Naravna in cela števila

Računanje z naravnimi in celimi števili

1. Izračunaj:   \(-\Big(\big(1-(-2)\big)\cdot3-3\Big)(-2)- (-1)\Big(1-2\cdot\big(3-(-3)\big)\Big)\cdot2-1\)
   Rešitev:    \(\cdots=-11\)
2. Izračunaj števila \(a,~ b,~ c,~ d\) in jih uredi po velikosti od najmanjšega do največjega:
   

   \(a=(-1-2)\cdot4-3\cdot(1-(-5))\cdot2\)

   \(b=(-5+2\cdot(7-3)\cdot3+1)\cdot2\)

   \(c=(-5^2)\cdot3+2\cdot(-4)^2\)

   \(d=(-1^4+7)\cdot4+(1-3)^3\cdot3\)

   Rešitev:    \(a=-48,~ b=40,~ c=-43,~ d=0;~~~~ a\lt c\lt d\lt b\)

Matematični izrazi in enačbe

3. Poenostavi naslednje izraze s potencami:
   

   (a)   \(u^3v^5(u^2v^3)^5(-2u)^4(v^3)^5\)

   (b)   \((-1)^{n+1}\cdot(-a^2)(-b)^2\cdot (-1)^{n+2}(-a)^3(-ab^2)^2\)

   (c)   \(\left(2xy(xy^2)^2\right)^2+y^3\cdot(x^2y)^3\cdot(y^2)^2\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=16u^{17}v^{35}\),     (b)  \(\cdots=-a^7b^6\),     (c)  \(\cdots=4x^6y^{10}+x^6y^{10}=5x^6y^{10}\)
4. Razčleni (odpravi oklepaje in zapiši izraz kot vsoto členov):
   

   (a)   \((2x-6)^2\)

   (b)   \((4x-5)^3\)

   (c)   \((x+4)^3-x(x+6)^2\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=4x^2-24x+36\),     (b)  \(\cdots=64x^3 - 240x^2 + 300x - 125\),     (c)  \(\cdots=12x+64\)
5. Razčleni (odpravi oklepaje in zapiši izraz kot vsoto členov):
   

   (a)   \(\big((x+2y)^2+(x-2y)^2 \big)^2\)

   (b)   \(((x+5)^2-x^2 )^2\)

   (c)   \((2x+1)^2-(x-6)^2\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=4x^4 + 32x^2y^2 + 64y^4\),     (b)  \(\cdots=100x^2 + 500x + 625\),     (c)  \(\cdots=3x^2 + 16x - 35\)
6. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   \(2x^4+5x^3\)

   (b)   \(a^3b+a^2b^2+ab^3\)

   (c)   \(m^2n^2+mn^3+mn^2\)

   Namig:    Pomagaj si z izpostavljanjem.
   Rešitev:    (a)  \(\cdots=x^3(2x+5)\),     (b)  \(\cdots=ab(a^2+ab+b^2)\),     (c)  \(\cdots=mn^2(m+n+1)\)
7. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   \(a^2-9\)

   (b)   \(16x^2-25y^2z^4\)

   (c)   \(x^2-(y+2)^2\)

   (d)   \(h^2-8h+16-k^2\)

   Namig:    Uporabi formulo za razliko kvadratov: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
   Rešitev:    (a)  \(\cdots=(a-3)(a+3)\),     (b)  \(\cdots=(4x-5yz^2)(4x+5yz^2)\),     (c)  \(\cdots=(x-y-2)(x+y+2)\),     (d)  \(\cdots=(h-k-4)(h+k-4)\)
8. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   \(a^3-8\)

   (b)   \(27c^3+125d^3\)

   (c)   \((u+3)^3+u^3\)

   Namig:    Uporabi formulo za razliko oziroma vsoto kubov: \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
   Rešitev:    (a)  \(\cdots=(a-2)(a^2+2a+4)\),     (b)  \(\cdots=(3c+5d)(9c^2-15cd+25d^2)\),     (c)  \(\cdots=((u+3)+u)((u+3)^2-(u+3)u+u^2)=(2u+3)(u^2+3u+9)\)
9. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
   

   (a)   \(x^2+6x+8\)

   (b)   \(a^2-2a-15\)

   (c)   \(m^2-32m+60\)

   Namig:    Uporabi Viètovo formulo za razcep: \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
   Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x+2)(x+4)\),     (b)  \(\cdots=(a-5)(a+3)\),     (c)  \(\cdots=(m-2)(m-30)\)
10. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   \(x^3-5x^2-4x+20\)

    (b)   \(x^3-5x^2+4x-20\)

    (c)   \(x^4+3x^3-9x^2-27x\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-5)(x-2)(x+2)\),     (b)  \(\cdots=(x-5)(x^2+4)\),     (c)  \(\cdots=x(x-3)(x+3)^2\)
11. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   \(x^4-10x^2+9\)

    (b)   \(x^4-3x^2-4\)

    (c)   \(x^6-26x^3-27\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\),     (b)  \(\cdots=(x-2)(x+2)(x^2+1)\),     (c)  \(\cdots=(x+1)(x^2-x+1)(x-3)(x^2+3x+9)\)
12. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   \(x^5-2x^4-8x^3+16x^2-9x+18\)

    (b)   \(y^6-2y^5-8y^4+16y^3+16y^2-32y\)

    (c)   \(z^5-2z^4-8z^3-8z^2+16z+64\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-2)(x-3)(x+3)(x^2+1)\),     (b)  \(\cdots=y(y-2)^3(y+2)^2\),     (c)  \(\cdots=(z-4)(z+2)(z-2)(z^2+2z+4)\)
13. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   \(2a^2-6a-20\)

    (b)   \(2b^2+3b-2\)

    (c)   \(6c^2-13c-5\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=2(a-5)(a+2)\),     (b)  \(\cdots=(2b-1)(b+2)\),     (c)  \(\cdots=(2c-5)(3c+1)\)
14. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   \((2x-1)^2-(x-2)^2\)

    (b)   \((3x+1)^2-(x-2)^2\)

    (c)   \(x^2-6x+9-y^2\)

    (d)   \(1-a^2+4ab-4b^2\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=3(x-1)(x+1)\),     (b)  \(\cdots=(4x-1)(2x+3)\),     (c)  \(\cdots=(x+y-3)(x-y-3)\),     (d)  \(\cdots=(a-2b+1)(2b-a+1)\)
15. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   \(8x^3-(x-3)^3\)

    (b)   \((2x-1)^3-(x+2)^3\)

    (c)   \((3x-2)^3+(x+4)^3\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x+3)(7x^2-12x+9)\),     (b)  \(\cdots=(x-3)(7x^2+3x+3)\),     (c)  \(\cdots=14(2x+1)(x^2-2x+4)\)
16. Razstavi naslednje izraze:
    

    (a)   \(x^6-16x^2\)

    (b)   \(x^2-y^2+8y-16\)

    (c)   \(x^3+2x^2-8x+\mu x^2+2\mu x-8\mu\)

    (d)   \(a^2-4b^2+3a-6b\)

    (e)   \((u+2)^3-2(u+7)^2+26\)

    (f)   \(2m^5+9m^4-5m^3+2m^2+9m-5\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=x^2(x-2)(x+2)(x^2+4)\),     (b)  \(\cdots=(x-y+4)(x+y-4)\),     (c)  \(\cdots=(x-2)(x+4)(x+\mu)\),     (d)  \(\cdots=(a-2b)(a+2b+3)\),     (e)  \(\cdots=(u+4)^2(u-4)\),     (f)  \(\cdots=(2m-1)(m+5)(m+1)(m^2-m+1)\)
17. Reši naslednje enačbe:
    

    (a)   \(x^2-4=0\)

    (b)   \(x^3=9x\)

    (c)   \(x^3+8=2x^2+4x\)

    (d)   \(x^4+x^3=20x^2\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=2,~ x_2=-2\),     (b)  \(x_1=3,~ x_2=-3,~ x_3=0\),     (c)  \(x_1=2,~ x_2=-2\),     (d)  \(x_1=0,~ x_2=-5,~ x_3=4\)
18. Reši naslednje enačbe:
    

    (a)   \(x(x^2+3x-4)=12\)

    (b)   \(x(x^2+x-6)=7(x^2+x-6)\)

    (c)   \((x-2)^2=x^5-x^4-5x^3+6x^2\)

    (d)   \((x-3)^3=31x-63\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=2,~ x_2=-2,~ x_3=-3\),     (b)  \(x_1=-3,~ x_2=2,~ x_3=7\),     (c)  \(x_1=-2,~ x_2=-1,~ x_3=1,~ x_4=2\),     (d)  \(x_1=-2,~ x_2=2,~ x_3=9\)

Deljivost

19. Dano je število \(122\,334\). Ugotovi, ali je to število:
    

    (a)   deljivo z 2,

    (b)   deljivo s 3,

    (c)   deljivo s 4,

    (d)   deljivo s 5,

    (e)   deljivo s 6.

    Rešitev:    To število: (a)  je deljivo z 2,     (b)  je deljivo s 3,     (c)  ni deljivo s 4,     (d)  ni deljivo s 5,     (e)  je deljivo s 6
20. Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo:
    

    (a)   51

    (b)   53

    (c)   67

    (d)   87

    Rešitev:    (a)  51 ni praštevilo,     (b)  53 je praštevilo,     (c)  67 je praštevilo,     (d)  87 ni praštevilo
21. Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo. Število, ki ni praštevilo, zapiši kot produkt praštevil.
    

    (a)   577

    (b)   579

    (c)   589

    (d)   599

    Rešitev:    (a)  577 je praštevilo,     (b)  579 ni praštevilo \((579=3\cdot193)\),     (c)  589 ni praštevilo \((589=19\cdot31)\),     (d)  599 je praštevilo
22. Razcepi naslednja števila na prafaktorje:
    

    (a)   980

    (b)   981

    (c)   989

    (d)   990

    Rešitev:    (a)  \(980=2^2\cdot5\cdot7^2\),     (b)  \(981=3^2\cdot109\),     (c)  \(989=23\cdot43\),     (d)  \(990=2\cdot3^2\cdot5\cdot11\)
23. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 702 in 936.
    Rešitev:    \(D=234,~~ v=2808\)
24. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 3696 in 3332.
    Rešitev:    \(D=28,~~ v=439\,824\)
25. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 5054 in 6435.
    Rešitev:    \(D=1,~~ v=32\,522\,490\)   (števili sta tuji)
26. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 7663 in 6557.
    Rešitev:    \(D=79,~~ v=636\,029\)
27. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 8303,  3059 in 3703.
    Rešitev:    \(D=23,~~ v=1\,336\,783\)
28. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 728,  686,  546 in 420.
    Rešitev:    \(D=14,~~ v=535\,080\)
29. Naslednja števila pretvori v šestnajstiški sistem:
    

    (a)   \(1350\)

    (b)   \(9663\)

    (c)   \(1101111001_{[2]}\)

    (d)   \(666_{[7]}\)

    Rešitev:    (a)  \(1350=546_{[16]}\),     (b)  \(9663=25\mathrm{BF}_{[16]}\),     (c)  \(1101111001_{[2]}=379_{[16]}\),     (d)  \(666_{[7]}=156_{[16]}\)
30. Ugotovi, v katerem številskem sistemu velja naslednji račun:    \(24306_{[x]}+12752_{[x]}=37158_{[x]}\)
    Rešitev:    Velja v devetiškem sistemu \((x=9).\)
31. Dokaži, da je število \(A=n+3\) za vsak \(n\in\mathbb{N}\) delitelj števila \(B=n^3+3n^2+2n+6\).
    Rešitev:    \(B=A\cdot (n^2+2)\), torej je \(B\) večkratnik števila \(A\).
32. Dokaži, da je število \(A=2n^3+5n^2-3n\) za vsak \(n\in\mathbb{Z}\) večkratnik števila \(B=n^2+3n\).
    Rešitev:    \(A=B\cdot (2n-1)\)
33. Dokaži, da za \(\forall n\in\mathbb{Z}\) velja:
    

    (a)   \(n^2+n-6~|~n^3+3n^2-4n-12\)

    (b)   \(4n+4~|~9n^2-(n-2)^2\)

    (c)   \(3n^2+3n+1~|~(2n+1)^3+(n+1)^3\)

    Rešitev:    (a)  \(n^3+3n^2-4n-12=(n^2+n-6)(n+2)\),     (b)  \(9n^2-(n-2)^2=(4n+4)(2n-1)\),     (c)  \((2n+1)^3+(n+1)^3=(3n^2+3n+1)(3n+2)\)
34. Dokaži, da je razlika kvadratov dveh zaporednih lihih števil vedno deljiva z 8.
    Rešitev:    Izračunamo: \((2n+1)^2-(2n-1)^2= (4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)=8n\). Rezultat je očitno deljiv z 8
35. Dokaži trditev: Če od kvadrata poljubnega lihega naravnega števila odštejemo 1, je rezultat vedno deljiv z 8.
    Rešitev:    Izračunamo: \((2n-1)^2-1= 4n^2-4n+1-1=4n^2-4n=4n(n-1)\). To število je očitno deljivo s 4. Velja pa celo več: ker se števili \(n\) in \((n-1)\) razlikujeta za 1, je eno od teh dveh števil sodo drugo pa liho. Njun produkt \(n(n-1)\) je vedno sodo število in zato je \(4n(n-1)\) zagotovo deljivo z 8.

 Domov