Geometrijski liki in telesa

Ploščine geometrijskih likov

1. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima podatke: $b=8\mathrm{cm},c=10\mathrm{cm},t_c=7\mathrm{cm}$. Izračunaj ploščino tega trikotnika.
   Rešitev:    Ploščina je: $S=20\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2\doteq 34,64{\mathrm{cm}}^2$
2. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima stranici: $a=13\mathrm{cm},c=16\mathrm{cm}$, ploščina tega trikotnika pa meri $S=52{\mathrm{cm}}^2$. Izračunaj, koliko meri kot $\beta$. Zapiši obe možni rešitvi.
   Rešitev:    ${\beta }_1={30}^{\circ },{\beta }_2={150}^{\circ }$
3. Prvi trikotnik ima stranice: $a=10\mathrm{cm},b=17\mathrm{cm},c=21\mathrm{cm}$. Drugi trikotnik je temu podoben, njegov obseg pa meri $o^{\prime }=144\mathrm{cm}$. Izračunaj ploščino drugega trikotnika.
   Rešitev:    $S^{\prime }=756{\mathrm{cm}}^2$
4. Pravokotnik ima diagonali $e=f=18\mathrm{cm}$. Diagonali oklepata kot $\phi ={30}^{\circ }$. Izračunaj ploščino tega pravokotnika.
   Rešitev:    $S=81{\mathrm{cm}}^2$
5. Romb ima kot $\alpha ={78}^{\circ }$ in diagonalo $f=8\mathrm{cm}$. Izračunaj obseg in ploščino tega romba (na štiri mesta natančno).
   Rešitev:    $o\doteq 25,42\mathrm{cm},S\doteq 39,52{\mathrm{cm}}^2$
6. Trapez ima stranice $a=30\mathrm{cm},b=20\mathrm{cm},c=9\mathrm{cm}$ in $d=13\mathrm{cm}$. Izračunaj:
   

   (a)    najmanjši notranji kot (v stopinjah in minutah),

   (b)    višino,

   (c)    ploščino tega trapeza.

   Rešitev:    (a)  Najmanjši je kot $\beta \doteq {36}^{\circ }{52}^{\prime }$,     (b)  $v=12\mathrm{cm}$,     (c)  $S=234{\mathrm{cm}}^2$
7. Konveksni deltoid ima stranici $a=7\mathrm{cm},c=13\mathrm{cm}$ in diagonalo $e=12\mathrm{cm}$. Izračunaj (na štiri mesta natančno) ploščino tega deltoida, če je simetrala deltoida:
   

   (a)    diagonala $e$,

   (b)    diagonala $f$.

   Rešitev:    (a)  $S\doteq 83,14{\mathrm{cm}}^2$,     (b)  $S\doteq 90,83{\mathrm{cm}}^2$
8. Pravilnemu dvanajstkotniku s stranico $a=5\mathrm{cm}$ očrtamo krog. Izračunaj, za koliko odstotkov je ploščina kroga večja od ploščine dvanajstkotnika. Rezultat zaokroži na dve decimalki.
   Rešitev:    Ploščina kroga je za (približno) $4,72\mathrm{\%}$ večja od ploščine dvanajstkotnika.
9. Pravilni večkotnik ima 35 diagonal. Najdaljša diagonala meri $d=12\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko meri stranica in koliko ploščina tega večkotnika. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    To je 10-kotnik. Stranica: $a\doteq 3,708\mathrm{cm}$,  ploščina: $S\doteq 105,8{\mathrm{cm}}^2$
10. Krog ima polmer $r=17\mathrm{cm}$. Tetiva z dolžino $t=16\mathrm{cm}$ ta krog razdeli na dva dela. Izračunaj ploščino manjšega od teh dveh odsekov. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $S\doteq 21,60{\mathrm{cm}}^2$

Prostornine in površine geometrijskih teles

11. Pravilna tristrana prizma ima osnovni rob $a=12\mathrm{cm}$ in stranski rob $s=7\mathrm{cm}$. Izračunaj prostornino in površino te prizme. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    Prostornina: $V\doteq 436,5{\mathrm{cm}}^3$,  površina: $P\doteq 376,7{\mathrm{cm}}^2$
12. Kvader ima robove v razmerju $a:b:v=6:3:2$. Prostornina tega kvadra meri $V=4500{\mathrm{cm}}^3$. Izračunaj, koliko meri telesna diagonala kvadra.
    Rešitev:    Telesna diagonala: $D=35\mathrm{cm}$
13. Pravilna štiristrana piramida ima osnovni rob $a=14\mathrm{cm}$ in višino $v=24\mathrm{cm}$. Izračunaj prostornino in površino te piramide.
    Rešitev:    $V=1568{\mathrm{cm}}^3,P=896{\mathrm{cm}}^2$
14. Pokončna štiristrana piramida ima za osnovno ploskev pravokotnik s stranicama $a=20\mathrm{cm}$ in $b=14\mathrm{cm}$. Višina te piramide meri $v=24\mathrm{cm}$. Izračunaj prostornino in površino te piramide.
    Rešitev:    $V=2240{\mathrm{cm}}^3,P=1144{\mathrm{cm}}^2$
15. Pravilna tristrana piramida ima osnovni rob $a=24\mathrm{cm}$ in stranski rob $s=37\mathrm{cm}$. Izračunaj prostornino in površino te piramide. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $V\doteq 2852{\mathrm{cm}}^3,P\doteq 1509{\mathrm{cm}}^2$
16. Pravilna devetstrana piramida ima osnovni rob $a=1,8\mathrm{dm}$ in stranski rob $s=4,1\mathrm{dm}$. Izračunaj prostornino in površino te piramide. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $V\doteq 20,99{\mathrm{dm}}^3,P\doteq 52,43{\mathrm{dm}}^2$
17. Pravilna šeststrana piramida ima osnovni rob $a=16\mathrm{cm}$ in višino $v=15\mathrm{cm}$. Izračunaj (v stopinjah in minutah):
    

    (a)    kot med stranskim robom in osnovno ploskvijo,

    (b)    kot med stransko ploskvijo in osnovno ploskvijo.

    Rešitev:    (a)  $\phi \doteq {43}^{\circ }{9}^{\prime }$,     (b)  $\psi \doteq {47}^{\circ }{16}^{\prime }$
18. Štiristrana piramida ima za osnovno ploskev pravokotnik s podatki: $a=35\mathrm{cm}$, $b=10\mathrm{cm}$. Vrh piramide leži v višini $v=12\mathrm{cm}$ nad razpoloviščem stranice $b=BC$ (glej sliko). Izračunaj:
    

    (a)    prostornino in površino te piramide,

    (b)    kot med stransko ploskvijo $ADV$ in osnovno ploskvijo,

    (c)    kot med robom $VA$ in robom $VB$.

    Oba kota zapiši v stopinjah in minutah.

    Rešitev:    (a)  $V=1400{\mathrm{cm}}^3,P=1050{\mathrm{cm}}^2$,     (b)  $\psi \doteq {18}^{\circ }{55}^{\prime }$,     (c)  $\alpha \doteq {69}^{\circ }{37}^{\prime }$
19. Izračunaj kot med dvema sosednjima ploskvama v pravilnem oktaedru. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {109}^{\circ }{28}^{\prime }$
20. Valj s polmerom $r=4\mathrm{cm}$ in višino $v=14\mathrm{cm}$ ima enako površino kot krogla. Izračunaj prostornino valja in prostornino krogle.
    Rešitev:    Valj: $V_v=224\pi {\mathrm{cm}}^3\doteq 703,7{\mathrm{cm}}^3$,   krogla: $V_k=288\pi {\mathrm{cm}}^3\doteq 904,8{\mathrm{cm}}^3$
21. Valj ima površino $P=800{\mathrm{cm}}^2$, ploščina osnega preseka tega valja pa meri $S=200{\mathrm{cm}}^2$. Izračunaj prostornino tega valja. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $V\doteq 1642{\mathrm{cm}}^3$
22. Stožec ima višino $v=16\mathrm{cm}$, stranica tega stožca pa je za $2,5\mathrm{\%}$ daljša od višine. Izračunaj prostornino in površino tega stožca. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $V\doteq 217,1{\mathrm{cm}}^3,P\doteq 226,2{\mathrm{cm}}^2$
23. Krožni izsek s polmerom $21\mathrm{cm}$ in središčnim kotom ${120}^{\circ }$ zvijemo v plašč stožca. Nato dodamo še primerno osnovno ploskev in sestavimo stožec. Izračunaj:
    

    (a)    polmer tega stožca,

    (b)    višino tega stožca (na štiri mesta),

    (c)    prostornino tega stožca (na štiri mesta),

    (d)    kot pri vrhu osnega preseka (v stopinjah in minutah).

    Rešitev:    (a)  $r=7\mathrm{cm}$,     (b)  $v\doteq 19,80\mathrm{cm}$,     (c)  $V\doteq 1016{\mathrm{cm}}^3$,     (d)  $\alpha \doteq {38}^{\circ }{57}^{\prime }$
24. Trikotnik ima stranice $a=13\mathrm{cm},b=15\mathrm{cm}$ in $c=14\mathrm{cm}$. Ta trikotnik zavrtimo za ${360}^{\circ }$ okoli stranice $c$, tako da dobimo rotacijsko telo. Izračunaj prostornino in površino tega telesa (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    $V\doteq 2111{\mathrm{cm}}^3,P\doteq 1056{\mathrm{cm}}^2$
25. Pravilna enakoroba šeststrana prizma ima prostornino en liter $(V=1\ell )$. Izračunaj osnovni rob te prizme (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    $a\doteq 7,274\mathrm{cm}$
26. Pravilna enakoroba petstrana piramida ima prostornino $V=1\ell$. Izračunaj rob in višino te piramide (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    $a\doteq 14,91\mathrm{cm},v\doteq 7,840\mathrm{cm}$
27. Enakostranični stožec ima prostornino $V=1\ell$. Izračunaj polmer osnovne ploskve in višino tega stožca (na štiri mesta natančno).
    Rešitev:    $r\doteq 8,200\mathrm{cm},v\doteq 14,20\mathrm{cm}$
28. V kocko postavimo pravilni oktaeder tako, da ležijo oglišča oktaedra v središčih mejnih ploskev kocke. Izračunaj, kolikšen del prostornine kocke zaseda ta oktaeder.
    Namig:    Za lažje računanje lahko privzameš, da je rob kocke 1 enota.
    Rešitev:    Oktaeder zaseda $\frac{1}{6}$ prostornine kocke $(V_o:V_k=1:6)$.
29. V enakostranični stožec včrtamo kroglo. Izračunaj razmerje med prostornino stožca in prostornino krogle.
    Rešitev:    $V_s:V_k=9:4$
30. Kocki očrtamo in včrtamo kroglo. Izračunaj razmerje med površino očrtane in površino včrtane krogle.
    Rešitev:    $P_o:P_v=3$

 Domov