Domov

Zaporedja

  1. Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=\frac{2n+1}{n+2}}\). Nariši graf in opiši lastnosti tega zaporedja (naraščanje, padanje, omejenost – ne pozabi na dokaze).
    Rešitev:
    Graf:
    Graf zaporedja

    Lastnosti:
    Zaporedje narašča in ima spodnjo mejo 1 in zgornjo mejo 2.
  2. Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=\frac{3}{n^2}}\). Nariši graf in opiši lastnosti tega zaporedja (naraščanje, padanje, omejenost – ne pozabi na dokaze).
    Rešitev:
    Graf:
    Graf zaporedja

    Lastnosti:
    Zaporedje pada in ima spodnjo mejo 0 in zgornjo mejo 3.
  3. Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=3-\frac{2}{n}}\). Dokaži, da je to zaporedje omejeno.
    Rešitev:    Res je omejeno (dokaži!). Ima spodnjo mejo \(m=1\) in zgornjo mejo \(M=3\).
  4. Dano je zaporedje \(a_n=n^2-n\). Dokaži, da je to naraščajoče zaporedje.
  5. Zaporedje ima splošni člen \(a_n=123+19n\). Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so manjši od 1000.
    Rešitev:    Manjši od 1000 so členi od vključno \(a_1\) do vključno \(a_{46}\).
  6. Zaporedje ima splošni člen \(a_n=(\frac{3}{2})^n\). Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so večji od 1000.
    Rešitev:    Večji od 1000 so vsi členi od vključno \(a_{18}\) naprej.
  7. Aritmetično zaporedje ima prvi člen \(a_1=17\) in deseti člen \(a_{10}=80\). Zapiši formulo za splošni člen tega zaporedja.
    Rešitev:    \(a_n=10+7n\)
  8. Aritmetično zaporedje ima člena \(a_1=1000\) in \(a_{12}=10\). Izračunaj sedmi člen tega zaporedja.
    Namig:    Najprej zapiši splošni člen.
    Rešitev:    Splošni člen: \(a_n=1090-90n\), sedmi člen: \(a_7=460\)
  9. Aritmetično zaporedje se začne s členoma \(a_1=666\) in \(a_2=600\). Izračunaj, koliko členov tega zaporedja je pozitivnih.
    Rešitev:    Pozitivnih je prvih enajst členov.
  10. Med števili 23 in 101 vrini pet števil tako, da dobiš končno aritmetično zaporedje.
    Rešitev:    Aritmetično zaporedje: 23, 36, 49, 62, 75, 88, 101
  11. Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   \(3x,~~~ 4x+2,~~~ 6x-1\)
    Rešitev:    \(x=5\), aritmetično zaporedje: 15, 22, 29
  12. Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   \(4x-x^2,~~~ x^2+6,~~~ x^3\)
    Rešitev:    \(x=3\), aritmetično zaporedje: 3, 15, 27
  13. Določi realno število \(m\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   \(2m,~~~ m+6,~~~ m+\sqrt{m}\)
    Rešitev:    \(m=9\), aritmetično zaporedje: 18, 15, 12
  14. Določi realno število \(u\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   \(\log_2(u-1),~~~ \log_2(2u-2),~~~ \log_2(3u+13)\)
    Rešitev:    \(u=17\), aritmetično zaporedje: 4, 5, 6
  15. Geometrijsko zaporedje se začne s členoma \(a_1=7,~ a_2=28\). Zapiši splošni člen tega zaporedja.
    Rešitev:    \(a_n=7\cdot 4^{n-1}\)
  16. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=4\) in četrti člen \(a_4=108\). Izračunaj peti člen tega zaporedja.
    Rešitev:    \(a_5=324\)
  17. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=240\) in peti člen \(a_5=15\). Izračunaj četrti člen tega zaporedja. Upoštevaj vse možne rešitve.
    Rešitev:    Naloga ima dve rešitvi: \(a_4=30\) ali pa \(a_4=-30\).
  18. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=1929\) in drugi člen \(a_2=3858\). Izračunaj, kateri člen tega zaporedja je enak \(123\,456\).
    Rešitev:    To je sedmi člen: \(a_7=123\,456\).
  19. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=\frac{1}{2}\) in četrti člen \(a_4=\sqrt{2}\). Izračunaj deseti člen tega zaporedja. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(a_{10}=8\sqrt{2}\)
  20. Med števili 5 in 160 vrini štiri števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    Geometrijsko zaporedje: 5, 10, 20, 40, 80, 160
  21. Med števili 80 in 405 vrini tri pozitivna števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    Geometrijsko zaporedje: 80, 120, 180, 270, 405
  22. Med števili 2 in 162 vrini tri pozitivna števila tako, da dobiš:

    (a)    končno aritmetično zaporedje,

    (b)    končno geometrijsko zaporedje.

    Rešitev:    (a)  aritmetično zaporedje: 2, 42, 82, 122, 162;     (b)  geometrijsko zaporedje: 2, 6, 18, 54, 162
  23. Določi realno število \(a\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   \(a-2,~~~ 2a+1,~~~ 4a+17\)
    Rešitev:    \(a=7\), geometrijsko zaporedje: 5, 15, 45
  24. Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   \({\displaystyle \frac{1}{x-1}},~~~ x-2,~~~ x-1\)
    Rešitev:    \(x=3\), geometrijsko zaporedje: \(\frac{1}{2},~ 1,~ 2\)
  25. Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   \(2,~~~ 1+\sqrt{x},~~~ x-7\)
    Rešitev:    \(x=25\), geometrijsko zaporedje: 2, 6, 18
  26. Določi realno število \(m\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   \({\displaystyle\frac{9}{2m+23},~~~ \frac{9}{m+1},~~~ \frac{18}{m-6}}\)
    Rešitev:    \(m=20\), geometrijsko zaporedje: \(\frac{1}{7},~ \frac{3}{7},~ \frac{9}{7}\)
  27. Država Rastafarija ima zdaj 4 371 000 prebivalcev. Število prebivalcev te države se vsako leto poveča za 17 promilov. Izračunaj, koliko prebivalcev bo imela ta država čez 25 let.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Čez 25 let bo imela ta država 6 662 000 prebivalcev.
  28. V začetku leta 2000 je imela država Zumbaland 3 333 000 prebivalcev. V začetku leta 2010 pa je imela ta država že 4 184 000 prebivalcev. Izračunaj, koliko prebivalcev je imela ta država v začetku leta 2001. Kolikšen je naravni prirastek v tej državi?
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    V začetku leta 2001 je imela država 3 409 659 prebivalcev. Naravni prirastek je 23‰ (oziroma 2,3%).
  29. V začetku leta 2010 je imela država Koruptistan 2 377 470 prebivalcev. Naravni prirastek v tej državi je 13‰. Izračunaj, kdaj bo število prebivalcev te države preseglo 3 milijone.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Število prebivalcev bo preseglo 3 milijone čez 18 let, torej bo to v začetku leta 2028.
  30. Gospod Gregor je 1. januarja 2014 vložil v X-Banko znesek 4090 evrov. Banka ta znesek obrestuje po 8-procentni letni obrestni meri. Izračunaj, koliko denarja bo imel gospod Gregor v banki čez eno leto in koliko čez deset let.
    Opomba:    Upoštevaj obrestno obrestovanje z letnim pripisom obresti.
    Rešitev:    Čez eno leto bo imel 4417,20 €, čez deset let pa bo imel 8830 €
  31. Dano je aritmetično zaporedje \(a_n=17+6n\). Izračunaj vsoto prvih dvajsetih členov tega zaporedja.
    Rešitev:    \(s_{20}=1600\)
  32. Aritmetično zaporedje se začne s členoma \(a_1=730,~ a_2=703\). Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov tega zaporedja.
    Rešitev:    \(s_{28}=10\,234\)
  33. Dano je geometrijsko zaporedje \(a_n=3\cdot 6^{n-1}\). Izračunaj vsoto prvih sedmih členov tega zaporedja.
    Rešitev:    \(s_7=167\,961\)
  34. Geometrijsko zaporedje se začne s členoma \(a_1=448,~ a_2=672\). Izračunaj vsoto vseh členov, ki so manjši od 5000.
    Rešitev:    \(s_6=9310\)
  35. Delavci so kopali jarek za vodovod. Prvi dan so izkopali 200 m dolg jarek. Drugi dan so izkopali 210 m dolg jarek in vsak naslednji dan so izkopali še za 10 m daljši jarek kot dan pred tem. Izračunaj skupno dolžino jarka, ki so ga izkopali v prvih desetih dneh.
    Namig:    Najprej ugotovi, kakšne vrste zaporedje je to.
    Rešitev:    \(s_{10}=2450~\mathrm{m}\)
  36. Delavci so kopali jarek za električni kabel. Prvi dan so izkopali 320 m dolg jarek. Vsak naslednji dan so izkopali za 10% daljši jarek kot dan pred tem. Izračunaj skupno dolžino jarka, ki so ga izkopali v prvih desetih dneh.
    Namig:    Najprej ugotovi, kakšne vrste zaporedje je to.
    Rešitev:    \(s_{10}\doteq5100~\mathrm{m}\)


Domov Na seznam nalog

Powered by MathJax Valid XHTML 1.0 Transitional