Racionalna in realna števila

1. Izračunaj in rezultate zapiši kot okrajšane ulomke:
   

   (a)   \({\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2- \left(\frac{5}{21}-\frac{3}{28}\right)\cdot\frac{7}{3}}\)

   (b)   \({\displaystyle\left(\frac{23}{24}-\frac{17}{36}\right) \left(\frac{20}{50}+\frac{22}{77}\right)+\frac{1}{6}}\)

   (c)   \({\displaystyle\frac{3-\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{3}}: \left(\frac{2}{~\frac{3}{4}~}-\frac{~\frac{1}{3}~}{2}\right)}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{2}{9}\),     (b)  \(\cdots=\frac{1}{2}\),     (c)  \(\cdots=\frac{3}{5}\)
2. Izračunaj števila \(a,~ b\) in \(c\) in jih uredi po velikosti od najmanjšega do največjega:
   

   \(a=1:(2:3)-(1:2):3-(2\cdot2):(2+2)\)

   \(b={\displaystyle\frac{5\frac{3}{4}}{5\frac{1}{4}}- \frac{\frac{4}{12}}{\frac{5}{10}}}\)

   \(c={\displaystyle\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{8}}}}\)

   Rešitev:    \(a=\frac{1}{3}=\frac{14}{42},~ b=\frac{3}{7}=\frac{18}{42},~ c=\frac{17}{42};~~~~ a\lt c\lt b\)
3. Naslednja decimalna števila zapiši kot okrajšane ulomke:
   

   (a)   \(1,\!975\)

   (b)   \(2,\!\overline{432}\)

   (c)   \(1,\!6\overline{54}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{79}{40}\),     (b)  \(\cdots=\frac{90}{37}\),     (c)  \(\cdots=\frac{91}{55}\)
4. Izračunaj in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek:
   

   (a)   \({\displaystyle\left(0,\!\overline{189}\cdot\frac{37}{3}-1\right)^{-1}}\)

   (b)   \({\displaystyle\frac{0,\!\overline{740}+2\cdot3^{-3}}{4,\!4\cdot10^{-4}}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{3}{4}\),     (b)  \(\cdots=\frac{50000}{27}\)
5. Izračunaj (rezultati naj bodo točni):
   

   (a)   \((1+\sqrt{5}\,)(3-\sqrt{5}\,)+(2-\sqrt{5}\,)\)

   (b)   \((4+\sqrt{2}\,)^2-(3+2\sqrt{2}\,)^2\)

   (c)   \({\displaystyle\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right)^3}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\sqrt{5}\),     (b)  \(\cdots=1-4\sqrt{2}\),     (c)  \(\cdots=\frac{\sqrt{3}}{9}\)
6. Dana so števila \(a=3.57662\cdot10^{14},~ b=(2+\sqrt{53}\,)^{-1}\) in \(c=0.0\overline{2}\). Izračunaj, koliko je \(\frac{\textstyle a}{\textstyle b+c}\). Rezultat zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    \(\frac{a}{b+c}\doteq 2.752\cdot10^{15}\)
7. Dana sta intervala \(A=[0,5)\) in \(B=[-1,3]\). Zapiši kot intervale naslednje množice:
   

   (a)   \(A\cup B\)

   (b)   \(A\cap B\)

   (c)   \(A\setminus B\)

   Rešitev:    (a)  \(A\cup B=[-1,5)\),     (b)  \(A\cap B=[0,3]\),     (c)  \(A\setminus B=(3,5)\)
8. Podani so intervali \(A=(-2,6),~ B=[1,4]\) in \(C=\left[\frac{5}{2},\infty\right)\). Zapiši kot interval množico \(M=(A\setminus B)\cap C\).
   Rešitev:    \(M=(4,6)\)
9. Reši naslednje enačbe:
   

   (a)   \({\displaystyle\frac{4x+3}{2}= \frac{x}{4}+4x}\)

   (b)   \({\displaystyle x-\frac{2x+5}{6}=\frac{1}{2}(x+3)}\)

   (c)   \({\displaystyle\frac{2x+5}{2}\cdot\left(x-\frac{1}{7}\right)=x^2+\frac{3}{7}}\)

   Rešitev:    (a)  \(x=\frac{2}{3}\),     (b)  \(x=14\),     (c)  \(x=\frac{1}{3}\)
10. Reši naslednje neenačbe:
    

    (a)   \({\displaystyle\frac{x+1}{3} \gt 1-\frac{x-2}{6}}\)

    (b)   \({\displaystyle\frac{1}{9}\,x^2-\frac{x-1}{2} \geqslant \left(\frac{x+2}{3}\right)^2}\)

    (c)   \({\displaystyle\frac{(2x+1)^2}{4}\leqslant x^2+\frac{2x-7}{2}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x \gt 2\),     (b)  \(x \leqslant \frac{1}{17}\),     (c)  neenačba nima rešitve
11. Reši naslednje neenačbe in zapiši množice rešitev kot intervale:
    

    (a)   \((x-1)(x+2) \gt (x-2)x+1\)

    (b)   \({\displaystyle\frac{x^2}{3}-\frac{x^2-2}{5}\leqslant\frac{2x}{3}\cdot\frac{x-3}{5}}\)

    (c)   \({\displaystyle\left(x+\frac{1}{2}\right)^3-x^3 \geqslant \frac{3x}{2}\cdot\frac{2x+1}{2}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x\in(1,\infty)\),     (b)  \(x\in(-\infty,-1]\),     (c)  \(x\in(-\infty,\infty)\)
12. Okrajšaj izraze:
    

    (a)   \({\displaystyle\frac{a^3b^5c}{(abc)^2}}\)

    (b)   \({\displaystyle\frac{x^3-x^2}{x^3-x}}\)

    (c)   \({\displaystyle\frac{u^2-5u+6}{u^3-3u^2-4u+12}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{ab^3}{c}\),     (b)  \(\cdots=\frac{x}{x+1}\),     (c)  \(\cdots=\frac{1}{u+2}\)
13. Poenostavi izraze:
    

    (a)   \({\displaystyle\frac{x^2-xy}{x^3+2x^2}\cdot\frac{x^2y+2xy}{xy+y^2}}\)

    (b)   \({\displaystyle\frac{m^2-n^2}{2m^3+2mn^2}:\frac{m-n}{m^2+n^2}}\)

    (c)   \({\displaystyle\frac{u+6+\frac{9}{u}}{u-\frac{9}{u}}\cdot(2u-6)}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{x-y}{x+y}\),     (b)  \(\cdots=\frac{m+n}{2m}\),     (c)  \(\cdots=2u+6\)
14. Poenostavi izraze:
    

    (a)   \({\displaystyle\frac{1}{6x}+\frac{3}{4y}}\)

    (b)   \({\displaystyle\frac{1}{a^2-2a}-\frac{1}{a^2-4}}\)

    (c)   \({\displaystyle\frac{p+1}{p-4}-\frac{p^2+4}{p^2-4p}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{9x+2y}{12xy}\),     (b)  \(\cdots=\frac{2}{a(a-2)(a+2)}\),     (c)  \(\cdots=\frac{1}{p}\)
15. Poenostavi izraz:   \({\displaystyle\left(\frac{3}{x^2+x}+\frac{1}{2x+2}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x+6}}\)
    Rešitev:    \(\cdots=\frac{x-1}{2x}\)
16. Poenostavi izraz:   \({\displaystyle\frac{a}{a^2+a-2} + \frac{a-3}{a^2-5a+4} - \frac{a-2}{a^2-2a-8}}\)
    Rešitev:    \(\cdots=\frac{1}{a-1}\)
17. Poenostavi izraz:   \({\displaystyle\frac{1+(x-1)^{-1}}{(x-1)^{-1}-1}\cdot\frac{4-x^2}{x}}\)
    Rešitev:    \(\cdots=x+2\)
18. Poenostavi izraz:   \({\displaystyle\left(\frac{1-x^{-3}}{x^3-1}\right)^{-1}}\)
    Rešitev:    \(\cdots=x^3\)
19. Poenostavi izraz:   \({\displaystyle \left(a^{-2}-b^{-2}\right)\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^{-1}}\)
    Rešitev:    \(\cdots=\frac{a+b}{ab}\)
20. Reši enačbe:
    

    (a)   \({\displaystyle\frac{x+2}{x-1}=\frac{5}{2}}\)

    (b)   \({\displaystyle\frac{x-1}{x-4}=\frac{6}{2x-8}}\)

    (c)   \({\displaystyle\frac{x^2}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}}\)

    (d)   \({\displaystyle\frac{4x}{x^2-2x-3}=\frac{1}{x+1}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=3\),     (b)  enačba ni rešljiva,     (c)  \(x=-1\),     (d)  enačba ni rešljiva
21. Reši enačbo:   \({\displaystyle \frac{1}{x+4} + \frac{2}{x^2+9x+20} = \frac{x + 1}{x^2+4x}}\)
    Rešitev:    \(x=5\)
22. Reši enačbo:   \(x\,(x+4)^{-1}=4\,(x^{-1}+4^{-1})\)
    Rešitev:    \(x=-2\)
23. Reši enačbo:   \({\displaystyle \frac{1}{x}\cdot\frac{1-x^2}{x-1}=1-\frac{x-2}{x}}\)
    Rešitev:    \(x=-3\)
24. Reši enačbo:   \({\displaystyle \frac{x-0,\!1}{x-0,\!2}=\frac{x+0,\!\overline{1}}{x+0,\!\overline{2}}}\)
    Rešitev:    \(x=0\)
25. Reši enačbo:   \({\displaystyle \frac{2}{3x-6}+\frac{1}{4-2x}=\frac{2}{x^2-4}}\)
    Rešitev:    \(x=10\)
26. V omrežju Mobyfon stane ena ura telefonskih pogovorov 2,40 €. Izračunaj:
    

    (a)   Koliko stane ena minuta pogovora?

    (b)   Koliko stane ena ura in 20 minut pogovora?

    (c)   Koliko časa lahko telefoniraš za 1 evro?

    Rešitev:    (a)  0,04 €,     (b)  3,20 €,     (c)  25 minut
27. V razredu je 30 učencev, od teh je 20% negativnih. Med pozitivnimi učenci je ena šestina zadostnih, ena tretjina dobrih, tri osmine prav dobrih, ostali pa so odlični. Izračunaj število odličnih učencev.
    Rešitev:    Odlični so 3 učenci.
28. Razmerje med moškimi in ženskami v razredu je \(3:4\), razmerje med odličnimi, prav dobrimi, dobrimi, zadostnimi in nezadostnimi pa je \(1:2:5:4:2\). Poleg tega vemo, da nobena od žensk ni niti odlična niti nezadostna, pač pa so 3 ženske prav dobre, 6 je dobrih, 7 pa zadostnih. Izračunaj, koliko moških je odličnih, koliko prav dobrih, koliko dobrih, koliko zadostnih in koliko nezadostnih.
    Rešitev:    2 moška sta odlična, 1 moški je prav dober, 4 so dobri, 1 je zadosten, 4 pa so nezadostni.
29. Alenka, Barbara in Cvetka so si razdelile 174 € tako, da je dobila Barbara 10% več kot Alenka, Cvetka pa 20% manj kot Alenka. Izračunaj, koliko je dobila Alenka, koliko Barbara in koliko Cvetka.
    Rešitev:    Alenka je dobila 60 €, Barbara 66 € in Cvetka 48 €.
30. Mobilni telefon Nyokia je stal 80 €. Potem se je podražil za 16%, pozneje pa se je pocenil za 15%. Izračunaj, koliko stane zdaj. Izračunaj tudi, za koliko procentov je zdaj dražji oziroma cenejši kot v začetku.
    Rešitev:    Zdaj stane 78,88 € in je za 1,4% cenejši kot v začetku.
31. Knjiga Matematika za telebane se je podražila za 15%, nato pa še za 20% in zdaj stane 71,76 €. Izračunaj, koliko je stala pred prvo podražitvijo.
    Rešitev:    Stala je 52 €.
32. Mihec zbira sličice Šokemon. Januarja jih je kupil 70, stale pa so po 1,25 € (vsaka). V začetku februarja so se podražile za 12%, zato jih je kupil februarja za 10% manj kot januarja. Izračunaj, koliko evrov več oziroma manj je porabil za sličice februarja (v primerjavi z januarjem)
    Rešitev:    Porabil je 0,70 € več.
33. Izračunaj, koliko procentno raztopino alkohola dobimo, če zmešamo devetdesetprocentni alkohol z vodo v razmerju \(2:7\).
    Rešitev:    Dobimo 20-procentno raztopino.
34. V posodi imamo 220 gramov 95-odstotne kisline. Izračunaj, koliko gramov 60-odstotne kisline moramo dodati,
    

    (a)   da bomo dobili 80-odstotno raztopino kisline,

    (b)   da bomo dobili 85-odstotno raztopino kisline.

    Rešitev:    Dodati moramo:  (a)  165 g,     (b)  88 g   60-odstotne kisline.
35. Poenostavi naslednja izraza. Upoštevaj vse možne vrednosti za spremenljivko \(x\).
    

    (a)   \(x+|x-2|\)

    (b)   \(2x+3-|x+1|\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\left\{\begin{array}{ll} 2x-2; & \mathrm{za~} x\geqslant 2 \cr 2; & \mathrm{za~} x\lt 2 \end{array}\right.\);     (b)  \(\cdots=\left\{\begin{array}{ll} x+2; & \mathrm{za~} x\geqslant -1 \cr 3x+4; & \mathrm{za~} x\lt -1 \end{array}\right.\)
36. Poenostavi naslednja izraza. Upoštevaj vse možne vrednosti za spremenljivko \(x\).
    

    (a)   \(|x-2|+|x+1|\)

    (b)   \(|x|-|x-3|\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\left\{\begin{array}{ll} -2x+1; & \mathrm{za~} x\in(-\infty,-1) \cr 3; & \mathrm{za~} x\in[-1,2) \cr 2x-1; & \mathrm{za~} x\in[2,\infty) \end{array}\right.\);     (b)  \(\cdots=\left\{\begin{array}{ll} -3; & \mathrm{za~} x\in(-\infty,0) \cr 2x-3; & \mathrm{za~} x\in[0,3) \cr 3; & \mathrm{za~} x\in[3,\infty) \end{array}\right.\)
37. Reši enačbe:
    

    (a)   \(|x-3|=2\)

    (b)   \(|x-3|=2x\)

    (c)   \(12-|x-3|=2x-6\)

    (d)   \(1+|x-3|=\frac{1}{3}x-1\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=1,~ x_2=5\);     (b)  \(x=1\);     (c)  \(x=7\);     (d)  enačba nima rešitve
38. Reši enačbo:  \({\displaystyle\frac{x^2+7x-10}{x^2+|x|-2}=1}\)
    Rešitev:    \(x=\frac{4}{3}\)
39. Reši enačbo:  \({\displaystyle\frac{1}{|x-2|-2}=\frac{2x-5}{x^2-4x}}\)
    Rešitev:    \(x=5\)
40. Reši enačbo:  \(\left|x^{-1}-x^{-2}\right|=1-x^{-2}\)
    Rešitev:    \(x_1=-2,~ x_2=1\)
41. Reši enačbo:  \(|2x|+x=\left|\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right|\)
    Rešitev:    \(x_1=-1,~ x_2=\frac{1}{7}\)
42. Reši enačbo:  \(|x-1|+|x-3|=2\)
    Rešitev:    vsak \(x\in [1,3]\)
43. Reši enačbo:  \(\big|3-|x|\big|=\frac{1}{3}x+5\)
    Rešitev:    \(x_1=-6,~ x_2=12\)

 Domov