2
Koordinati temena: T(2, 4) Koordinati temena T(- 4,- 2)
Slika: Slika:
Sedaj že toliko znaš, da lahko narišeš graf splošne kvadratne funkcije, kar je bil tvoj cilj. Najprej moraš izpeljati povezavo
f(x) = ax2 +bx + c in f(x) = a . (x – r)2 + d oziroma med a, b in c ter r in d :
a se imenuje vodilni koeficient, b linearni člen, c prosti člen, r in d pa sta koordinati temena.
Denimo, da sta funkciji f(x) = ax2 +bx + c in f(x) = a . (x – r)2 + d identični.
Povezava med koeficienti a, b in c ter koordinatama temena r in d je sledeča:
f(x) = a . (x – r)2 + d Opravi kvadriranje izraza (x – r)2.
f(x) = a .(x2 –2. x . r + r2) + d
f(x) = a.x2 –2. a . x . r + a . r2 + d
Primerjaj dobljeno s f(x) = ax2 + bx + c
1) ax2 = ax2
2) b . x = - 2 .a . x . r /: x
b = - 2 .a . r
r =
r
=
3) a . r2 + d = c
d = c – a . r2
d = c – a .
d = c – a .
d = c -
d =
d =
d =
Nariši graf funkcije f(x) = x2 + 4x + 1
Določi najprej koeficiente:
a = 1, b = 4, c = 1
Ker je a > 0 ima funkcija v točki T(r, d) minimum in je obrnjena navzgor.
Ker je a =1 bo graf funkcije enak f(x) = x2.
Slika:
r = -2
d = - 3
Teme ima koordinati T( - 2, - 3)
V a j e:
1. Načrtaj grafe kvadratnih funkcij:
a) f(x) = 2x2
b) f(x) = -3x2 c) f(x) =
d) f(x) = 
2. Načrtaj grafe kvadratnih funkcij:
a) f(x) =x2 - 1 b) f(x) =x2 - 4 c) f(x) = x2 + 2
d) f(x) = (x – 1)2 e) f(x) = (x +1)2 f) f(x) = (x – 3)2
g) f(x) =
h) f(x) =2 . (x + 1)2 i) f(x) =
3. Načrtaj grafe kvadratnih funkcij:
a) f(x) = x2 – 2x - 3 b) f(x) = x2 + 2x + 3 c) f(x) = - x2 + 2x – 1
d) f(x) = x2 + x - 1 e) f(x) = x2 –3x – 4 f) f(x) = 2 . x2 - 5x + 2
g) f(x) =
h) f(x) = -2x2 – 4x + 6
i) f(x) =
j) f(x) = 
k) f(x) = 
l) f(x) =
m) f(x) = - x2 + x + 1 n) f(x) = - 2 x2
+ 12x -18
o) f(x) =