Geometrijski liki in telesa

Razreševanje trikotnika

1. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke: \(a=11~\mathrm{cm},~c=24~\mathrm{cm},~ \beta=120^\circ\). Izračunaj, koliko meri stranica \(b\).
   Rešitev:    \(b=31~\mathrm{cm}\)
2. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke: \(a=9~\mathrm{cm},~b=13~\mathrm{cm},~ \gamma=55^\circ\). Izračunaj kota \(\alpha\) in \(\beta\). Zapiši ju v stopinjah in minutah.
   Rešitev:    \(\alpha\doteq43^\circ15',~ \beta\doteq81^\circ45'\)
3. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima kota \(\alpha=35^\circ,~ \gamma=48^\circ\) in stranico \(c=19~\mathrm{cm}\). Izračunaj stranici \(a\) in \(b\) (na štiri mesta natančno).
   Rešitev:    \(a\doteq14,\!66~\mathrm{cm},~ b\doteq25,\!38~\mathrm{cm}\)
4. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima stranici \(a=23~\mathrm{cm},~ b=17~\mathrm{cm}\) in kot \(\alpha=74^\circ\). Izračunaj kota \(\beta\) in \(\gamma\). Zapiši ju v stopinjah in minutah.
   Rešitev:    \(\beta\doteq45^\circ17',~ \gamma\doteq60^\circ43'\)
5. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima stranici \(a=7~\mathrm{cm},~ b=9~\mathrm{cm}\) in kot \(\alpha=32^\circ\). Izračunaj kota \(\beta\) in \(\gamma\) (v stopinjah in minutah) in stranico \(c\) (na štiri mesta natančno). Zapiši obe rešitvi.
   Rešitev:    (1)  \(\beta_1\doteq42^\circ57',~ \gamma_1\doteq105^\circ3',~ c_1\doteq12,\!76~\mathrm{cm}\),     (2)  \(\beta_2\doteq137^\circ3',~ \gamma_2\doteq10^\circ57',~ c_2\doteq2,\!509~\mathrm{cm}\)
6. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima stranici \(a=9~\mathrm{cm},~ b=16~\mathrm{cm}\) in težiščnico \(t_b=11~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko meri stranica \(c\).
   Rešitev:    \(c=17~\mathrm{cm}\)
7. Trikotnik \(\triangle ABC\) je podan s podatki: \(a=11~\mathrm{cm},~ b=17~\mathrm{cm},~ v_c=10~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko meri kot \(\gamma\) in ga zapiši v stopinjah in minutah. Navedi vse možne rešitve.
   Rešitev:    (1)  \(\gamma_1\doteq78^\circ35'\),     (2)  \(\gamma_2\doteq29^\circ21'\)
8. Paralelogram \(ABCD\) ima stranici \(a=13~\mathrm{cm}\) in \(b=9~\mathrm{cm}\), ena od diagonal pa meri \(e=20~\mathrm{cm}\).
   

   (a)   Izračunaj, koliko meri druga diagonala.

   (b)   Izračunaj ostri kot med diagonalama. Zaokroži ga na tisočinko stopinje.

   Rešitev:    (a)  \(f=10~\mathrm{cm}\)     (b)  \(\varphi\doteq63,\!896^\circ\)
9. Trapez \(ABCD\) ima stranice \(a=25~\mathrm{cm},~ b=13~\mathrm{cm},~ c=11~\mathrm{cm}\) in \(d=15~\mathrm{cm}\).
   

   (a)   Izračunaj najmanjši notranji kot v tem trapezu (zapiši ga v stopinjah in minutah).

   (b)   Izračunaj višino trapeza.

   Rešitev:    (a)  Najmanjši je kot \(\alpha\doteq53^\circ8'\).     (b)  Višina: \(v=12~\mathrm{cm}\).
10. Pravilni devetkotnik je včrtan v krožnico z radijem \(10~\mathrm{cm}\).
    

    (a)   Koliko diagonal ima ta devetkotnik?

    (b)   Izračunaj dolžine vseh diagonal.

    (c)   Ugotovi, za koliko procentov je najdaljša diagonala krajša od premera devetkotniku očrtane krožnice.

    Rešitev:    (a)  Ima 27 diagonal.     (b)  Najkrajša: \(d_1\doteq12,\!86~\mathrm{cm}\) (takih diagonal je 9), srednja: \(d_2=10\sqrt{3}~\mathrm{cm}\doteq17,\!32~\mathrm{cm}\) (takih diagonal je 9), najdaljša: \(d_3\doteq19,\!70~\mathrm{cm}\) (tudi takih diagonal je 9).     (c)  Krajša je za približno \(1,\!52\%\).

Ploščine geometrijskih likov

11. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke: \(b=8~\mathrm{cm},~c=10~\mathrm{cm},~ t_c=7~\mathrm{cm}\). Izračunaj ploščino tega trikotnika.
    Rešitev:    Ploščina je: \(S=20\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2 \doteq 34,\!64~\mathrm{cm}^2\)
12. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima stranici: \(a=13~\mathrm{cm},~c=16~\mathrm{cm}\), ploščina tega trikotnika pa meri \(S=52~\mathrm{cm}^2\). Izračunaj, koliko meri kot \(\beta\). Zapiši obe možni rešitvi.
    Rešitev:    \(\beta_1=30^\circ,~~ \beta_2=150^\circ\)
13. Prvi trikotnik ima stranice: \(a=10~\mathrm{cm},~ b=17~\mathrm{cm},~ c=21~\mathrm{cm}\). Drugi trikotnik je temu podoben, njegov obseg pa meri \(o'=144~\mathrm{cm}\). Izračunaj ploščino drugega trikotnika.
    Rešitev:    \(S'=756~\mathrm{cm}^2\)
14. Pravokotnik ima diagonali \(e=f=18~\mathrm{cm}\). Diagonali oklepata kot \(\varphi=30^\circ\). Izračunaj ploščino tega pravokotnika.
    Rešitev:    \(S=81~\mathrm{cm}^2\)
15. Romb ima kot \(\alpha=78^\circ\) in diagonalo \(f=8~\mathrm{cm}\). Izračunaj obseg in ploščino tega romba (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    \(o\doteq25,\!42~\mathrm{cm},~~ S\doteq39,\!52~\mathrm{cm}^2\)
16. Trapez ima stranice \(a=30~\mathrm{cm},~b=20~\mathrm{cm},~ c=9~\mathrm{cm}\) in \(d=13~\mathrm{cm}\). Izračunaj:
    

    (a)    najmanjši notranji kot (v stopinjah in minutah),

    (b)    višino,

    (c)    ploščino tega trapeza.

    Rešitev:    (a)  Najmanjši je kot \(\beta\doteq36^\circ52'\),     (b)  \(v=12~\mathrm{cm}\),     (c)  \(S=234~\mathrm{cm}^2\)
17. Konveksni deltoid ima stranici \(a=7~\mathrm{cm},~ c=13~\mathrm{cm}\) in diagonalo \(e=12~\mathrm{cm}\). Izračunaj (na štiri mesta natančno) ploščino tega deltoida, če je simetrala deltoida:
    

    (a)    diagonala \(e\),

    (b)    diagonala \(f\).

    Rešitev:    (a)  \(S\doteq83,\!14~\mathrm{cm}^2\),     (b)  \(S\doteq90,\!83~\mathrm{cm}^2\)
18. Pravilnemu dvanajstkotniku s stranico \(a=5~\mathrm{cm}\) očrtamo krog. Izračunaj, za koliko odstotkov je ploščina kroga večja od ploščine dvanajstkotnika. Rezultat zaokroži na dve decimalki.
    Rešitev:    Ploščina kroga je za (približno) \(4,\!72\%\) večja od ploščine dvanajstkotnika.
19. Pravilni večkotnik ima 35 diagonal. Najdaljša diagonala meri \(d=12~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko meri stranica in koliko ploščina tega večkotnika. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    To je 10-kotnik. Stranica: \(a\doteq3,\!708~\mathrm{cm}\),  ploščina: \(S\doteq105,\!8~\mathrm{cm}^2\)
20. Krog ima polmer \(r=17~\mathrm{cm}\). Tetiva z dolžino \(t=16~\mathrm{cm}\) ta krog razdeli na dva dela. Izračunaj ploščino manjšega od teh dveh odsekov. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(S\doteq21,\!60~\mathrm{cm}^2\)

Prostornine in površine geometrijskih teles

21. Pravilna tristrana prizma ima osnovni rob \(a=12~\mathrm{cm}\) in stranski rob \(s=7~\mathrm{cm}\). Izračunaj prostornino in površino te prizme. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    Prostornina: \(V\doteq436,\!5~\mathrm{cm}^3\),  površina: \(P\doteq376,\!7~\mathrm{cm}^2\)
22. Kvader ima robove v razmerju \(a:b:v=6:3:2\). Prostornina tega kvadra meri \(V=4500~\mathrm{cm}^3\). Izračunaj, koliko meri telesna diagonala kvadra.
    Rešitev:    Telesna diagonala: \(D=35~\mathrm{cm}\)
23. Pravilna štiristrana piramida ima osnovni rob \(a=14~\mathrm{cm}\) in višino \(v=24~\mathrm{cm}\). Izračunaj prostornino in površino te piramide.
    Rešitev:    \(V=1568~\mathrm{cm}^3,~~ P=896~\mathrm{cm}^2\)
24. Pokončna štiristrana piramida ima za osnovno ploskev pravokotnik s stranicama \(a=20~\mathrm{cm}\) in \(b=14~\mathrm{cm}\). Višina te piramide meri \(v=24~\mathrm{cm}\). Izračunaj prostornino in površino te piramide.
    Rešitev:    \(V=2240~\mathrm{cm}^3,~~ P=1144~\mathrm{cm}^2\)
25. Pravilna tristrana piramida ima osnovni rob \(a=24~\mathrm{cm}\) in stranski rob \(s=37~\mathrm{cm}\). Izračunaj prostornino in površino te piramide. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(V\doteq2852~\mathrm{cm}^3,~~ P\doteq1509~\mathrm{cm}^2\)
26. Pravilna devetstrana piramida ima osnovni rob \(a=1,\!8~\mathrm{dm}\) in stranski rob \(s=4,\!1~\mathrm{dm}\). Izračunaj prostornino in površino te piramide. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(V\doteq20,\!99~\mathrm{dm}^3,~~ P\doteq52,\!43~\mathrm{dm}^2\)
27. Pravilna šeststrana piramida ima osnovni rob \(a=16~\mathrm{cm}\) in višino \(v=15~\mathrm{cm}\). Izračunaj (v stopinjah in minutah):
    

    (a)    kot med stranskim robom in osnovno ploskvijo,

    (b)    kot med stransko ploskvijo in osnovno ploskvijo.

    Rešitev:    (a)  \(\varphi\doteq43^\circ9'\),     (b)  \(\psi\doteq47^\circ16'\)
28. Štiristrana piramida ima za osnovno ploskev pravokotnik s podatki: \(a=35~\mathrm{cm}\), \(b=10~\mathrm{cm}\). Vrh piramide leži v višini \(v=12~\mathrm{cm}\) nad razpoloviščem stranice \(b=BC\) (glej sliko). Izračunaj:
    

    (a)    prostornino in površino te piramide,

    (b)    kot med stransko ploskvijo \(ADV\) in osnovno ploskvijo,

    (c)    kot med robom \(VA\) in robom \(VB\).

    Oba kota zapiši v stopinjah in minutah.

    Rešitev:    (a)  \(V=1400~\mathrm{cm}^3,~ P=1050~\mathrm{cm}^2\),     (b)  \(\psi\doteq18^\circ55'\),     (c)  \(\alpha\doteq69^\circ37'\)
29. Izračunaj kot med dvema sosednjima ploskvama v pravilnem oktaedru. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq109^\circ28'\)
30. Valj s polmerom \(r=4~\mathrm{cm}\) in višino \(v=14~\mathrm{cm}\) ima enako površino kot krogla. Izračunaj prostornino valja in prostornino krogle.
    Rešitev:    Valj: \(V_\mathrm{v}=224\pi~\mathrm{cm}^3\doteq703,\!7~\mathrm{cm}^3\),   krogla: \(V_\mathrm{k}=288\pi~\mathrm{cm}^3\doteq904,\!8~\mathrm{cm}^3\)
31. Valj ima površino \(P=800~\mathrm{cm}^2\), ploščina osnega preseka tega valja pa meri \(S=200~\mathrm{cm}^2\). Izračunaj prostornino tega valja. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(V\doteq1642~\mathrm{cm}^3\)
32. Stožec ima višino \(v=16~\mathrm{cm}\), stranica tega stožca pa je za \(2,\!5\%\) daljša od višine. Izračunaj prostornino in površino tega stožca. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(V\doteq217,\!1~\mathrm{cm}^3,~~ P\doteq226,\!2~\mathrm{cm}^2\)
33. Krožni izsek s polmerom \(21~\mathrm{cm}\) in središčnim kotom \(120^\circ\) zvijemo v plašč stožca. Nato dodamo še primerno osnovno ploskev in sestavimo stožec. Izračunaj:
    

    (a)    polmer tega stožca,

    (b)    višino tega stožca (na štiri mesta),

    (c)    prostornino tega stožca (na štiri mesta),

    (d)    kot pri vrhu osnega preseka (v stopinjah in minutah).

    Rešitev:    (a)  \(r=7~\mathrm{cm}\),     (b)  \(v\doteq19,\!80~\mathrm{cm}\),     (c)  \(V\doteq1016~\mathrm{cm}^3\),     (d)  \(\alpha\doteq38^\circ57'\)
34. Trikotnik ima stranice \(a=13~\mathrm{cm},~ b=15~\mathrm{cm}\) in \(c=14~\mathrm{cm}\). Ta trikotnik zavrtimo za \(360^\circ\) okoli stranice \(c\), tako da dobimo rotacijsko telo. Izračunaj prostornino in površino tega telesa (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    \(V\doteq2111~\mathrm{cm}^3,~ P\doteq1056~\mathrm{cm}^2\)
35. Pravilna enakoroba šeststrana prizma ima prostornino en liter \((V=1\,\ell)\). Izračunaj osnovni rob te prizme (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    \(a\doteq7,\!274~\mathrm{cm}\)
36. Pravilna enakoroba petstrana piramida ima prostornino \(V=1\,\ell\). Izračunaj rob in višino te piramide (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    \(a\doteq14,\!91~\mathrm{cm},~ v\doteq7,\!840~\mathrm{cm}\)
37. Enakostranični stožec ima prostornino \(V=1\,\ell\). Izračunaj polmer osnovne ploskve in višino tega stožca (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    \(r\doteq8,\!200~\mathrm{cm},~ v\doteq14,\!20~\mathrm{cm}\)
38. V kocko postavimo pravilni oktaeder tako, da ležijo oglišča oktaedra v središčih mejnih ploskev kocke. Izračunaj, kolikšen del prostornine kocke zaseda ta oktaeder.
    Namig:    Za lažje računanje lahko privzameš, da je rob kocke 1 enota.
    Rešitev:    Oktaeder zaseda \(\frac{1}{6}\) prostornine kocke \((V_\mathrm{o} : V_\mathrm{k} = 1:6)\).
39. V enakostranični stožec včrtamo kroglo. Izračunaj razmerje med prostornino stožca in prostornino krogle.
    Rešitev:    \(V_\mathrm{s} : V_\mathrm{k} = 9:4\)
40. Kocki očrtamo in včrtamo kroglo. Izračunaj razmerje med površino očrtane in površino včrtane krogle.
    Rešitev:    \(P_\mathrm{o}:P_\mathrm{v}=3\)

 Domov