Enačbe in neenačbe – osnovna raven

1. Reši neenačbo in množico rešitev zapiši kot interval:   \({\displaystyle (x-2)^2-\frac{x+8}{4}\geqslant x\Big(x-\frac{1}{4}\Big)}\)
   Rešitev:    \(x\in(-\infty,\frac{1}{2}]\)
2. Reši neenačbo:   \({\displaystyle \frac{\frac{1}{2}x-1}{3}\geqslant \frac{x-2}{6}}\)
   Rešitev:    Rešitev neenačbe je \(\forall x\in\mathbb{R}\)
3. Reši enačbo:   \({\displaystyle x+\frac{x-20}{x-5}=\frac{4x-5}{5-x}}\)
   Rešitev:    \(x=-5\)
4. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{x^2+x+7}{x^3-8}=\frac{1}{x-2}}\)
   Rešitev:    \(x=3\)
5. Reši enačbo:   \(x^2(x^2-1)=36(x^2-1)\)
   Rešitev:    \(x_1=1,~ x_2=-1,~ x_3=6,~ x_4=-6\)
6. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{1}{|x+1|+1}=\frac{2x+7}{x^2+2x}}\)
   Rešitev:    \(x=-3\)
7. Reši enačbo:   \(|x^{-1}-x^{-2}|=1-x^{-2}\)
   Rešitev:    \(x_1=1,~ x_2=-2\)
8. Reši enačbo:   \(12x^3-10x^2+2x=0\)
   Rešitev:    \(x_1=0,~ x_2=\frac{1}{2},~ x_3=\frac{1}{3}\)
9. Reši enačbo:   \((x+1)^3=(x-1)(x+2)(x-2)-(x-57)\)
   Rešitev:    \(x_1=-5,~ x_2=3\)
10. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{x+\sqrt{x+8}+6}{4}=x-10}\)
    Rešitev:    \(x=17\)
11. Reši enačbo (zapiši vse realne rešitve):   \({\displaystyle\frac{1+\sqrt[\scriptstyle3]{(x+1)^2-10}}{2}=0}\)
    Rešitev:    \(x_1=2,~ x_2=-4\)
12. Reši enačbo:   \({\displaystyle\left(\frac{9}{4}\right)^{1-x}=\frac{8}{27}}\)
    Rešitev:    \(x=\frac{5}{2}\)
13. Reši enačbo:   \(2\cdot3^x+7\cdot3^{x-1}=324+3^{x+1}\)
    Rešitev:    \(x=5\)
14. Reši enačbo:   \({\displaystyle\sqrt{2}^{~6x+2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x + 2^{4x}\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}=136}\)
    Rešitev:    \(x=6\)
15. Reši enačbo (rešitev zaokroži na štiri mesta):   \(2\cdot3^x-3\cdot2^x=2^{x+3}\)
    Rešitev:    \(x\doteq4,\!204\)
16. Reši enačbo:   \(\log_x (x+6)=2\)
    Rešitev:    \(x=3\)
17. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{\log(x+7)}{\log(x-2)+2}=\frac{1}{2}}\)
    Rešitev:    \(x_1=3,~ x_2=83\)
18. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{1}{2} \log \sqrt{x-3} = \frac{\log(2x-4)}{4}}\)
    Rešitev:    Enačba ni rešljiva, rešitev ne obstaja.
19. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{\log x+1}{\log x+5}=\frac{\log x}{\log x+3}}\)
    Namig:    Pomagaj si z uvedbo nove neznanke.
    Rešitev:    \(x=1000\)
20. Reši neenačbo:   \(x(3-x)+12\lt2\)
    Rešitev:    \(x\in(-\infty,-2)\cup(5,\infty)\)
21. Reši neenačbo:   \(\frac{1}{2}\,x^2+2x+2>0\)
    Rešitev:    \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}\)
22. Reši neenačbo:   \(x^3-x\lt3x\)
    Rešitev:    \(x\in(-\infty,-2)\cup(0,2)\)
23. Reši neenačbo:   \({\displaystyle\frac{3}{x+3}\geqslant1}\)
    Rešitev:    \(x\in(-3,0]\)
24. Reši neenačbo:   \({\displaystyle\frac{x^2+4x+4}{x^2-1}\leqslant0}\)
    Rešitev:    \(x\in(-1,1)\cup\{-2\}\)
25. Reši enačbo:   \({\displaystyle3+\sqrt[\scriptstyle3]{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2-1}=5}\)
    Rešitev:    \(x_1=5,~ x_2=-7\)
26. Reši enačbo:   \(2x^4+11x^3+19x^2+13x+3=0\)
    Rešitev:    \(x_1=-1,~ x_2=-3,~ x_3=-\frac{1}{2}\)
27. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{x^2-3x}{x+2}=1-\frac{3}{x}}\)
    Rešitev:    \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=3\)
28. Reši enačbo:   \(\sqrt{2}+2 \cos 3x=0\)
    Rešitev:    \(x=\pm\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}~~~(k\in\mathbb{Z})\)
29. Reši enačbo:   \(\sin 2x+2\sin x=4 \tan x\)
    Rešitev:    \(x_1=k\pi~~~(k\in\mathbb{Z})\)
    Dodatek:    Rešitev \(x_2=2k\pi\) je že vključena v zgoraj navedeno množico rešitev \(x_1\).
30. Reši enačbo:   \(3\sin^2x-\sin2x-\cos^2x=2\)
    Rešitev:    \(x_1=-\frac{\pi}{4}+k\pi,~ x_2=\arctan3+k\pi~~~ (k\in\mathbb{Z})\)
31. Reši enačbo:   \(\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
    Rešitev:    \(x_1=2\pi+4k\pi,~ x_2=-\pi+4k\pi~~~ (k\in\mathbb{Z})\)
32. Reši enačbo:   \(\sin 2x= 2 \cos^2 x\)
    Rešitev:    \(x_1=\frac{\pi}{2}+k\pi,~ x_2=\frac{\pi}{4}+k\pi~~~ (k\in\mathbb{Z})\)
33. Reši enačbo:   \(\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}\)
    Rešitev:    \(x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi~~~ (k\in\mathbb{Z})\)
34. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{\tan^2x}{\sin^2x}\cdot\frac{1-\sin^2x}{1+\tan^2x}=1}\)
    Rešitev:    Enačba ni rešljiva.
    Dodatek:    Rezultat \(x=k\pi\) ni rešitev, saj odpade pri preizkusu.
35. Reši sistem enačb:
    

       \(x-y+z = -1\)

       \(x+y-z = -3\)

       \(x+y+z = 5\)

    Rešitev:    \(x=-2,~ y=3,~ z=4\)
36. Reši sistem enačb:
    

       \(x^2+y^2=289\)

       \(x-y=-7\)

    Rešitev:    (1) \(x_1=8, y_1=15\),    (2) \(x_2=-15, y_2=-8\)
37. Dana je enačba \(x^2+(1+m)x -6m=0\). Določi realni parameter \(m\) tako, da bo ena od rešitev enačbe tudi \(x=3\). Kakšna je tedaj druga rešitev?
    Rešitev:    \(m=4,~ x_2=-8\)
38. Reši kvadratno enačbo:   \(x^2 - (1-\sin\alpha)\,x-\sin\alpha=0\)
    Rešitev:    \(x_1=1,~ x_2=-\sin\alpha\)
39. V množici \(\mathbb{C}\) reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{1+z}{1-\overline{\,z\,}}=(1+i)^{-1}}\)
    Rešitev:    \(z=-1-2i\)
40. S poljubno numerično metodo izračunaj edino realno rešitev enačbe \(x^3-2x-8=0\). Rezultat zaokroži na pet decimalk.
    Rešitev:    \(x\doteq2,\!33075\)

 Domov