J. P. Perške, Dane Klepić
Moja zabavna matematika
Založba Mladinska knjiga, 1991



ZGODBA O ŠAHOVNICI

Šah so iznašli v Indiji. Ko se je indijski vladar Šeram seznanil s šahovsko igro in se je naučil igrati, je bil navdušen nad njeno lepoto. Zvedel je, da si je igro izmislil eden od njegovih podanikov, ter ukazal, naj ga poiščejo in pripeljejo, da bi ga nagradil. Iznajditelj, ki mu je bilo ime Seta, je prišel pred vladarja. Bil je skromno oblečen učenjak, ki je dobival sredstva za preživljanje od učencev.
"Seta, želim te primerno nagraditi za čudovito igro, ki si jo iznašel," je rekel vladar. Modrijan se je priklonil.
"Naj ti ne bo nerodno," ga je spodbujal vladar, "povej svojo željo! Ničesar mi ne bo žal, samo da ti jo izpolnim."
"Gospodar," je rekel Seta, "ukažite, naj mi dajo za prvo polje na šahovnici eno pšenično zrno..."
"Navadno pšenično zrno?!" je bil vladar presenečen.
"Da gospodar. Za drugo polje ukažite, naj mi dajo dve zrni, za tretjega štiri, za četrtega osem, za petega šestnajst..."

"Dovolj!" ga je jezno prekinil vladar. "Dobil boš zrn za vseh 64 polj šahovnice, kakor si želel: za vsako polje dvakrat toliko kot za prejšnje. Toda vedi, da tvoja prošnja ni vredna moje darežljivosti, kajti s tem, ko prosiš za tako ničevo nagrado, nespoštljivo omalovažuješ mojo darežljivost. Odidi! Moji služabniki ti bodo prinesli vrečo s pšenico."
Zjutraj so vladarju sporočili, da ga starešina dvornih učenjakov prosi, naj prisluhne važni novici. Vladar je ukazal, naj ga pripeljejo.
"Ni v vaših močeh, gospodar, da bi izročili Setu obljubljeno nagrado. V vseh vaših shrambah ni toliko zrn, kolikor jih je treba dati Setu. Tudi v žitnicah vsega cesarstva jih ni dovolj. Tudi na vseh zemeljsih prostranstvih ni mogoče najti toliko zrn, kajti to število je 18446744073709551615."

Če bi si želeli predstavljati, kako orjaško je to število, si zamislite, kako velika bi morala biti shramba. Znano je, da je v enem kubičnem metru pšenice približni 15 milijonov zrn. Torej bi nagrada zasedla približno 12000 kubičnih kilometrov. Če bi bila višina shrambe 4 m in njena širina 10 m, bi morala biti njena dolžina 300000000 km, tj. dvakratna razdalja od Zemlje do Sonca.



ZGODBA O ŠTEVILIH

Predstavljaj si, da moraš med knjižnimi listi najti neki zapisek. Toda, da bi ga našel, moraš prelistati miljon listov različnih knijg, na primer vseh knjig v kakšni veliki knjižnici. Koliko časa bi potreboval za to delo, če bi vsako minuto prelistal 80 listov in bi listal po šest ur dnevno?



ZGODBA O RAZMNOŽEVANJU

Zrela makova glavica je polna drobnih zrnc: iz vsakega zrnca lahko zraste eno makovo stebelce. Koliko rastlin bo zraslo, če vzklijejo vsa zrnca? Da bi to lahko ugotovili, je treba prešteti zrnca v glavici. Dolgočasno opravilo, toda rezultat je zanimiv. S pazljivim štetjem so ugotovili, da je v makovi glavici okrog 3000 zrnc.
V eni uri bi prelistal 4800 listov. V šestih urah 28800 listov. Če zdaj delimo 1000000 z 28000, dobimo skoraj 35 dni. Vidimo torej, da potrebujemo za ta opravek več kot mesec dni, ne da bi počivali en sam dan; in delati je treba šest ur dnevno brez sekunde prekinitve. Roke takega dela ne bi zdržale! Za prelistavanje porabimo skoraj toliko časa, kot bi ga za štetje. Zdaj je najbrž jasno, zakaj nismo imeli nikoli priložnosti nepretrgoma šteti do miljona. Za človeka je to opravilo prenaporno.

In koliko časa bi porabili, če bi hoteli prebrati knjige, ki imajo skupaj 1000000 listov, če bi za branje vsakega lista potebovali tri minute? Zračunaj in se prepričaj: če bi brali vsak dan nepretrgoma osem ur in počivali samo ob nedeljah, bi potrebovali za branje teh 1000000 listov kar 40 let.

Kako bi si predstavljali 1000000 ljudi? Da bi si to nekako predstavljali, je treba recimo zračunati, koliko bi bila dolga vrsta 1000000 ljudi, če bi vsak od njih zavzemal pol metra. Ta vrsta bi segala od Ljubljane do Splita.

Zračunaj še, kako debela bi bila knjiga z 1000000 listi, če bi bil sloj stotih lisov debel en centimeter. Da bi lahko začeli brati to knjigo na prvi strani, bi se morali povzpeti na 100 m visok stolp.

Predstavljajmo si , da sede 75 miljonov učencev v klopi, po dva v vsako seveda, klopi pa so postavljene v tri vrste. Kako dolga bi bila taka učilnica? Njena dolžina bi znašala okrog 12500 km.

Miljon je pravi palček v primerjavi s tako orjaškim številom, kot je miljarda. Če začneš pri desetih letih neprekinjeno šteti do miljarde, boš štetje končal kot stoletni starec - vsak dan bi moral šteti po šest ur.
Minuta je majhna časovna enota. Toda miljarda minut nanese več kot devetnajst stoletij. Sekunda je v primerjavi z minuto zelo kratka. Miljarda sekund pa da okrog 32 let.
Kaj sledi iz tega? Če je okrog našega maka dovolj ustreznega zemljišča, bo vsako zrnce, ki bo padlo na tla, dalo novo rastlino, to pa pomeni 3000 rastlin. Celo makovo polje iz ene glavice!
Opazujmo, kako bo potekalo nadaljne dogajanje. Vsako od 3000 stebelc bo imelo najmanj po eno glavico (pogosteje pa jih ima več), v kateri bo 3000 zrnc. Vzklitje semen iz vsake glavice da novih 3000 stebelc, zatorej bo nasledne leto najmanj 3000·3000=9000000 rastlin.
Prav lahko je izračunati, da doseže število potomcev našega prvega maka:
tretje leto 9000000·3000=27000000000,
četrto leto 27000000000·3000=81000000000000.
Že peto leto bi bilo na zemeljsi obli premalo prostora, saj bi bilo stebelc že
81000000000000·3000=243000000000000000.
Površina vsega kopnega, tj. vseh kontinentov in otokov na Zemlji znaša samo 135 miljonov kvadratnih kilometrov ali 135000000000000 kvadratnih metrov, približno 2000 manj, kot bi zraslo makovih stebelc.
Zakaj nikjer v naravi ne opažamo tako čudežno hitrega razmnoževanja? Zato, ker velikansko število semen propade in iz njih ne zrastejo rastline: ali ne padejo na primerna tla in ne vzklijejo ali jih po vzklitju "zadušijo" druge rastline ali pa jih použijejo živali.

Oglejmo si še resnični primer nenavadno hitrega razmnoževanja živali v ugodnih življenskih razmerah. Velik poduk so dobili na karibskem otoku Jamajki, kjer je bilo veliko strupenih kač. Da bi se jih rešili, so se odločili uvoziti ptiča kačarja, hudega iztrebljevalca strupenih kač. Število kač se je zares kmalu zmanjšalo, na drugi strani pa se je izredno hitro razmnožila poljska miš, s katero so se prej prehranjevale kače. Miši so povzročale velikansko škodo na plantažah sladkornega trsa, zato se je oblast odločila, da tudi nadnje pošlje sovražnika. Uvozili so torej štiri pare indijskih mungov ter jih pustili, da so se svobodno razmnoževali in uničevali miši. Mungi so se zelo hitro prilagodili novemu okolju in poselili cel otok. Niti deset let ni minilo, pa so skorajda uničili miši. Toda joj! Iztrebljevalci miši - mungi - so se začeli prehranjevati z drugimi živalmi...