-
Izračunaj razdaljo med točkama \(A(\sqrt{2},-\sqrt{3})\) in \(B(3,\sqrt{6})\). Rezultat naj bo točen in
delno korenjen.
Rešitev:
\(|AB|=2\sqrt{5}\)
-
Dani sta točki \(A(2,2)\) in \(B(14,y)\). Določi neznano koordinato \(y\) tako, da bo dolžina daljice \(AB\) merila točno
13 enot.
Rešitev:
\(y_1=-3,~ y_2=7\)
-
Dane so točke: \(A(3,1+\sqrt{3}),~ B(\sqrt{3}+2,1)\) in \(C(1,-2)\). Izračunaj ploščino in
orientacijo trikotnika \(\triangle ABC\). Rezultat naj bo točen.
Rešitev:
Negativna orientacija, \(S=2\sqrt{3}\)
-
Trikotnik \(\triangle ABC\) ima oglišči \(A(1,-2)\) in \(B(-1,7)\), oglišče \(C\) pa leži na simetrali
lihih kvadrantov. Zapiši koordinati oglišča \(C\), če veš, da je trikotnik \(\triangle ABC\) negativno
orientiran in ima ploščino enako 102.
Rešitev:
\(C(19,19)\)
-
Dane so točke: \(A(25,18),~ B(12,10),~ C(1,3)\) in \(D(-15,-7)\). Računsko ugotovi, katere tri od
teh točk so kolinearne.
Rešitev:
Kolinearne so točke \(A,~ C\) in \(D\). Ležijo na premici \(p\!:~~y=\frac{5}{8}x+\frac{19}{8}\)
-
Premica \(p\) poteka skozi točke \(A(1,1),~ B(\lambda,7),~ C(5,13)\) in \(D(-1,\mu)\).
(a) Izračunaj vrednosti parametrov \(\lambda\) in \(\mu\).
(b) Zapiši enačbo premice \(p\) in premico nariši.
(c) Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejujejo os \(x\), os \(y\) in premica \(p\).
Rešitev:
(a) \(\lambda=3,~ \mu=-5\);
(b) \(p\!:~~y=3x-2\);
(c) \(S=\frac{2}{3}\)
-
Na premici z enačbo \(y=x+8\) leži točno ena točka, ki ima absciso in ordinato v razmerju \(2:3\).
Zapiši koordinati te točke.
Rešitev:
\(T(16,24)\)
-
Dana je premica \(p\!:~~m x-2y-1=0\). Določi parameter \(m\in\mathbb{R}\) tako, da bo premica \(p\)
pravokotna na premico \(q\!:~~ y=\frac{\textstyle 8-2x}{\textstyle 4}\), in zapiši presečišče premic \(p\) in \(q\).
Rešitev:
\(m=4,~~ P(1,\frac{3}{2})\)
-
Dana je množica točk:
\(M=\{(x,y);~ y\geqslant0,~ y\leqslant x,~ x+2y\leqslant6\}\)
(a) Nariši to množico točk v koordinatnem sistemu.
(b) Izračunaj ploščino te množice.
Rešitev:
(b) \(S=6\)
-
Poenostavi naslednji izraz za \(x\gt0,~ y\gt0\) (rezultat naj bo točen):
\({\displaystyle \sqrt{\frac{63x^4\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{y^{24}}}{(xy^2)^2}} - \frac{\sqrt{28x^2y^5}}{\sqrt{y}}}\)
Rešitev:
\(\cdots=xy^2\sqrt{7}\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-3)\).
(a) Nariši graf funkcije \(f\).
(b) Če graf funkcije \(f\) prezrcališ čez koordinatno izhodišče, dobiš graf funkcije \(g\).
Zapiši enačbo funkcije \(g\).
Rešitev:
(b) \(g(x)=-\frac{1}{2}(x+1)(x+3)\) oziroma
\(g(x)=-\frac{1}{2}x^2-2x-\frac{3}{2}\)
-
Zapiši (v splošni obliki) enačbo kvadratne funkcije, ki ima najmanjšo vrednost \(-8\) pri \(x=3\), njen
graf pa seka ordinatno os pri \(10\).
Rešitev:
\(f(x)=2x^2-12x+10\)
-
Izračunaj točno vrednost izraza \(x_1^{-1}+x_2^{-1}\), če sta \(x_1\) in \(x_2\) rešitvi kvadratne
enačbe \(x^2-2x+6=0\).
Rešitev:
\(x_1^{-1}+x_2^{-1}=\frac{1}{3}\) (Priporočilo: Ne računaj rešitev enačbe, raje uporabi Viètovi formuli.)
-
Izračunaj, kje graf funkcije \(f(x)=\sqrt{4x+5}\) seka simetralo lihih kvadrantov.
Rešitev:
V točki \(T(5,5)\). ( Pri \(x=-1\) ni presečišča.)
-
Izračunaj vse ničle polinoma: \(f(x)=4x^4+6x^3-2x^2-3x\)
Rešitev:
\(x_1=0,~x_2=-\frac{3}{2},~x_{3,4}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)
-
Izračunaj vse (tudi nerealne) ničle polinoma \(p(x)=4x^5-7x^4+2x^3+49x^2+44x+8\), če veš, da je
polinom \(p\) deljiv s polinomom \(q(x)=x^2-4x+8\).
Rešitev:
\(x_1=-1~\mathrm{(II.)},~ x_2=-\frac{1}{4},~ x_3=2+2i,~ x_4=2-2i\)
-
Dan je polinom \(p(x)=3x^4+4x^3+1\). Izračunaj stacionarne točke in nariši graf tega polinoma.
Rešitev:
Minimum (in dvojna ničla): \(M(-1,0)\); vodoravni prevoj: \(P(0,1)\).
-
Določi realni števili \(a\) in \(b\) tako, da bo število 3 dvojna ničla polinoma:
\(p(x)=2x^3-11x^2+ax+b\)
Rešitev:
\(a=12,~b=9\)
-
Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti je deljiv s polinomom \((x-2)\) in tudi s polinomom
\((x^2+2x+1)\); če ga delimo s polinomom \((x-1)\), pa dobimo ostanek \(o(x)=8\). Zapiši ta polinom v
splošni obliki.
Rešitev:
\(p(x)=-2x^3+6x+4\)
-
Nariši graf funkcije \({\displaystyle f(x)=2+\frac{1}{x-1}}\) in zapiši enačbi obeh asimptot.
Rešitev:
Asimptoti: \(x=1\) in \(y=2\)
-
Nariši graf funkcije \({\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}}\) in zapiši \(\mathcal{D}_f\) in
\(\mathcal{Z}_f\).
Rešitev:
\(\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\),
\(\mathcal{Z}_f=(-\infty,\frac{1}{4}]\cup(1,\infty)\)
-
Izračunaj polmer in koordinati središča ter nariši krožnico, ki jo podaja enačba:
\(9x^2+9y^2+18x=6y+8\)
Rešitev:
\(S(-1,\frac{1}{3}),~ r=\sqrt{2}\)
-
Zapiši enačbo krožnice, na kateri ležita diametralni točki \(A(-12,10)\) in \(B(18,-6)\).
Rešitev:
\((x-3)^2+(y-2)^2=289\)
-
Krožnica poteka skozi točki \(A(2,14)\) in \(B(-4,12)\), središče krožnice pa leži na premici
\(p\!:~~y=3x-2\). Zapiši enačbo te krožnice.
Rešitev:
\((x-2)^2+(y-4)^2=100\)
-
Nariši elipso z enačbo: \(4x^2+y^2=36\)
Rešitev:
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{36}=1;~~ S(0,0),~ a=3,~ b=6\)
-
Elipsa \(E\) ima gorišči \(G_1(0,12)\) in \(G_2(0,-12)\). Razmerje med krajšo in daljšo osjo te elipse je
enako \(4:5\). Zapiši enačbo elipse \(E\).
Rešitev:
\(E\!:~~\frac{x^2}{256}+\frac{y^2}{400}=1\)
-
Nariši hiperbolo z enačbo: \(9x^2-y^2+36=0\)
Rešitev:
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{36}=-1;~~ S(0,0),~ a=2,~ b=6\)
-
Hiperbola ima numerično ekscentričnost enako \(\sqrt{5}\). Temeni te hiperbole ležita v točkah
\(T_1(0,2)\) in \(T_2(0,-2)\). Nariši to hiperbolo in zapiši njeno enačbo.
Rešitev:
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=-1\)
-
Krivulja ima enačbo \(25x^2+9y^2-900=0\). Zapiši koordinate temen in gorišč te krivulje.
Rešitev:
Temena: \(T_1(6,0),~ T_2(0,10),~ T_3(-6,0),~ T_4(0,-10)\); gorišči: \(G_1(0,8),~ G_2(0,-8)\)
-
Nariši parabolo z enačbo \(y=-x^2+4x-5\). Zapiši tudi koordinati temena te krivulje.
Rešitev:
Teme: \(T(2,-1)\)
-
Nariši grafa funkcij:
(a) \(f(x)=\log_3 (x+2)-2\)
(b) \(f(x)=\log_2 (2x+4)\)
-
Poenostavi izraz (za pozitiven \(a\)):
\({\displaystyle \frac{a^{2x+3}+a^{2x+2}+a^{2x+1}}{a^x+a^{x-1}+a^{x-2}}}\)
Rešitev:
\(\cdots=a^{x+3}\)
-
Graf eksponentne funkcije \(f\) poteka skozi točko \(T(-2,\frac{9}{4})\). Čim natančneje nariši graf te
funkcije.
Rešitev:
\(f(x)=(\frac{2}{3})^x\)
-
Nariši grafa funkcij:
(a) \(f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x-2\)
(b) \(f(x)=5-2\cdot2^x\)
-
Zapiši kot logaritem enočlenika:
\(\log(6x-6)-\log 2 -(\log(x-1)-\log x)\)
Rešitev:
\(\cdots=\log 3x\)
-
Izračunaj \(x\), če veš, da velja zveza:
\(\log x=3+\log 8 -\log 60 + \log 45 -\log 6\)
Rešitev:
\(x=1000\)
-
Izrazi \(y\), če veš, da so \(a,b,c\in\mathbb{R}^{+}\) in velja:
\({\displaystyle \log y=\frac{3\log a-2(\log b+7\log c)}{6}}\)
Rezultat primerno poenostavi.
Rešitev:
\(y=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{bc^7}}\)
-
Izračunaj natančno:
\({\displaystyle \frac{\sin\frac{25\pi}{12}\,\cos\frac{35\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{6}}}\)
Rešitev:
\(\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{6}\)
-
Poenostavi naslednje izraze:
(a) \({\displaystyle\frac{\cos x-\sin x}{2\cos x}\cdot\frac{\cos x-\sin x}{2\sin x}+\frac{1}{2}}\)
(b) \({\displaystyle\frac{\tan x}{\sin^2 x}-\frac{\cot x}{\sin^{-2}x-1}}\)
(c) \({\displaystyle\frac{\cos\frac{\pi}{3}\cdot
\left(\sin x-\frac{\textstyle1}{\textstyle\sin x}\right)}{\frac{\textstyle\cot x}{\textstyle2}}}\)
(d) \({\displaystyle\frac{\cot^2 x}{\cos^2 x}\cdot\frac{1-\cos^2 x}{1+\cot^2 x}}\)
(e) \({\displaystyle\frac{\tan x+\sin x}{\cot x+\frac{\textstyle1}{\textstyle\sin x}}\cdot\cos x}\)
(f) \({\displaystyle\frac{\cot x +\cos x}{\cot x \sin 2x}\cdot(1-\sin x)}\)
(g) \({\displaystyle\frac{1-\cos^2 x}{\frac{\textstyle1}{\textstyle\cos x}-\cos x}+
\frac{\sin 2x}{\sin x}}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{1}{2\sin2x}\);
(b) \(\cdots=\cot x\);
(c) \(\cdots=-\cos x\);
(d) \(\cdots=\sin^2x\);
(e) \(\cdots=\sin^2x\);
(f) \(\cdots=\frac{1}{2}\cot x\);
(g) \(\cdots=3\cos x\)
-
Za kot \(\alpha\) velja \(\sin \alpha=\frac{2}{3}\) in
\(\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi\). Izračunaj točne vrednosti izrazov:
(a) \(\cos\alpha=\)
(b) \(\cos2\alpha=\)
(c) \(\tan2\alpha=\)
Rešitev:
(a) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{3}\);
(b) \(\cos2\alpha=\frac{1}{9}\);
(c) \(\tan2\alpha=-4\sqrt{5}\)
-
Za topi kot \(\alpha\) velja \(\sin\alpha=\frac{1}{7}\). Dokaži, da je vrednost izraza \(\cos(\alpha-150^\circ)\) enaka točno
\(\frac{13}{14}\).
-
Izračunaj \(\cot(\alpha+\beta)\), če veš, da sta kota \(\alpha\)
in \(\beta\) ostra in velja \(\sin\alpha=\frac{8}{17}\), \(\sin\beta=\frac{24}{25}\). Rezultat naj bo
točen.
Rešitev:
\(\cdots=-\frac{87}{416}\)
-
Za kot \(\alpha\) velja \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\) in \(\frac{3\pi}{2}\lt\alpha\lt2\pi\). Izračunaj vrednost
izraza:
\({\displaystyle\frac{1+\sin\alpha+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\)
Rešitev:
\(\cdots=6\)
-
Dokaži, da naslednja enakost velja za vsak \(x\in\mathbb{R}\), za katerega sta obe strani enakosti definirani:
\({\displaystyle\frac{\cot x-\tan x}{\cot 45^\circ+ \tan 45^\circ}=\cot 2x}\)
-
Faktoriziraj (preoblikuj v produkt faktorjev):
(a) \({\displaystyle\frac{\cos x -\cos(x-30^\circ)}{\sin(x-30^\circ)-\sin x}}\)
(b) \({\displaystyle\frac{\sin x+\sin (x-36^\circ)}{\cos x + \sin(x+54^\circ)}}\)
(c) \({\displaystyle\frac{\cos(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{1+\tan\beta}}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\tan(x-15^\circ)\);
(b) \(\cdots=\tan(x-18^\circ)\);
(c) \(\cdots=\sqrt{2}\,\sin(45^\circ-\alpha)\,\cos\beta\)
-
Preoblikuj v produkt faktorjev (najprej razčleni in nato faktoriziraj):
\(\cos8x\cos3x - \cos2x\cos9x\)
Rešitev:
\(\cdots=\sin6x\sin x\)
-
Dokaži, da naslednja enakost velja za vsak \(x\in\mathbb{R}\), za katerega sta obe strani enakosti definirani:
\({\displaystyle \tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}}\)
-
Nariši grafe funkcij:
(a) \(f(x)=\frac{3}{2} \sin 2x +2\)
(b) \(f(x)=3-\cos x\)
(c) \(f(x)=\left|\sin\frac{\textstyle x}{\textstyle 2}\right|\)
-
Dana je funkcija: \(f(x)=3-\cos 2x\). Nariši graf in zapiši koordinate
minimumov in maksimumov te funkcije.
Rešitev:
Minimumi: \((k\pi,2)\), maksimumi: \((\frac{\pi}{2}+k\pi,4)\),
za \(k\in\mathbb{Z}\)
-
Izračunaj pole funkcije:
\(f(x)=\cot\left(\frac{\textstyle 3x}{\textstyle 2}-\frac{\textstyle \pi}{\textstyle 3}\right)\)
Rešitev:
Poli so pri \(x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}~~~ (k\in\mathbb{Z})\)
