Geometrija  –  višja raven

1. V pravokotnem trikotniku \(\triangle ABC\) izberemo točko \(S\) na hipotenuzi \(AB\) tako, da je \(|AS|=20,~ |SB|=15\). Krožnica \(K\) ima središče v točki \(S\) in se dotika obeh katet trikotnika. Izračunaj dolžino krožnega loka med obema dotikališčema.\(\newcommand{\vekt}[1]{{\stackrel{\rightharpoonup}{{#1}}}}\)
   Rešitev:    \(r=12,~ \ell=\frac{1}{4}\,2\pi r=6\pi\)
2. V pravokotnem trikotniku s katetama \(a\) in \(b\) narišemo simetralo pravega kota. Ta simetrala razdeli hipotenuzo \(c=AB\) na dva dela: \(c_1=BT,~ c_2=AT\). Izračunaj razmerje \(c_1:c_2\).
   Namig:    Iz točke, kjer simetrala seka hipotenuzo, potegni pravokotnici do obeh katet. Tako dobiš kvadat s stranico \(x\) in dva manjša trikotnika. Zdaj si lahko pomagaš s podobnostjo, npr.: \(c_1:x=c:b\) in \(c_2:x=c:a\)
   Rešitev:    \(c_1:c_2=a:b\)
3. Dokaži, da ne obstaja konveksni večkotnik s štirimi ostrimi (notranjimi) koti.
   Rešitev:    Dokaz s protislovjem: vsota zunanjih kotov (že teh štirih) bi bila: \(\alpha'+\beta'+\gamma'+\delta'\gt360^\circ\)
4. V pravilni pokončni štiristrani piramidi z osnovnim robom \(a=10~\mathrm{cm}\) in višino \(v=12~\mathrm{cm}\) izračunaj naslednje tri kote (zapiši jih v stopinjah in minutah):
   

   (a)   kot med osnovnim robom in stranskim robom,

   (b)   kot med osnovno ploskvijo in stranskim robom,

   (c)   kot med osnovno ploskvijo in stransko ploskvijo.

   Rešitev:    (a)  \(68^\circ58'\);     (b)  \(59^\circ29'\);     (c)  \(67^\circ23'\)
5. V kocko včrtamo tetraeder, tako da so robovi tetraedra diagonale mejnih ploskev kocke. Izračunaj razmerje med prostornino tetraedra in kocke.
   Rešitev:    \(V_t:V_k=1:3\)
6. Stožec ima polmer \(r_0=8~\mathrm{cm}\) in višino \(v_0=15~\mathrm{cm}\). Izračunaj polmer krogle, ki jo včrtamo v ta stožec. Rezultat naj bo točen.
   Rešitev:    \(r=\frac{24}{5}~\mathrm{cm}\)
7. Pravilni šestkotnik s stranico \(a\) zavrtimo okoli osi, ki je simetrala stranice tega šestkotnika. Izračunaj prostornino in površino dobljene vrtenine.
   Rešitev:    \(V=\frac{7\pi\sqrt{3}}{12}a^3,~~ P=\frac{7\pi}{2}a^2\)
8. Dana sta vektorja \(\vekt{a}=(x,-1,0)\) in \(\vekt{b}=(4,3,5)\). Določi realni parameter \(x\) tako, da bosta vektorja oklepala kot \(60^\circ\).
   Rešitev:    \(x=7\)      (Opozorilo: \(x=-\frac{1}{7}\) ni rešitev, ker je ustrezni kot top.)
9. Vektorja \(\vekt{a}\) in \(\vekt{b}\) oklepata kot \(45^\circ\) in imata dolžini: \(|\vekt{a}|=6\sqrt{2}\), \(|\vekt{b}|=4\).
   

   (a)   Izračunaj dolžino vektorja \(\vekt{a}+\vekt{b}\).

   (b)   Izračunaj kot med vektorjem \(\vekt{a}\) in vektorjem \(\vekt{a}+\vekt{b}\). Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.

   Rešitev:    (a)  \(|\vekt{a}+\vekt{b}|=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\);     (b)  \(\varphi\doteq14^\circ2'\)
10. Rombu s ploščino \(S\) je včrtan krog s ploščino \(Q\). Pokaži, da za kot med stranicama romba velja:  \(\sin\alpha=\frac{\textstyle 4Q}{\textstyle \pi S}\).
    
11. Trapez \(ABCD\) s stranicami \(a=6~\mathrm{cm},~ b=3~\mathrm{cm},~ c=2~\mathrm{cm},~ d=4~\mathrm{cm}\) zavrtimo za \(360^\circ\) okoli stranice \(a\). Izračunaj površino in prostornino nastalega telesa. Rezultata zaokoži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(P\doteq96,\!11~\mathrm{cm}^2,~~ V\doteq80,\!99~\mathrm{cm}^3\)
12. Tričetrt kroga s polmerom \(3~\mathrm{cm}\) zvijemo v plašč stožca. Kolikšen je kot ob vrhu osnega preseka nastalega stožca? Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq97^\circ11'\)
13. Točke \(A,~ B\) in \(C\) razdelijo krožnico z radijem \(r=6~\mathrm{cm}\) na tri loke v razmerju \(1:3:2\). Izračunaj stranice trikotnika \(\triangle ABC\) in njegove notranje kote.
    Rešitev:    \(\alpha=90^\circ,~ \beta=60^\circ,~\gamma=30^\circ,\) \(a=12~\mathrm{cm},~ b=6\sqrt{3}~\mathrm{cm},~ c=6~\mathrm{cm}\)

 Domov