Integral

Nedoločeni integral

1. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   \({\displaystyle \int (x^3+2x+7)\,dx}\)

   (b)   \({\displaystyle \int (\sin x+3\cos x +e^x)\,dx}\)

   (c)   \({\displaystyle \int \frac{1}{x}(x^3+x^2-1)\,dx }\)

   (d)   \({\displaystyle \int \frac{2x^2-x^{-1/2}-1}{\sqrt{x}}dx}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{1}{4}x^4+x^2+7x+C\);     (b)  \(\cdots=-\cos x+3\sin x +e^x+C\);     (c)  \(\cdots=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-\ln|x|+C\);     (d)  \(\cdots=\frac{4}{5}\sqrt{x^5}-2\sqrt{x}-\ln|x|+C\)
2. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   \({\displaystyle \int (2x+5)^4\,dx}\)

   (b)   \({\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4x+1}}\,dx}\)

   (c)   \({\displaystyle \int \sqrt{3x+7}\,dx}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{1}{10}(2x+5)^5+C\);     (b)  \(\cdots=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}+C\);     (c)  \(\cdots=\frac{2}{3}\sqrt{(3x+7)^3}+C\)
3. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   \({\displaystyle \int \frac{x}{x^2+4}\,dx}\)

   (b)   \({\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\,dx}\)

   (c)   \({\displaystyle \int \frac{x^2\,dx}{\sqrt[\scriptstyle 4]{x^3+5}}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C\);     (b)  \(\cdots=\sqrt{x^2+5}+C\);     (c)  \(\cdots=\frac{4}{9}\sqrt[4]{(x^3+5)^3}+C\)
4. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   \({\displaystyle \int \sin 7x\,dx}\)

   (b)   \({\displaystyle \int \cos\frac{x}{2}\,dx}\)

   (c)   \({\displaystyle \int e^{2x+5}\,dx}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=-\frac{1}{7}\cos7x +C\);     (b)  \(\cdots=2\sin\frac{x}{2}+C\);     (c)  \(\cdots=\frac{1}{2}e^{2x+5}+C\)
5. Integriraj:  \({\displaystyle \int \frac{\sin x\,dx}{2\,\cos x+3}}\)
   Rešitev:    \(\cdots=-\frac{1}{2}\ln(2\,\cos x+3)+C\)
6. Integriraj:  \({\displaystyle \int\frac{\sin x ~dx}{(1-\sin x)(1+\sin x)}}\)
   Rešitev:    \(\cdots=\frac{1}{\cos x}+C\)
7. Integriraj:  \({\displaystyle \int\cos^3x\sin x\,dx}\)
   Rešitev:    \(\cdots=-\frac{1}{4}\cos^4x+C\)
8. Integriraj:  \({\displaystyle \int\sin3x\sin2x\,dx}\)
   Rešitev:    \(\cdots=\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{10}\sin5x +C\)
9. Integriraj:  \({\displaystyle \int x^2\,\cos x\,dx}\)
   Rešitev:    \(\cdots=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C\)
10. Integriraj:  \({\displaystyle \int x\,\ln x\,dx}\)
    Rešitev:    \(\cdots=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\)
11. Izračunaj, katero funkcijo \(f\) moramo integrirati, da dobimo za rezultat funkcijo:  \(g(x)=x^3+e^{2x}+C\)
    Rešitev:    \(f(x)=g'(x)=3x^2+2\,e^{2x}\)
12. Izračunaj, katero funkcijo \(f\) moramo odvajati, da dobimo za rezultat funkcijo:  \(g(x)=x^3+e^{2x}+1\)
    Rešitev:    \(f(x)=\int g(x)\,dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}e^{2x}+x+C\)
13. Izračunaj, za katero funkcijo \(f\) velja:  \(f'(x)=\sin(3x+\pi)\) in \(f(0)=\frac{4}{3}\)
    Rešitev:    \(f(x)=-\frac{1}{3}\cos(3x+\pi)+1\)

Določeni integral

14. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   \({\displaystyle \int\limits_{-1}^2 (-x^2+5)~ dx}\)

    (b)   \({\displaystyle \int\limits_0^9 \sqrt{x}~ dx}\)

    (c)   \({\displaystyle \int\limits_0^\pi (\cos x+2)~dx }\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=12\);     (b)  \(\cdots=18\);     (c)  \(\cdots=2\pi\)
15. Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepata vodoravna koordinatna os in graf funkcije  \(f(x)=x^3+2x^2\).
    Rešitev:    \(S=\frac{4}{3}\)     (meji: \(a=-2,~ b=0\))
16. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta krivulji \(y=x^2-4x-2\) in \(y=4-x^2\).
    Rešitev:    \(S=21\frac{1}{3}\)     (meji: \(a=-1,~b=3\))
17. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta paraboli \(y=x^2-1\) in \(y=5-x^2\). Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(S=8\sqrt{3}\)     (meji: \(a=-\sqrt{3}, b=\sqrt{3}\))
18. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij \(f(x)=\sqrt{3x}\) in \(g(x)=x^2-2x\).
    Rešitev:    \(S=6\)     (meji: \(a=0,~ b=3\))
19. Izračunaj povprečno vrednost funkcije \(f(x)=x^3\) na intervalu \([0,1]\).
    Rešitev:    \(\overline{f}=\frac{1}{4}\)
20. Izračunaj povprečno vrednost funkcije \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x^2+1}\) na intervalu \([-1,1]\). Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(\overline{f}\doteq0,\!7854\)
21. Dana je funkcija \(f(x)=\sqrt{3x+1}\). Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujejo graf te funkcije, abscisna os, ordinatna os in premica z enačbo \(x=5\).
    Rešitev:    \(S=14\)
22. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf funkcije \(f(x)=\sqrt{6x-5}\) in simetrala lihih kvadrantov.
    Rešitev:    \(S=\frac{16}{9}\)
23. Integriraj:  \({\displaystyle \int\limits_{0}^{\textstyle{\pi\over6}} \sin 2x\,\sqrt{1-\cos 2x}~dx}\)
    Rešitev:    \(\cdots=\frac{\sqrt{2}}{12}\)
24. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta abscisna os in graf funkcije \(f(x)=\sin^3 x\) med dvema zaporednima ničlama.
    Namig:    Uvedi novo spremenljivko: \(t=\cos x\)
    Rešitev:    \(S=\frac{4}{3}\)
25. Izračunaj ploščino lika, ki ga na intervalu \(\left[\frac{1}{9},\infty\right)\) omejujeta os \(x\) in graf funkcije \({\displaystyle f(x)=\frac{1}{3x^2}}\).
    Rešitev:    \(S=3\)
26. Dana je funkcija \(f(x)=\frac{\textstyle 2}{\textstyle x}\). Del grafa, ki pripada intervalu \(x\in[1,4]\), zavrtimo za \(360^\circ\) okoli abscisne osi. Izračunaj prostornino tako dobljene vrtenine.
    Rešitev:    \(V=3\pi\)
27. Dana je hiperbola \(x^2-y^2=-1\). Del hiperbole, ki pripada intervalu \(x\in[-1,2]\), zavrtimo okoli abscisne osi, tako da dobimo rotacijsko telo. Izračunaj prostornino tako dobljenega telesa.
    Rešitev:    \(V=6\pi\)
28. Izračunaj volumen vrtenine, ki nastane, če zavrtimo okoli abscisne osi graf funkcije \(f(x)=e^x\) na intervalu \((-\infty,0]\).
    Rešitev:    \(V=\frac{\pi}{2}\)

Integracija racionalnih funkcij

29. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   \({\displaystyle \int \frac{1}{x-2}\,dx}\)

    (b)   \({\displaystyle \int \frac{2x+3}{x+1}\,dx}\)

    (c)   \({\displaystyle \int \frac{x^2+2x-1}{x-1}\,dx }\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\ln|x-2|+C\);     (b)  \(\cdots=2x+\ln|x+1|+C\);     (c)  \(\cdots=\frac{1}{2}x^2+3x+2\ln|x-1|+C\)
30. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   \({\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx}\)

    (b)   \({\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}\,dx}\)

    (c)   \({\displaystyle \int \frac{x-2}{x^2-4x+3}\,dx }\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\ln(x^2+3)+C\);     (b)  \(\cdots=\ln|x^2+3x+1|+C\);     (c)  \(\cdots=\frac{1}{2}\ln|x^2-4x+3|+C\)
31. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   \({\displaystyle \int \frac{1}{x^2+9}\,dx}\)

    (b)   \({\displaystyle \int \frac{1}{x^2+4x+5}\,dx}\)

    (c)   \({\displaystyle \int \frac{1}{x^2-2x+10}\,dx }\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}+C\);     (b)  \(\cdots=\arctan(x+2)+C\);     (c)  \(\cdots=\frac{1}{3}\arctan\frac{x-1}{3}+C\)
32. Izračunaj naslednja integrala:
    

    (a)   \({\displaystyle \int \frac{3x-1}{x^2-x}\,dx}\)

    (b)   \({\displaystyle \int \frac{3x-5}{x^2-2x-3}\,dx}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\int(\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1})\,dx=\ln|x|+2\ln|x-1|+C\);     (b)  \(\cdots=\int(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-3})\,dx=2\ln|x+1|+\ln|x-3|+C\)

 Domov