Naravna in cela števila

1. Izračunaj:
     (a)    \(1+2\cdot(3\cdot 4-5)\)
     (b)    \((9-2\cdot 5)(2\cdot 7-6\cdot 3)\cdot 4-3\cdot 2\)
     (c)    \((-3+2\cdot(-2))\cdot 3-2\cdot(-2\cdot(-3)-1)\)
   Rešitev:    (a) 15,     (b) 10,     (c) −31
2. Izračunaj:
     (a)    \((7-3\cdot4)^2+(5^2-4\cdot7)^3\)
     (b)    \(1+(-2)^2-(-2^4+3^2)((-3)^3-(-2)^5)\)
   Rešitev:    (a) −2,     (b) 40
3. Izračunaj števila \(a,b,c\) in \(d\) in jih uredi po velikosti (od najmanjšega do največjega):
        \(a=-3^2\cdot(-2-(-1))\)
        \(b=(-3)^2\cdot(-2)-(-1)\)
        \(c=(-3^2)(-2\cdot(-1))\)
        \(d=(-3^2-2)\cdot(-1)\)
   Rešitev:    \(a=9,~ b=-17,~ c=-18,~ d=11;~~~~~~ c\lt b\lt a\lt d\)
4. Zapiši matematični izraz, ki ustreza naslednjemu besedilu: Produkt števil  \(a+2b\)   in   \(2a-b\)  zmanjšamo za 7.
   Nato izračunaj vrednost tega izraza za \(a=5,~ b=3\).
   Rešitev:    Izraz:  \((a+2b)(2a-b)-7\).   Za \(a=5,~ b=3\) je vrednost izraza enaka 70.
5. Izračunaj vrednost izraza   \((x^2-3x-1)(-x^2+x)-2x+90\)
     (a)    za \(x=5\)
     (b)    za \(x=-2\)
   Rešitev:    (a) −100,     (b) 40
6. Poenostavi izraz:
     (a)    \(3a^2(ab^2)^3\cdot(2b)^2\)
     (b)    \((2xy^2)^3\big(xy^2(2x)^3\big)^2\)
     (c)    \((x^2y)^3xy^5+(3xy^3)^2x^5y^2\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=12a^5b^8\),     (b) \(\cdots=2^9x^{11}y^{16}=512x^{11}y^{16}\),     (c) \(\cdots=x^7y^8+9x^7y^8=10x^7y^8\)
7. Razčleni (preoblikuj izraz v obliko vsote členov):
     (a)    \((2x-3)(x+2)-x(x-5)\)
     (b)    \((x+5)^2+(2x-3)^2\)
     (c)    \((3x+2)^3\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=x^2+6x-6\),     (b) \(\cdots=5x^2-2x+34\),     (c) \(\cdots=27x^3+54x^2+36x+8\)
8. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev), če se da:
     (a)    \(x^2-4x\)
     (b)    \(x^2-4\)
     (c)    \(x^2+4x\)
     (d)    \(x^2+4\)
     (e)    \(x^2-4x+3\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=x(x-4)\),     (b) \(\cdots=(x-2)(x+2)\),     (c) \(\cdots=x(x+4)\),     (d) \(\cdots=x^2+4\) (izraz ni razcepen),     (e) \(\cdots=(x-3)(x-1)\)
9. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
     (a)    \(x^3-27\)
     (b)    \(x^3+125\)
     (c)    \(x^4+8x\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=(x-3)(x^2+3x+9)\),     (b) \(\cdots=(x+5)(x^2-5x+25)\),     (c) \(\cdots=x(x+2)(x^2-2x+4)\)
10. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
      (a)    \(x^3-7x^2-4x+28\)
      (b)    \(x^3-7x^2+4x-28\)
      (c)    \(x^4+x^3-x^2-x\)
    Rešitev:    (a) \(\cdots=(x-7)(x-2)(x+2)\),     (b) \(\cdots=(x-7)(x^2+4)\),     (c) \(\cdots=x(x-1)(x+1)^2\)
11. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
      (a)    \(x^2+2x-35\)
      (b)    \(x^2-10x-24\)
      (c)    \(x^4+5x^2+4\)
      (d)    \(x^5-5x^3+36x\)
      (e)    \(x^4-x^3-6x^2\)
    Rešitev:    (a) \(\cdots=(x+7)(x-5)\),     (b) \(\cdots=(x+2)(x-12)\),     (c) \(\cdots=(x^2+4)(x^2+1)\),     (d) \(\cdots=x(x-3)(x+3)(x^2+4)\),     (e) \(\cdots=x^2(x-3)(x+2)\)
12. Razcepi (preoblikuj izraz v produkt faktorjev):
      (a)    \(x^5+7x^4-10x^3-70x^2+9x+63\)
      (b)    \(x^5-5x^4+10x^3-50x^2+9x-45\)
      (c)    \(x^5-2x^4-3x^3-8x^2+16x+24\)
    Namig:    Pri (a) in (b) združuj po dva člena, pri (c) združuj po tri člene.
    Rešitev:    (a) \(\cdots=(x+7)(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)\),     (b) \(\cdots=(x-5)(x^2+9)(x^2+1)\),     (c) \(\cdots=(x-3)(x+1)(x-2)(x^2+2x+4)\)
13.   (a)   Razčleni izraz:  \((2x-5)^2-x^2\)
      (b)   Razcepi izraz:   \((2x-5)^2-x^2\)
    Namig:    Pri razčlenjevanju moraš odpraviti oklepaj. Pri razcepljanju uporabi formulo za razcep razlike kvadratov.
    Rešitev:    (a) \(\cdots=3x^2-20x+25\),     (b) \(\cdots=(x-5)(3x-5)\)
14. Reši enačbo:
      (a)    \(x^2-5x=0\)
      (b)    \(x^2-3x-18=0\)
      (c)    \(x^3-5x^2-4x+20=0\)
    Rešitev:    (a) \(x_1=0,~ x_2=5\),     (b) \(x_1=6,~ x_2=-3\),     (c) \(x_1=-2,~ x_2=2,~ x_3=5\)
15. Reši enačbo:
      (a)    \(x^2=x+12\)
      (b)    \(x^3=x\)
      (c)    \(x(x+2)^2=8x+16\)
    Rešitev:    (a) \(x_1=4,~ x_2=-3\),     (b) \(x_1=0,~ x_2=1,~ x_3=-1\),     (c) \(x_1=-2,~ x_2=2,~ x_3=-4\)
16. Ugotovi, katero od naslednjih števil je praštevilo in katero je sestavljeno število: 53,  91,  179,  209,  391,  523,  667,  899,  947.
    Rešitev:    Praštevila: 53,  179,  523,  947.  Sestavljena števila: 91,  209,  391,  667,  899.
17. Razcepi na prafaktorje naslednja števila: 182,  405,  727,  936.
    Rešitev:    \(182=2\cdot7\cdot13,\)     \(405=3^4\cdot5,\)     \(727=727\) (to je praštevilo),     \(936=2^3\cdot3^2\cdot13\)
18. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 112 in 140.
    Rešitev:    \(D=28,~~~~ v=560\)
19. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 192,  360 in 492.
    Rešitev:    \(D=12,~~~~ v=118\,080\)
20. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 2537 in 2773.
    Rešitev:    \(D=59,~~~~ v=119\,239\)