-
Dani sta funkciji \(f(x)=\frac{\textstyle x}{\textstyle x+2}\) in \(g(x)=2x+1\). Zapiši enačbe funkcij:
(a) \(f\cdot g\)
(b) \(\frac{\textstyle f}{\textstyle g}\)
(c) \(f\circ g\)
(d) \(g\circ f\)
Rešitev:
(a) \((f\cdot g)(x)=\frac{2x^2+x}{x+2}\);
(b) \((\frac{f}{g})(x)=\frac{x}{2x^2+5x+2}\);
(c) \((f\circ g)(x)=\frac{2x+1}{2x+3}\);
(d) \((g\circ f)(x)=\frac{3x+2}{x+2}\)
-
Dani sta funkciji \(f(x)=\frac{\textstyle 2x+3}{\textstyle x-1}\) in \(g(x)=\frac{\textstyle x+4}{\textstyle x-5}\).
Zapiši enačbe funkcij:
(a) \(f\circ g\)
(b) \(g\circ f\)
(c) \(f^{-1}\)
(d) \(g^{-1}\)
Rešitev:
(a) \((f\circ g)(x)=\frac{5x-7}{9}\);
(b) \((g\circ f)(x)=\frac{6x-1}{-3x+8}\);
(c) \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}\);
(d) \(g^{-1}(x)=\frac{5x+4}{x-1}\)
-
Dani sta funkciji \(f(x)=\frac{\textstyle x+1}{\textstyle 5}\) in \(g(x)=2x^3\).
Zapiši enačbe funkcij:
(a) \(f^{-1}\)
(b) \(g^{-1}\)
(c) \(f\circ g\)
(d) \((f\circ g)^{-1}\)
(e) \(g^{-1}\circ f^{-1}\)
Rešitev:
(a) \(f^{-1}(x)=5x-1\);
(b) \(g^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{2}}\);
(c) \((f\circ g)(x)=\frac{2x^3+1}{5}\);
(d,e) \((f\circ g)^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\sqrt[3]{\frac{5x-1}{2}}\)
-
Dana je kvadratna funkcija \(f(x)=2x^2-28x+m-2\). Določi realno število \(m\) tako, da bo teme funkcije ležalo na
abscisni osi.
Rešitev:
\(m=100\)
-
Dana je parabola \(y=x^2+(2m-3)x+m^2\). Določi realni parameter \(m\) tako,
(a) da bo ležala cela parabola nad premico \(y=-x\),
(b) da bo ležalo teme parabole nad premico \(y=-x\).
Rešitev:
(a) \(m\gt\frac{1}{2}\);
(b) \(m\gt\frac{3}{8}\)
-
Dana je družina kvadratnih funkcij \(f(x)=\frac{\textstyle x^2}{\textstyle m} -2x\).
(a) Zapiši ničli in teme funkcije \(f\) iz te družine.
(b) Izračunaj ploščino trikotnika \(\triangle ABC\),
ki ima dve oglišči v ničlah, tretje pa v temenu te funkcije.
(c) Katero množico točk sestavljajo temena vseh funkcij iz dane družine?
Rešitev:
(a) Ničli: \(x_1=0,~ x_2=2m\), teme: \(T(m,-m)\);
(b) \(S=m^2\);
(c) Sestavljajo simetralo lihih kvadrantov
-
Dana je družina parabol \(y=x^2+mx+m+3\).
(a) Zapiši enačbo krivulje, ki jo sestavljajo temena parabol iz te družine.
(b) Katera parabola iz te družine ima teme najvišje?
Rešitev:
(a) Krivulja: \(y=-x^2-2x+3\) (namig: iz \(x_T=-\frac{m}{2}\) izrazi \(m=-2x_T\),
vstavi v \(y_T\) in dobiš enačbo krivulje) ;
(b) parabola z \(m=2\), to je: \(y=x^2+2x+5\)
-
Dani sta množici \(A=\{x\in\mathbb{R};~ x^2\geqslant 2x\}\) in
\(B=\{x\in\mathbb{R};~ x^2+x\lt2\}\). Zapiši kot interval množico \(M=A\cap B\).
Rešitev:
\(M=(-2,0]\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3-6x^2+8x+3\). Dokaži, da je graf te funkcije simetričen glede na točko
\(T(2,3)\).
Rešitev:
Dokaži, da je premaknjena funkcija \(g(x)=f(x+2)-3\) liha.
-
Določi realna parametra \(a\) in \(b\) tako, da bo imel polinom \(p(x)=2x^3-x^2+ax+b\) ničlo
\(x_1=1+\sqrt{3}\,i\). Ali ima polinom \(p\) tudi kakšno realno ničlo?
Rešitev:
\(a=2,~ b=12,~ x_3=-\frac{3}{2}\)
-
Izračunaj vse ničle polinoma \(p(x)=x^4-4x^3+7x^2-8x+10\).
(Namig: ena od ničel je \(\sqrt{2}\,i\).)
Rešitev:
\(x_1=\sqrt{2}\,i,~ x_2=-\sqrt{2}\,i,~ x_3=2+i,~ x_4=2-i\)
-
Polinom \(p(x)=x^4-2x^3+ax^2+bx+c\) ima ničlo pri \(x=1\) in ekstrem v točki \(T_1(2,-2)\). Izračunaj
realne parametre \(a,~b\) in \(c\) ter nariši graf polinoma \(p\).
Rešitev:
\(a=-5,~ b=12,~ c=-6\); polinom: \(p(x)=x^4-2x^3-5x^2+12x-6\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\). Določi realne parametre \(a,~b\) in \(c\) tako, da bo imela
funkcija ničlo pri \(x=4\), ekstrem pri \(x=1\) in prevoj pri \(x=2\). Potem izračunaj vse ničle,
ekstreme in prevoje ter nariši graf funkcije in izračunaj ploščino lika, ki ga graf oklepa z abscisno osjo.
Rešitev:
\(a=-6,~ b=9,~ c=-4\); ničli: \(x_1=1~\mathrm{(II.)},~ x_2= 4\);
stacionarni točki: \(T_1(1,0)\), \(T_2(3,-4)\); prevoj: \(P(2,-2)\);
ploščina: \(S=6\frac{3}{4}\)
-
Dan je polinom \(f(x)=x^3-3x-4\). Izračunaj stacionarne točke in nariši graf tega polinoma. Po
Newtonovi tangentni metodi izračunaj edino realno ničlo tega polinoma na pet mest natančno.
Rešitev:
Max.: \((-1,-2)\), min.: \((1,-6)\), ničla: \(x\doteq2.1958\)
-
Dana je krivulja \(y=\frac{\textstyle x^2}{\textstyle x-2}\).
(a) Čim natančneje nariši graf funkcije (ničle, poli, asimptote, stacionarne točke).
(b) Dokaži, da ta krivulja nima tangente vzporedne simetrali lihih kvadrantov.
(c) Zapiši enačbo normale na to krivuljo v točki \(T_0(3, y_0)\).
Rešitev:
(a,b) Odvod: \(y'=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}\);
(c) normala: \(y=\frac{1}{3}x+8\)
-
Podana je krožnica \(\mathcal{K}\!:~ x^2+y^2-4x-10y=20\) in premici \(p_1\!:~ y=\frac{1}{2}x+4\) in
\(p_2\!:~ y=2x+1\).
(a) Izračunaj središče in polmer krožnice.
(b) Dokaži, da se premici sekata v središču krožnice.
(c) Premici \(p_1\) in \(p_2\) delita krog, ki ga omejuje \(\mathcal{K}\), na
štiri izseke. Izračunaj ploščine teh izsekov na dve decimalki natančno.
Rešitev:
(a) \(S(2,5),~ r=7\);
(c) \(S_1=S_3\doteq15,\!77;~~ S_2=S_4\doteq61,\!20\)
-
Premica \(p\) poteka skozi točki \(A\left(\frac{4}{5},0\right)\) in \(B\left(0,\frac{3}{5}\right)\).
(a) Zapiši enačbo premice \(p\) v eksplicitni obliki.
(b) Zapiši enačbo krožnice \(\mathcal{K}\), ki je očrtana trikotniku \(\triangle OAB\).
(c) Zapiši enačbo tangente na \(\mathcal{K}\) v točki \(A\).
Rešitev:
(a) \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{5}\);
(b) \(\left(x-\frac{2}{5}\right)^2+\left(y-\frac{3}{10}\right)^2=\frac{1}{4}\);
(c) \(y=\frac{4}{3}x-\frac{15}{16}\)
-
Dana je krožnica \((x+8)^2+(y-15)^2=100\). Ugotovi, katera točka te krožnice je najbližja
koordinatnemu izhodišču.
Namig:
Ta točka leži na premici, ki poteka skozi središče krožnice in skozi izhodišče koordinatnega sistema.
Rešitev:
\(T(-\frac{56}{17},\frac{105}{17})\)
-
Nariši krivuljo podano z enačbo: \(-4x^2 + 9y^2 +29=2(27y-8x)\)
Rešitev:
Hiperbola \(\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y - 3)^2}{4} = -1\)
-
Dani sta krivulji \(9x^2-y^2-18x+2y+3=0\) in \(y^2-4x-2y+5=0\).
(a) Izračunaj vsa presečišča teh dveh krivulj.
(b) Nariši obe krivulji.
(c) Izračunaj kot med krivuljama (v stopinjah in minutah).
Rešitev:
(a) \(P_1(2,3),~ P_2(2,-1)\);
(c) \(\varphi\doteq32^\circ28'\)
-
Dana je krožnica \(\mathcal{K}_1\!:~ x^2+y^2+4x-6y+4=0\).
(a) Poišči središče in polmer te krožnice.
(b) Izračunaj oddaljenost središča krožnice od premice \(p\!:~ x-y+5=0\).
(c) Zapiši enačbo krožnice \(\mathcal{K}_2\), ki poteka skozi točki \(A(3,3)\) in
\(B(-2,-2)\), če veš, da njeno središče leži na premici \(p\).
(d) Dokaži, da je krožnica \(\mathcal{K}_2\) koncentrična z dano krožnico \(\mathcal{K}_1\).
Rešitev:
(a) \(S_1(-2,3),~ r=3\);
(b) \(d=0\);
(c) \((x+2)^2+(y-3)^2=25\);
(d) \(S_1=S_2\)
-
Dokaži, da števila \(\sin x,~~ \sin 2x,~~ \sin 3x\) ne morejo biti prvi trije členi nekonstantnega
geometrijskega zaporedja.
Rešitev:
Pogoju za geometrijsko zaporedje ustreza samo konstantno zaporedje \(\sin x=\sin 2x=\sin 3x=0\).
(Uporabi zvezo: \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\))
-
V točki z absciso \(a\) položimo tangento na graf funkcije \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x}\). Dokaži, da je ploščina
trikotnika, ki ga omejuje ta premica skupaj s koordinatnima osema, konstantna (neodvisna od \(a\)).
Rešitev:
Tangenta: \(\frac{x}{2a}+\frac{y}{2/a}=1\),
ploščina: \(S_\triangle=\frac{1}{2}\cdot|2a|\cdot|\frac{2}{a}|=2\)
