Števila in izrazi  –  višja raven

1. Okrajšaj ulomek  \({\displaystyle\frac{36181}{29467}}\).
   Namig:    Poišči največji skupni delitelj števca in imenovalca. Lahko si pomagaš z Evklidovim algoritmom.
   Rešitev:    \(\cdots=\frac{97}{79}\)
2. Izračunaj najmanjši skupni večkratnik števil 4526, 3358 in 2993.
   Rešitev:    \(v=4\,268\,018\)
3. Poišči naravni števili \(m\) in \(n\), za kateri velja:   \(m\gt n\),   \(mn=240\),   \(D(m,n)=4\)
   Rešitev:    (1)  \(m=60,~ n=4\),     (2)  \(m=20,~ n=12\)
4. Dokaži, da je število \(A=(5n-1)^2-(3n+2)^2\) za vsak \(n\in\mathbb{Z}\) večkratnik števila \(B=(2n-3)\).
   Rešitev:    \(A=(2n-3)(8n+1)=B\cdot(8n+1)\)
5. Dokaži, da za vsak \(n\in\mathbb{Z}\) velja:   \((n^2-n+1) ~\Big|~ (2n+1)^3-(n-3)^3\)
   Rešitev:    \((2n+1)^3-(n-3)^3=7(n+4)(n^2-n+1)\)
6. Dani sta pozitivni števili \(a\) in \(b\), za kateri velja \(a\lt b\). Ugotovi, katero od naslednjih dveh števil je večje:   \(\log_{\frac{1}{2}} (2-\sqrt{a})\),    \(\log_{\frac{1}{2}} (2-\sqrt{b})\)
   Rešitev:    Večje je drugo število.
7. Poenostavi izraz:   \({\displaystyle\frac{n+1}{2}\cdot\frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{5+10+15+\cdots+5n}}\)
   Rešitev:    \(\cdots=\frac{n}{5}\)
8. Nariši v kompleksni ravnini množico vseh točk \(z\), ki ustrezajo pogoju:
   

   (a)   \(|z-2|\leqslant1\)

   (b)   \(|z-i|\leqslant2\)

   (c)   \(|z+1+i|\lt1\)

   Namig:    Upoštevaj, da je \(|z-w|=\) razdalja med \(z\) in \(w\)
9. Izračunaj ploščino množice v kompleksni ravnini:   \(C=\{z\in\mathbb{C};~ |z-1|\leqslant\sqrt{2},~ |z+1|\leqslant\sqrt{2}\}\)
   Rešitev:    Ta množica je presek dveh krogov. Ploščina je \(S=\pi-2\).
10. Dano je kompleksno število \(z=1-i\).
    

    (a)   Zapiši kvadratno enačbo z realnimi koeficienti in z vodilnim koeficientom 1, ki ima eno od rešitev enako \(z\).

    (b)   Dokaži, da je \(\frac{\textstyle 2}{\textstyle \,z\,}=\overline{\,z\,}\).

    (c)   Izračunaj \(z^{2000}\) (rezultat zapiši v obliki \(n^m;~~ n,m\in\mathbb{N}\)).

    (d)   Zapiši petčleno aritmetično zaporedje, ki ima prvi člen enak \({\rm Im}\,z\), peti člen pa enak \({\rm Im}\,\overline{\,z\,}\).

    (e)   Kolikšna je verjetnost, da je produkt dveh slučajno izbranih različnih števil iz prej zapisanega zaporedja petih števil negativen?

    Rešitev:    (a)  \(x^2-2x+2=0\);     (b)  \(\frac{2}{z}=1+i\);     (c)  \(z^{2000}=2^{1000}\);     (d)  \(-1,~-\frac{1}{2},~0,~\frac{1}{2},~1\);    (e)  \(P(A)=40\%\)

 Domov