Domov

Verjetnostni račun in statistika

  1. Na listkih imamo napisane črke P, O, K, E, R. Listke premešamo in jih po naključnem vrstnem redu postavimo v vrsto, tako da dobimo besedo. Izračunaj verjetnosti dogodkov:

    A:   da dobimo besedo KOPER,

    B:   da dobimo besedo, ki se začne na soglasnik.

    Rešitev:    \(P(A)=\frac{1}{120}\doteq0,\!83\%,~~ P(B)=\frac{3}{5}=60\%\)
  2. Na slepo si izberemo celo število med 1 in 60 (vključno). Izračunaj verjetnost, da je izbrano število deljivo s štiri ali s šest.
    Rešitev:    \(P(A)=\frac{1}{3}\doteq 33,\!33\%\)
  3. V bobnu za žrebanje so žogice označene s celimi števili od 1 do 20 (vključno). Iz bobna izžrebamo dve števili hkrati. Izračunaj verjetnost, da je vsota obeh števil enaka 16.
    Rešitev:    \(P(A)=\frac{7}{190}\doteq 3,\!68\%\)
  4. Kolo sreče ima na obodu cela števila od 1 do 20 (vključno). Kolo sreče zavrtimo dvakrat in tako dobimo dve števili . Izračunaj verjetnost, da je vsota obeh števil enaka 16.
    Rešitev:    \(P(A)=\frac{3}{80}\doteq 3,\!75\%\)
  5. V posodi je pet belih žogic, tri črne in dve zeleni. Iz posode na slepo vzamemo tri žogice hkrati. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov in jih zaokroži na stotinko procenta:

    A:   točno ena od izvlečenih žogic je bela,

    B:   vsaj dve od izvlečenih žogic sta črni,

    C:   vse tri izvlečene žogice so enake barve.

    Rešitev:    \(P(A)\doteq41,\!67\%,~~ P(B)\doteq18,\!33\%,~~ P(C)\doteq9,\!17\%\)
  6. V razredu je 11 fantov (eden od njih je Andraž) in 16 deklet (ena od njih je Bojana). Izmed njih izžrebamo štiričlansko delegacijo. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov (rezultate zaokroži na stotinko procenta):

    A:   v delegaciji sta tudi Andraž in Bojana,

    B:   v delegaciji je točno eden od njiju,

    C:   Bojana je edina ženska v delegaciji.

    Rešitev:    \(P(A)\doteq1,\!71\%,~ P(B)\doteq26,\!21\%,~ P(C)\doteq0,\!94\%\)
  7. Na šoli je 144 učencev. Učenci lahko obiskujejo fizikalni, biološki in kemijski krožek. Fizikalni krožek obiskuje 41 učencev, biološki krožek obiskuje 37 učencev, kemijski krožek pa 42 učencev. Fizikalni in biološki krožek obiskuje 14 učencev. Biološki in kemijski krožek obiskuje 16 učencev. Kemijski in fizikalni krožek obiskuje 18 učencev. Vse tri krožke obiskuje 10 učencev. Na slepo izberemo enega od učencev s te šole. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:

    A:   izbrani učenec obiskuje točno en krožek,

    B:   izbrani učenec obiskuje točno dva krožka.

    Rešitev:    \(P(A)=\frac{3}{8}=37,\!5\%,~~ P(B)=\frac{1}{8}=12,\!5\%\)
  8. Doma imamo tri matematične, dva kemijska in tri fizikalne priročnike. Ne da bi pazili na vrstni red, jih zložimo na polico. Izračunaj, kolikšna je verjetnost, da bodo matematični priročniki skupaj, kemijski skupaj in fizikalni skupaj. Rezultat zaokroži na tri mesta.
    Rešitev:    \(P(A)\doteq1,\!07\%\)
  9. Na svetovnem prvenstvu v balinanju sodeluje 10 držav, med njimi tudi Slovenija in Madžarska. Organizatorji bodo razdelili sodelujoče države z žrebom v dve skupini po 5 držav. Izračunaj verjetnost, da bosta Slovenija in Madžarska v isti skupini. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(P(A)=\frac{4}{9}\doteq44,\!44\%\)
  10. Janezek se je pripravljal na maturo iz matematike. Izmed 250 ustnih vprašanj, ki so v Katalogu za maturo, jih obvlada 150. Pri ustnem izpitu bo moral odgovoriti na tri naključno izbrana vprašanja iz Kataloga za maturo. Izračunaj verjetnost, da bo obvladal vsaj dve. Rezultat zaokroži na stotinko procenta.
    Rešitev:    \(P(A)\doteq64,\!86\%\)
  11. Na šoli poučuje 40 profesorjev, med njimi sta tudi profesor Dobrič in profesor Zlobec. Izmed njih z žrebom izberemo tričlansko komisijo za popravni izpit. Izračunaj verjetnosti naslednjih dveh dogodkov:

    A:   profesor Dobrič je član te komisije,

    B:   profesor Zlobec ni član te komisije.

    Nato izračunaj še verjetnost dogodka AB in ugotovi, ali sta dogodka A in B odvisna ali neodvisna.
    Rešitev:    \(P(A)=\frac{3}{40}=7,\!5\%,~ P(B)=\frac{37}{40}=92,\!5\%,~ P(AB)=\frac{37}{520}\doteq7,\!12\%.\)
    Dogodka sta odvisna. Če bi bila neodvisna, bi moralo veljati \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\).
  12. V kabinetu so 4 prijazni in 8 neprijaznih učiteljev. Med glavnim odmorom sedemkrat trkaš na vrata kabineta. Izračunaj verjetnost, da ti vsaj dvakrat odpre prijazen učitelj. (Opomba: Učitelji hodijo odpret vrata naključno – brez dogovora o vrstnem redu.)
    Rešitev:    \(P(A)=\frac{179}{243}\doteq73,\!66\%\)
  13. V prvi posodi sta dve beli in osem črnih kroglic. V drugi posodi pa je ena bela kroglica. Iz prve posode na slepo vzamemo dve kroglici in ju damo v drugo posodo. Nato iz druge posode na slepo izvlečemo eno kroglico. Izračunaj verjetnost, da je ta kroglica črna.
    Rešitev:    \(P(A)=\frac{8}{15}\doteq53,\!33\%\)
  14. V prvi posodi so tri bele in sedem črnih kroglic. V drugi posodi pa so tri bele in ena črna kroglica. Iz prve posode na slepo vzamemo eno kroglico in jo damo v drugo posodo. Nato iz druge posode na slepo izvlečemo eno kroglico. Ko jo pogledamo, vidimo, da je črna. Izračunaj verjetnost, da je bila tudi prva kroglica črna.
    Rešitev:    \(P(H_2/A)=\frac{14}{17}\doteq82,\!35\%\)
  15. V trgovini prodajajo baterije Durales. Na zalogi imajo 600 baterij izdelanih v matični tovarni v Evropi in 200 baterij izdelanih v podružnični tovarni v Aziji. Med izdelki matične tovarne je 5% slabih, med izdelki podružnične tovarne pa je 25% slabih. V trgovini kupimo naključno izbrano baterijo in kaj kmalu ugotovimo, da je slaba. Izračunaj verjetnost, da je bila izdelana v podružnični tovarni.
    Rešitev:    \(P(H_2/A)=\frac{5}{8}=62,\!5\%\)
  16. V treh posodah imamo po 5 belih in 2 črni kroglici. Iz vsake posode na slepo izvlečemo po eno kroglico. Zanima nas število črnih kroglic, ki jih pri tem dobimo. Zapiši v obliki tabele verjetnosti, da smo izvlekli 0, 1, 2 oziroma 3 črne kroglice.
    Rešitev:    \(\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \mathrm{število~črnih} & 0 & 1 & 2 & 3 \cr\hline \mathrm{verjetnost} & 36,\!44\% & 43,\!73\% & 17,\!49\% & 2,\!33\% \cr\hline \end{array}\)
  17. Pri testu je treba rešiti tri naloge: eno iz kombinatorike, eno iz verjetnostnega računa in eno iz statistike. Verjetnost, da pravilno rešiš nalogo iz kombinatorike je 65%. Verjetnost, da pravilno rešiš nalogo iz verjetnostnega računa je 70%. Verjetnost, da pravilno rešiš nalogo iz statistike pa je 80%. Podaj v obliki tabele verjetnost, da rešiš 0, 1, 2 oziroma 3 naloge.
    Rešitev:    \(\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \mathrm{število~rešenih~nalog} & 0 & 1 & 2 & 3 \cr\hline \mathrm{verjetnost} & 2,\!1\% & 17,\!2\% & 44,\!3\% & 36,\!4\% \cr\hline \end{array}\)
  18. Ob koncu šolskega leta je bilo na šoli 40 negativnih učencev: 13 jih je imelo po eno negativno oceno, 10 po dve, 7 po tri, 5 po štiri, 4 po pet in 1 učenec je imel šest negativnih ocen. Predstavi porazdelitev negativnih ocen:

    (a)   s histogramom,

    (b)   s frekvenčnim poligonom,

    (c)   s frekvenčnim kolačem.

  19. Učenci iz razreda 4.ž so pisali test iz matematike. Oceno odlično je dobilo 8% učencev, oceno prav dobro je dobilo 24% učencev, oceno dobro je dobilo 32% učencev, oceno zadostno pa 16%. Ostalih 5 učencev je dobilo oceno nezadostno. Izračunaj povprečno oceno.
    Rešitev:    \(\overline{\,x\,}=2,\!84\)
  20. Tržna inšpekcija je opravila kontrolo izdelkov v trgovini. Na slepo so izbrali 25 zavitkov moke (ki naj bi vsebovali po 1 kg) in jih stehtali. Rezultate prikazuje spodnja tabela. Izračunaj povprečno maso zavitka in standardni odklon.

    \(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline \mathrm{masa~posameznega~zavitka} & 0.98~\mathrm{kg} & 0.99~\mathrm{kg} & 1.00~\mathrm{kg} & 1.01~\mathrm{kg} & 1.02~\mathrm{kg} \cr\hline \mathrm{število~takih~zavitkov} & 1 & 2 & 1 & 13 & 8 \cr\hline \end{array}\)

    Rešitev:    \(\overline{\,x\,}=1.01~\mathrm{kg},~ \sigma\doteq0.0102~\mathrm{kg}\)

Powered by MathJax
Domov

 Domov