-
Prvi člen v aritmetičnem zaporedju je enak 5, petnajsti člen pa je enak 243.
Zapiši formulo za splošni člen in ugotovi, koliko členov tega zaporedja je manjših od 1000.
Rešitev:
Splošni člen: \(a_n=-12+17n\). Prvih 59 členov je manjših od 1000.
-
Med števili 25 in 60 vrini štiri števila, tako da dobiš končno aritmetično zaporedje.
Rešitev:
Zaporedje: 25, 32, 39, 46, 53, 60
-
Določi parameter \(x\) tako, da bodo naslednja števila prvi trije členi neskončnega aritmetičnega zaporedja:
\(a_1=2x+1,~~ a_2=4x-5,~~a_3=5x\)
Zapiši tudi splošni člen tega zaporedja.
Rešitev:
\(x=11\); AZ: 23, 39, 55; \(a_n=7+16n\)
-
Določi realni parameter \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:
\(2x,~~ x^2+5,~~ x^3-3x^2\)
Rešitev:
\(x=5\); AZ: 10, 30, 50
-
Določi realni parameter \(x\) tako, da bodo naslednja števila prvi trije členi aritmetičnega
zaporedja: \(\log_2 (x-1),~ \log_2 (x+3),~ 4\).
Rešitev:
\(x=5\), AZ: 2, 3, 4
-
Dana so števila: \(a_1=11\cdot2^x\), \(a_2=4\cdot3^x\), \(a_3=2^{x+4}\).
Določi vrednost realnega parametra \(x\) tako, da bodo ta tri števila
(zapisana po tem vrstnem redu) prvi trije členi neskončnega aritmetičnega
zaporedja. Zapiši tudi formulo za splošni člen tega zaporedja.
Rešitev:
\(x=3\), AZ: 88, 108, 128; \(a_n=68+20n\)
-
Določi število \(m\in\mathbb{R}\) tako, da bodo števila
\(\sqrt{m},~ m-2,~ m+2\) tvorila končno aritmetično zaporedje.
Rešitev:
\(m=9\), AZ: 3, 7, 11
-
Izračunaj vrednost realnega parametra \(m\), če veš, da so naslednja tri števila
(zapisana po tem vrstnem redu) prvi trije členi aritmetičnega zaporedja:
\(a_1=\sqrt[\scriptstyle 3]{m+5},~~ a_2=2m+3,~~ a_3=3m+7\)
Rešitev:
\(m=3\), AZ: 2, 9, 16
-
Določi realna parametra \(x\) in \(y\) tako, da bodo naslednja štiri števila
(zapisana po tem vrstnem redu) sestavljala
končno aritmetično zaporedje:
\(9-x,~~ y-1,~~ 2x,~~ x+y\)
Rešitev:
\(x=5,~y=8\), AZ: 4, 7, 10, 13
-
Tri števila sestavljajo končno aritmetično zaporedje. Vsota teh treh števil je 24, vsota kvadratov teh treh števil
pa je 210. Poišči ta števila.
Rešitev:
To so števila 5, 8, 11 (oziroma tudi 11, 8, 5).
-
Tri števila tvorijo končno aritmetično zaporedje. Njihova vsota
je enaka \(\frac{9}{4}\), vsota njihovih obratnih vrednosti pa je \(\frac{13}{3}\). Določi ta števila.
Rešitev:
To so števila \(\frac{1}{2},~\frac{3}{4},~1\) (oziroma \(1,~ \frac{3}{4},~ \frac{1}{2}\).
-
Rastoče geometrijsko zaporedje ima prvi člen enak 2 in deveti člen enak 8. Izračunaj petnajsti člen. Rezultat naj bo točen.
Rešitev:
\(a_{15}=16\sqrt{2}\)
-
Med števili 224 in 1701 vrini štiri števila, tako da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
Rešitev:
Zaporedje: 224, 336, 504, 756, 1134, 1701
-
Med števili 81 in 24 vrini pet pozitivnih števil, tako da dobiš končno geometrijsko
zaporedje. Zapiši točne vrednosti vrinjenih števil.
Rešitev:
Zaporedje: \(81,~ 27\sqrt{6},~ 54,~ 18\sqrt{6},~ 36,~ 12\sqrt{6},~ 24\)
-
V geometrijskem zaporedju je prvi člen enak 750, četrti člen pa je 162.
Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so manjši od \(0,\!01\).
Rešitev:
Manjši so vsi členi od vključno \(a_{23}\) naprej.
-
Določi parameter \(m\in\mathbb{R}\) tako, da bodo števila \(m-5,~ m+11,~ 5m+7\) sestavljala končno
geometrijsko zaporedje.
Rešitev:
(1) \(m_1=13\), GZ: 8, 24, 72; (2) \(m_2=-3\), GZ: \(-8,~8,~-8\)
-
Zaporedje ima prve tri člene: \(a_1=x+2\), \(a_2=2x+2\), \(a_3=2x+4\). Določi pozitivno število
\(x\) tako, da bo to zaporedje geometrijsko. Nato izračunaj še, koliko členov tega geometrijskega zaporedja je
manjših od 2222.
Rešitev:
\(x=\sqrt{2}=k\), manjših je prvih 19 členov
-
Določi realni parameter \(m\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
\(2,~~ 1+\sqrt{m},~~ m-31\)
Rešitev:
\(m=81\); GZ: 2, 10, 50
-
Dana so števila \(a_1=3^x-18\), \(a_2=3^x\), \(a_3=3^x+54\). Določi realni parameter \(x\) tako,
da bodo ta tri števila (zapisana v tem vrstnem redu) sestavljala končno geometrijsko
zaporedje.
Rešitev:
\(x=3\); GZ: 9, 27, 81
-
Določi realni parameter \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila (zapisana po tem vrstnem redu)
sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
\(a_1=2\log x-1,~~ a_2=7\log x,~~ a_3=24\log x+16\)
Rešitev:
\(x=10000\); GZ: 7, 28, 112
-
Tri naravna števila sestavljajo naraščajoče končno geometrijsko zaporedje.
Vsota teh treh števil je 38, produkt teh treh števil pa je 1728.
Izračunaj ta tri števila.
Rešitev:
To so števila: 8, 12, 18
-
Končno zaporedje ima tri člene: \(a_1=x+7,~ a_2=3x+9,~ a_3=9x+3\).
Določi vrednost realnega parmetra \(x\) tako, da bo to
(a) končno aritmetično zaporedje,
(b) končno geometrijsko zaporedje.
Rešitev:
(a) \(x=2\), AZ: 9, 15, 21;
(b) \(x=5\), GZ: 12, 24, 48
-
Končno zaporedje ima tri člene: \(a_1=x-2,~ a_2=2x+\sqrt{x},~ a_3=7x\).
Določi vrednost realnega parmetra \(x\) tako, da bo to
(a) končno aritmetično zaporedje,
(b) končno geometrijsko zaporedje.
Rešitev:
(a) \(x=1\), AZ: \(-1,~ 3,~ 7\);
(b) \(x=9\), GZ: \(7,~ 21,~ 63\)
-
Če vzamemo prvi, drugi in četrti člen aritmetičnega zaporedja,
dobimo geometrijsko zaporedje. Vsota teh treh členov je 42. Določi ustrezno aritmetično (in
geometrijsko) zaporedje.
Rešitev:
(1) AZ: 6, 12, 18, 24 (GZ: 6, 12, 24);
(2) AZ: 14, 14, 14, 14 (GZ: 14, 14, 14)
-
Naraščajoče aritmetično zaporedje ima drugi člen \(a_2=5\).
Če vzamemo prvi, tretji in enajsti člen tega zaporedja
(in jih zapišemo po tem vrstnem redu), dobimo končno geometrijsko zaporedje.
Zapiši aritmetično in ustrezno geometrijsko zaporedje.
Rešitev:
AZ: \(2,~ 5,~ 8,~ 11,~\ldots\) GZ: \(2,~ 8,~ 32\)
-
Pozitivna števila \(a,~ b,~ c\) sestavljajo končno aritmetično zaporedje. Vsota teh treh števil je 180.
Če bi bilo tretje število za tri večje (prvo in drugo pa bi ostali nespremenjeni),
bi števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje.
Določi ta tri števila. Zapiši vse možne rešitve.
Rešitev:
(1) \(a=48,~ b=60,~ c=72\); (2) \(a=75,~ b=60,~ c=45\)
-
V aritmetičnem zaporedju je drugi člen enak 1234, peti člen pa je 1111.
(a) Zapiši splošni člen tega zaporedja.
(b) Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov tega zaporedja.
Rešitev:
(a) \(a_n=1316-41n\);
(b) \(S_{32}=20\,464\)
-
Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov zaporedja \(a_n=400-7n\).
Rešitev:
\(s_{57}=11\,229\)
-
Izračunaj vsoto vseh večkratnikov števila 19, ki ležijo na intervalu \([0,\,1000]\).
Rešitev:
Vsota je enaka 26 182.
-
Vsota prvih 17 členov aritmetičnega zaporedja je enaka 1972. Diferenca tega zaporedja je 12.
Izračunaj prvi člen zaporedja.
Rešitev:
\(a_1=20\)
-
Prvi člen aritmetičnega zaporedja je 28, vsota prvih petindvajsetih členov pa je 4300.
Izračunaj drugi člen tega zaporedja.
Rešitev:
\(a_2=40\)
-
Aritmetično zaporedje ima prvi člen 1, vsota prvih štiridesetih členov pa je enaka
\(s_{40}=13\,300\). Izračunaj diferenco tega zaporedja in ugotovi, kateri člen tega zaporedja je enak 800.
Rešitev:
\(d=17,~ a_{48}=800\)
-
Končno aritmetično zaporedje ima prvi člen \(a_1=30\) in diferenco \(d=7\).
Vsota vseh členov tega končnega zaporedja je enaka 4185.
Izračunaj število členov tega zaporedja.
Rešitev:
To zaporedje ima 31 členov.
-
Med števili 33 in 87 vrinemo \(n\) števil tako, da dobimo končno aritmetično zaporedje. Vsota
vrinjenih števil je 300. Izračunaj vrinjena števila.
Rešitev:
Vrinjena števila so: 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87
-
Aritmetično zaporedje ima člene \(13,~ 17,~ 21,~ 25,~\ldots~~~\) Če seštejemo prvih \(n\) členov tega
zaporedja, dobimo rezultat \(13\,026\). Izračunaj največji člen, ki smo ga upoštevali v tej vsoti.
Rešitev:
\(a_{78}=321\)
-
Reši enačbo: \(60+65+70+75+\cdots+x=3000\)
Opomba:
Na levi strani enačbe je končna aritmetična vrsta.
Rešitev:
\(x=180\)
-
Reši enačbo: \(8+11+14+\cdots+(3n+5)=1450\)
Opomba:
Na levi strani enačbe je končna aritmetična vrsta.
Rešitev:
\(n=29\)
-
Aritmetično zaporedje se začne s členoma \(a_1=2025,~ a_2=1999\).
Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov z lihimi indeksi:
\(X=a_1+a_3+a_5+a_7+\cdots+a_{2k-1}\)
Rešitev:
\(X=2025+1973+1921+\cdots+49=40\,443\) (Opomba: Takih členov je 39.)
-
Dano je zaporedje \(a_n=2\cdot 3^n\). Izračunaj vsoto vseh členov, ki so manjši od \(100\,000\).
Rešitev:
\(s_9=59\,046\)
-
Dano je geometrijsko zaporedje \(a_n=3\cdot\sqrt{2}^{\,n-1}\). Izračunaj,
koliko (najmanj) členov tega zaporedja moramo sešteti, da bo vsota \(s_n\) presegla en milijon.
Rešitev:
Sešteti moramo vsaj 35 členov.
-
Vsota prvih \(n\) členov geometrijskega zaporedja je enaka \(S_n=3^n-1\).
Zapiši splošni člen \(a_n\) in ugotovi, koliko členov tega zaporedja je manjših od
\(1\,000\,000\).
Rešitev:
\(a_n=2\cdot 3^{n-1}\); manjših je prvih 12 členov.
-
Izračunaj:
(a) \({\displaystyle \sum_{n=1}^{75} (3n+2)}\)
(b) \({\displaystyle \sum_{n=1}^7 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=8700\);
(b) \(\cdots=\frac{2059}{729}\)
-
Izračunaj naslednje limite:
(a) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n-1}{n^2+5n}}\)
(b) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)(3n+2)}{n^2+\sqrt{n}}}\)
(c) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2-2n}-7}{2n+\sqrt{n^2+1}}}\)
(d) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^3+n^2}+\sqrt{n^3-n^2}}{\sqrt{n^3+n+1}}}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=1\);
(b) \(\cdots=6\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{3}\);
(d) \(\cdots=2\)
-
Izračunaj naslednje limite:
(a) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} ~n-\sqrt{n^2-3n}}\)
(b) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-\sqrt{n^4-n^3}}{n}}\)
(c) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{3}{n^2-\sqrt{n^4-3n^2}}}\)
(d) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^2-\sqrt{n^4-3n^3}}}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{3}{2}\);
(b) \(\cdots=\frac{1}{2}\);
(c) \(\cdots= 2\);
(d) \(\cdots=\frac{2}{3}\)
-
Izračunaj naslednje limite. Pomagaj si z definicijo Eulerjevega števila \(e\).
(b) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}\)
(b) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+1}}\)
(b) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{2}{n+2}\right)^{n+2}}\)
(c) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{6n}}\)
Rešitev:
(b) \(\cdots=e^2\);
(b) \(\cdots=e^3\);
(b) \(\cdots=e^2\);
(c) \(\cdots=e^3\)
-
Izračunaj naslednje limite:
(a) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{~2+\sqrt[\scriptstyle3]{n^3+n^2}~}{3n+5}}\)
(b) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{~n-\sqrt{n^2+12n}~}{2}}\)
(c) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)^2}{n^2+\sqrt{n^4-3n^2}}}\)
(d) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-\sqrt{n^4-3n^3}}{2n+1}}\)
(e) \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n+2}}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{1}{3}\);
(b) \(\cdots=-3\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{2}\);
(d) \(\cdots=\frac{3}{4}\);
(e) \(\cdots=e^2\)
-
Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{n+1}}\) in število \(\varepsilon=10^{-3}\).
Izračunaj limito zaporedja in ugotovi, od (vključno) katerega člena naprej ležijo vsi nadaljnji členi zaporedja v
\(\varepsilon\)-okolici limite.
Rešitev:
Limita je 2. V \(\varepsilon\)-okolici ležijo vsi členi od vključno \(a_{3000}\) naprej.
-
Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=\frac{3n+1}{n+5}}\) in število \(\varepsilon=0,\!2\).
Izračunaj limito zaporedja in ugotovi, kateri členi zaporedja ležijo v
\(\varepsilon\)-okolici limite.
Rešitev:
Limita je 3. V \(\varepsilon\)-okolici ležijo vsi členi od vključno \(a_{66}\) naprej.
-
Dano je zaporedje \(\displaystyle a_n=\frac{n^2+n+10}{n^2+1}\) in število \(\varepsilon=\frac{1}{25}\).
Izračunaj limito zaporedja in ugotovi, kateri členi tega zaporedja ležijo v
\(\varepsilon\)-okolici limite.
Rešitev:
Limita je 1. V \(\varepsilon\)-okolici ležijo vsi členi od vključno \(a_{33}\) naprej.
