Zdravo! S Šegatom sva reševala nekaj nalog, le še za naslednje 3 mi je dal kratke namige, kako jih rešiti: 1.) G podlagebra sigma-algebre F, fi konveksna funkcija. Če X in fi(X) v L1, potem velja fi(E(X|G)) <= E(fi(x)|G). Namig: razpišeš pogojno mat. upanje in uporabis Jennsenovo neenakost. 2.) F je porazd. funkcija. Dokaži, da obstaja takaj dikretna spr. X1 z zakonom F1 in zvezna spremenljivka X2 z zakonom F2 in tak lambda, da je F = lambdaF1 + (1-lambda)F2. Namig: Če imamo porazd. funkcijo, potem je pripadajoča sluč. spremenljivka bodisi diskretna (lambda = 1), bodisi zvezna (lambda = 0) ali pa ne eno ne drugo. V tem primeru pa narediš naslednje: kjer ima funkcija skoke, npr. v tockah k1, k2, ... rečeš, da je funkcija porazdeljena kot diskretna sluč. spremenljivka: X1 ~ (k1 k2 ....) (p1/lambda p2/lambda ....) kjer je lambda = vsota(pi). S tem funkcijo prestaviš in dobiš povsod zvezno funkcijo. 3.) (X,Y) sluč. vektor, F njegova poraz. funkcija z marg. porazdelitvijo Fx in Fy. G = max{Fx + Fy - 1, 0}. G je spet skupna porazd. funkcija nekega sluč. vektorja. Dokaži, da ima G enaki marginalni funkciji kot F in da je F>= G. Marginalni funkciji za G: samo vstaviš noter po definicijah za marg. funkcije, upoštevati je treba še: lim(y->nesk)(Fx) = 0 in lim(y-> nesk)(Fy) = 1. F>=G: F(x,y) = P(X < x, Y < y) = P(X < x) + P(Y < y) + P(X>= x, Y>=y) - 1 = Fx + Fy -1, saj je P(X>= x, Y>=y) >= 0. Aja pa še eno vprašanje: kdaj pa so sploh ustni izpiti, a so jutri? Ali je sploh že kaj objavljeno? Lepo se učte, ampak ne preveč, Šeena naloga z ustnega Pozdravljeni! Nova naloga: Naj bo P = 0.3 0.2 0.5 1 0 0 0 0.5 0.5 prehodna matrika neke markovske verige. Klasificiraj stanja in opiši asimptotično obnašanje. Poveš o dosegljivih stanjih, minljivih itd. Potem periodičnost, nerazcepnost verige, in v zvezi stem vse izreke. 1. vprašanje Dana je prehodna matrika markovske verige P=[(0, 1, 0), (1/2, 1/2, 0), (1/3, 1/3, 1/3)] Klasificiraj stanja in ugotovi asimptotično obnašanje verige. 2. teoretično Krepki zakon velikih števil. Pozdravljeni! Profesor Šega je rekel, da mu nisem edina težila za naloge za ustno iz verjetnosti. Tako, da prosim, če lahko še ostali pošlete naloge. Posebaj rabim rešitve naloge: Za poljubni slušajni spremenljivki X in Y vpeljemo d(X,Y) = E(|X-Y|/(1+|X-Y|)). Pokaži, da nam to definira metriko na množici vseh slučajnih spremenljivk. Kaj pomeni konvergenca zaporedij v tej metriki? Pokaži, da je dobljeni metrični prostor poln. S Šegatom sva reševala nekaj nalog, za naslednje 3 mi je dal kratke namige, kako jih rešiti: 1.) G podlagebra sigma-algebre F, fi konveksna funkcija. Če X in fi(X) v L1, potem velja fi(E(X|G)) <= E(fi(x)|G). Namig: razpišeš pogojno mat. upanje in uporabis Jennsenovo neenakost. 2.) F je porazd. funkcija. Dokaži, da obstaja takaj dikretna spr. X1 z zakonom F1 in zvezna spremenljivka X2 z zakonom F2 in tak lambda, da je F = lambdaF1 + (1-lambda)F2. Namig: Če imamo porazd. funkcijo, potem je pripadajoča sluč. spremenljivka bodisi diskretna (lambda = 1), bodisi zvezna (lambda = 0) ali pa ne eno ne drugo. V tem primeru pa narediš naslednje: kjer ima funkcija skoke, npr. v tockah k1, k2, ... rečeš, da je funkcija porazdeljena kot diskretna sluč. spremenljivka: X1 ~ (k1 k2 ....) (p1/lambda p2/lambda ....) kjer je lambda = vsota(pi). S tem funkcijo prestaviš in dobiš povsod zvezno funkcijo. 3.) (X,Y) sluč. vektor, F njegova poraz. funkcija z marg. porazdelitvijo Fx in Fy. G = max{Fx + Fy - 1, 0}. G je spet skupna porazd. funkcija nekega sluč. vektorja. Dokaži, da ima G enaki marginalni funkciji kot F in da je F>= G. Marginalni funkciji za G: samo vstaviš noter po definicijah za marg. funkcije, upoštevati je treba še: lim(y->nesk)(Fx) = 0 in lim(y-> nesk)(Fy) = 1. F>=G: F(x,y) = P(X < x, Y < y) = P(X < x) + P(Y < y) + P(X>= x, Y>=y) - 1 = Fx + Fy -1, saj je P(X>= x, Y>=y) >= 0. Aja pa še eno vprašanje: kdaj pa so sploh ustni izpiti, a so jutri? Ali je sploh že kaj objavljeno? Jaz sem na ustnem izpitu iz verjetnosti dobila naslednjo nalogo: Imamo zaporedje slučajnih spremenljivk X_n, ki šibko konvergira proti X, in imamo zaporedje slučajnih spremanljivk Y_n, ki šibko konvergira proti c=konst. Ali zaporedje X_n*Y_n šibko konvergira proti X*c? (Po premisleku je Omladič ugotovil, da je dovolj, če vzamem c=0, X_n>=0 in Y_n>=0) Teoretično vprašanje pa je bil centralni limitni izrek. 1. Naj bo F(x) porazdelitvena funkcija neke slucajne spremenljivke in h>0. Pokazi, da je G(x)=(1/2h)*Integral(od x-h do x+h)F(t)dt tudi porazdelitvena funkcija neke slucajne spremenljivke. 2. Centralni limitni izrek 1. Naj bo slucajna spremenljivka X porazdeljena enakomerno zvezno na [0,1] ter naj bo Y=1-X. Doloci skupno porazdelitev slucajnega vektorja (X,Y) ter obe marginalni porazdelitveni funkciji. Ali obstaja skupna gostota porazdelitve? 2. Šibki zakon velikih števil 1. X slucajna spremenljivka, katere vrednosti so nenegativna cela stevila. P(X=0)=p iz (0,1). Slucajne spremenljivke X1, X2,... so neodvisne in vse porazdeljene enako kot X. T=min{n iz N; Xn≠0}. Ugotovi skupno porazdelitev slucajnega vektorja (T,X_T). 2. Krepki zakon velikih stevil Naloga (vse naštete konvergence so porazdelitvene): X_n => X X_n - Y_n => 0 Ali tedaj velja, da Y_n => X? Vprašanje: Pogojno matematični upanje Naloga: Naj bo F(x,y)={0, če x<=0 ali y<=0; 1/2(1-e^-x), če x>0 in 00 in y>1} skupna porazdelitvena funkcija sluč. vektorja (X,Y). Določi marginalni porazdelitveni funkciji. Ali obstaja skupna gostota verjetnosti? Moja naloga: Naj bodo X1, X2, ... neodvisne, enako porazdeljene diskretne slucajne spremenljivke. Naj bo N (slucajna spremenljivka) tisto naravno stevilo n, za katerega je Xn>X1. Ugotovi, ali ima N matematicno upanje. Teoreticno vprasanje: krepki zakon velikih stevil. Moja naloga je bila: F porazdelitvena funkcija. Dokaži/pokaži da obstaja taka diskretna spremenljivka X1 z zakonom F1 in zvezna spremeljivka X2 z zakonom F2, in tak la (lambda), da je F = la*F1 + (1-la)F2 teoretično pa pogojno matematično upanje glede na podalgebro Še ena naloga: Naj bo (X,Y) slučajni vektor in F njegova porazdelitvena funkcija z marginalnima porazdelitvama F_x in F_y. Naj bo G=max{F_x + F_y -1,0}. Izkaže se, da je G spet skupna porazdelitvena funkcija nekega slučajnega vektorja (ni treba dokazovati). Dokaži, ima G enaki marginalni funkciji kot F in da je F<=G. Teorezično vprašanje: centralni limitni izrek. Lucova naloga: Xn iz L^2 e.p., paroma nekorelirane, Xn~X dokaži: Sn/n konvergira v normi L^2 proti E(X) en del je isti kot začetek dokaza š.z.v.š. v priponki je poskeniran Lucov list:) teoretično: pogojno matematično upanje _____________________________________