-
Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
(a) \(f(x)=3x^2+5x-7\)
(b) \(f(x)=x^7-4x^5-2x^3-x\)
(c) \(f(x)=\frac{1}{4}x^6+\frac{5}{6}x^4-\frac{11}{7}\)
Rešitev:
(a) \(f'(x)=6x+5\),
(b) \(f'(x)=7x^6-20x^4-6x^2-1\),
(c) \(f'(x)=\frac{3}{2}x^5+\frac{10}{3}x^3\)
-
Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
(a) \(f(x)=x^2(x+1)(x-2)\)
(b) \(f(x)=(x+3)^2+x(x-1)\)
(c) \(f(x)=(x-1)^3\)
Namig:
Najprej odpravi oklepaje in poenostavi, šele nato odvajaj.
Rešitev:
(a) \(f'(x)=4x^3-3x^2-4x\),
(b) \(f'(x)=4x+5\),
(c) \(f'(x)=3x^2-6x+3\)
-
Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
(a) \({\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\)
(b) \(f(x)=5x^2+\sqrt{x}\)
(c) \(f(x)=x\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^5}\)
Namig:
Najprej korene in ulomke preoblikuj v potence, šele nato odvajaj.
Rešitev:
(a) \(f'(x)=1-x^{-2}-2x^{-3}=1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\),
(b) \(f'(x)=10x+\frac{1}{2}x^{-1/2}=10x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\),
(c) \(f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}+\frac{5}{3}x^{2/3}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}\)
-
Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
(a) \(f(x)=2\sin x+5\)
(b) \(f(x)=e^x+\cos x +x^2\)
(c) \(f(x)=1+\ln x\)
Rešitev:
(a) \(f'(x)=2\cos x\),
(b) \(f'(x)=e^x-\sin x+2x\),
(c) \(f'(x)=\frac{1}{x}\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3+2x^2-5x+1\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki \(x=1\).
Rešitev:
Tangenta: \(y=2x-3\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\sqrt{x}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije pri \(x=4\).
Rešitev:
Tangenta: \(y=\frac{1}{4}x+1\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\frac{1}{2}x^4-2x^2\). Zapiši enačbo normale na graf te funkcije v točki z absciso \(x=2\).
Rešitev:
Normala: \(y=-\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\sin x\). Zapiši enačbo normale na graf te funkcije v točki \(x=\pi\).
Rešitev:
Normala: \(y=x-\pi\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3-2x^2-3x+5\). Izračunaj naklonski kot grafa funkcije v točki \(x=2\).
Rešitev:
Naklonski kot: \(\alpha=45^\circ\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3+x-2\). Izračunaj naklonski kot grafa funkcije pri \(x=\frac{3}{2}\).
Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Naklonski kot: \(\alpha\doteq82^\circ39'\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3-3x^2+x-3\). Izračunaj naklonski kot grafa funkcije v točki, kjer seka abscisno os.
Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Naklonski kot: \(\alpha\doteq84^\circ17'\)
-
Dani sta funkciji \(f(x)=x^2-6\) in \(g(x)=x^2-10x+24\). Izračunaj presečišče grafov funkcij.
Izračunaj tudi ostri kot, ki ga oklepata grafa funkcij. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Presečišče: \(P(3,3)\), kot: \(\varphi\doteq23^\circ30'\)
-
Dani sta funkciji \(f(x)=x^2-6x+8\) in \(g(x)=x^3-x^2-2x\). Izračunaj presečišče grafov funkcij.
Izračunaj tudi ostri kot, ki ga oklepata grafa funkcij. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Presečišče: \(P(2,0)\), kot: \(\varphi\doteq36^\circ02'\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3-6x^2+9x\). Izračunaj ničle in stacionarne točke ter nariši graf te funkcije.
Rešitev:
Ničli: \(x_1=0,~ x_{2,3}=3~\mathrm{(II.)}\),
stacionarni točki: max.: \(T_1(1,4)\), min.: \(T_2(3,0)\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=2x^3-9x^2+12x\). Izračunaj ničle in stacionarne točke ter nariši graf te funkcije.
Rešitev:
Ničla: \(x_1=0\),
stacionarni točki: max.: \(T_1(1,5)\), min.: \(T_2(2,4)\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^4-2x^2-8\). Izračunaj ničle in stacionarne točke ter nariši graf te funkcije.
Rešitev:
Ničli: \(x_1=-2,~ x_2=2\),
stacionarne točke: max.: \(T_1(0,8)\), min.: \(T_2(-1,-9),~ T_3(1,-9)\)
-
Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
(a) \(f(x)=x^3e^x\)
(b) \(f(x)=x^2\ln x\)
(c) \(f(x)=x+x\cos x\)
Rešitev:
(a) \(f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x\),
(b) \(f'(x)=2x\ln x+x\),
(c) \(f'(x)=1+\cos x-x\sin x\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=xe^x+1\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije pri \(x=0\).
Rešitev:
Tangenta: \(y=x+1\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=(x-4)\sqrt{x}\). Zapiši enačbo normale na graf funkcije v točki \(x=4\).
Rešitev:
Normala: \(y=-\frac{1}{2}x+2\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=(x^2+2)\ln x\). Izračunaj naklonski kot grafa pri \(x=1\).
Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Naklonski kot: \(\alpha\doteq71^\circ34'\)
-
Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
(a) \({\displaystyle f(x)=\frac{3x-2}{x+1}}\)
(b) \({\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}}\)
(c) \({\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{2x+1}}\)
Rešitev:
(a) \(f'(x)=\frac{5}{(x-1)^2}\),
(b) \(f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\),
(c) \(f'(x)=\frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\frac{\textstyle x-3}{\textstyle x+1}\). Izračunaj naklonski kot grafa v edini ničli te funkcije.
Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Naklonski kot: \(\alpha\doteq14^\circ2'\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\frac{\textstyle 2x}{\textstyle x^2+1}\).
Izračunaj stacionarne točke te funkcije.
Rešitev:
Stacionarni točki: \(T_1(1,1),~~ T_2(-1,-1)\)
-
Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
(a) \(f(x)=\sin 5x\)
(b) \(f(x)=\ln(2x+1)\)
(c) \(f(x)=\sqrt{x^2+4}\)
Rešitev:
(a) \(f'(x)=5\cos 5x\),
(b) \(f'(x)=\frac{2}{2x+1}\),
(c) \(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\ln(3x-5)\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki z absciso \(x=2\).
Rešitev:
Tangenta: \(y=3x-6\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\sqrt{4x+1}\). Izračunaj naklonski kot grafa pri \(x=2\).
Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Naklonski kot: \(\alpha\doteq33^\circ41'\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\sqrt{x+2}\). Izračunaj, v kateri točki se sekata graf te funkcije in
simetrala lihih kvadrantov. Izračunaj tudi, kolikšen kot oklepata.
Kot zapiši v stopinjah in minutah.
Rešitev:
Presečišče: \(T(2,2)\), kot: \(\varphi\doteq30^\circ58'\)
