Domov

Trigonometrijske funkcije

Prehod v I. kvadrant, osnovne zveze, adicijski izreki

  1. Preoblikuj v kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:

    (a)    \(\cos 3210^\circ\)

    (b)    \(\sin 6000^\circ\)

    (c)    \(\tan 8880^\circ\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\),     (b)  \(\cdots=-\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\),     (c)  \(\cdots=\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)
  2. Preoblikuj v kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:

    (a)    \(\sin \frac{39\pi}{4}\)

    (b)    \(\cot \frac{25\pi}{3}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=-\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\),     (b)  \(\cdots=\cot \frac{\pi}{3}= \frac{\sqrt{3}}{3}\)
  3. Poenostavi in izračunaj (rezultat naj bo točen in primerno poenostavljen):

    (a)    \({\displaystyle\frac{\sin1230^\circ+\cos1230^\circ}{\cos300^\circ+\sin900^\circ}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\sin\frac{15\pi}{4}}{\tan\frac{11\pi}{6}-\cot\frac{10\pi}{3}}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=1-\sqrt{3}\),     (b)  \(\cdots=\frac{\sqrt{6}}{4}\)
  4. Poenostavi izraz:

    (a)    \((1-\sin x)(1+\sin x)(1+\tan^2 x)\)

    (b)    \({\displaystyle\Big(\frac{1}{\tan x}+\tan x\Big)\cdot \sin^2 x}\)

    (c)    \({\displaystyle\Big(\frac{1}{\sin x}-\sin x\Big)^{-1}\cdot \cot^2 x}\)

    (d)    \({\displaystyle\frac{\sin^3 x-\cos^3 x}{\sin x-\cos x}-1}\)

    (e)    \({\displaystyle\frac{\tan x}{\cos x-\frac{\textstyle1}{\textstyle\cos x}}+\sin x + \sin x \cot^2 x }\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=1\),     (b)  \(\cdots=\tan x\),     (c)  \(\cdots=\frac{1}{\sin x}\),     (d)  \(\cdots=\sin x \cos x\),     (e)  \(\cdots=0\)
  5. Poenostavi izraz:

    (a)    \(\sin 2x (\tan x + \cot x)\)

    (b)    \(\tan 2x (\cot x - \tan x)\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\),     (b)  \(\cdots=2\)
  6. Poenostavi izraz:

    (a)    \({\displaystyle\frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{\cos 2x}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\sin x+\sin 2x}{1+\cos x+\cos 2x}}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{\frac{\textstyle\sin x}{\textstyle\cos x+1}}{\frac{\textstyle2\sin x}{\textstyle\sin 2x}-1}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\tan 2x\),     (b)  \(\cdots=\tan x\),     (c)  \(\cdots=\cot x\)
  7. Za ostri kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{20}{29}\). Izračunaj (rezultat zapiši kot okrajšan ulomek):

    (a)    \(\cos\alpha\)

    (b)    \(\cot\alpha\)

    Rešitev:    (a)  \(\cos\alpha=\frac{21}{29}\),     (b)  \(\cot\alpha=\frac{21}{20}\)
  8. Za topi kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}\). Izračunaj (rezultat naj bo točen):

    (a)    \(\cos\alpha\)

    (b)    \(\tan\alpha\)

    Rešitev:    (a)  \(\cos\alpha=-\frac{3}{4}\),     (b)  \(\tan\alpha=-\frac{\sqrt{7}}{3}\)
  9. Za kot \(\alpha\) velja:  \(\tan\alpha=4\sqrt{5}\),  \(180^\circ\lt\alpha\lt270^\circ\). Izračunaj \(\cos\alpha\). Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(\cos\alpha=-\frac{1}{9}\)
  10. Za kot \(\alpha\) velja:  \(\tan\alpha=\frac{1}{7}\),  \(180^\circ\lt\alpha\lt270^\circ\). Izračunaj \(\sin\alpha\). Rezultat naj bo točen in primerno poenostavljen.
    Rešitev:    \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{10}\)
  11. Za kot \(\alpha\) velja:  \(\cos\alpha=-\frac{7}{9}\),  \(0\lt\alpha\lt\pi\). Izračunaj \(\cos2\alpha\). Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(\cos2\alpha=\frac{17}{81}\)
  12. Za topi kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{11}{14}\). Izračunaj \(\sin(\alpha-60^\circ)\). Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(\cdots=\frac{13}{14}\)
  13. Za ostra kota \(\alpha\) in \(\beta\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\),  \(\sin\beta=\frac{2}{7}\). Dokaži, da je vrednost izraza \(\cos(\alpha-\beta)\) enaka \(\frac{8\sqrt{5}}{21}\).
    Rešitev:    \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{2}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{7}+\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{2}{7}=\frac{8\sqrt{5}}{21}\)
  14. Za topi kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{3\sqrt{7}}{8}\). Izračunaj \(\sin\frac{\alpha}{2}\).
    Rešitev:    \(\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4}\)

Faktorizacija in razčlenjevanje

  1. Faktoriziraj in poenostavi:

    (a)    \(\cos7\alpha+\cos5\alpha\)

    (b)    \(\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})-\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\cos6\alpha \cos\alpha\),     (b)  \(\cdots=\sqrt{2}\,\cos\alpha\)
  2. Faktoriziraj in poenostavi:

    (a)    \({\displaystyle\frac{\sin2x-\sin x}{\cos 2x+\cos x}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\sin x-\sin(x+20^\circ)}{\cos(x+20^\circ)-\cos x}}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{\cos(60^\circ+x)-\cos(120^\circ-3x)}{2\cos x}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\tan\frac{x}{2}\),     (b)  \(\cdots=\cot(x+10^\circ)\),     (c)  \(\cdots=-\sin(2x-30^\circ)\)
  3. Faktoriziraj in poenostavi:

    (a)    \({\displaystyle\frac{\frac{1}{2}+\cos 2x}{\cos (x-30^\circ)}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{2\sin x-\sqrt{2}}{2\cos x+\sqrt{2}}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\cos(x+30^\circ)\),     (b)  \(\cdots=\tan(\frac{x-45^\circ}{2})\)
  4. Faktoriziraj in poenostavi:

    (a)    \({\displaystyle\frac{\sin x+\cos(x-\frac{\pi}{6})}{\sin x+\sin(x-\frac{2\pi}{3})}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\sin(5x+30^\circ)+\cos x}{\cos 4x +\cos(60^\circ-2x)}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\sqrt{3}\,\cot(x-\frac{\pi}{3})\),     (b)  \(\cdots=2\sin(x+30^\circ)\)
  5. Faktoriziraj in poenostavi:

    (a)    \(\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\sin 2x+2\sin 3x+\sin 4x}{4\sin 3x}}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{1+\cos x+\cos 2x}{\cos(\frac{3x-60^\circ}{2})+\cos(\frac{x+60^\circ}{2})}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=4\cos 4x \cos(x+30^\circ) \cos(x-30^\circ)\),     (b)  \(\cdots=\cos^2\frac{x}{2}\),     (c)  \(\cdots=2\cos(\frac{x+60^\circ}{2})\)
  6. Razčleni (preoblikuj v obliko vsote):

    (a)    \(\cos7x \cos2x\)

    (b)    \(\sin5x \sin3x\)

    (c)    \(\sin3x \cos2x\)

    (d)    \(\cos5x \sin2x\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{1}{2}\cos9x+\frac{1}{2}\cos5x\),     (b)  \(\cdots=-\frac{1}{2}\cos8x+\frac{1}{2}\cos2x\),     (c)  \(\cdots=\frac{1}{2}\sin5x+\frac{1}{2}\sin x\),     (d)  \(\cdots=\frac{1}{2}\sin7x-\frac{1}{2}\sin3x\)
  7. Najprej razčleni, potem pa faktoriziraj:

    (a)    \(\sin7x \cos3x-\sin5x \cos x\)

    (b)    \(\sin6x \sin x+\cos5x \cos2x\)

    (c)    \(\sin6x \sin4x-\sin3x \sin x\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\sin2x \cos8x\),     (b)  \(\cdots=\cos4x \cos x\),     (c)  \(\cdots=\sin7x \sin3x\)
  8. Dokaži, da naslednje enakosti veljajo za vsak \(x\in\mathbb{R}\), za katerega sta leva in desna stran enakosti obe definirani:

    (a)    \({\displaystyle\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\tan(x-45^\circ)}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\sin x+\cos x}{\sin(x-15^\circ)+\cos(x+15^\circ)}=\sqrt{2}}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x}{\cos x}=4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}}\)


Powered by MathJax
Domov

 Domov