Odvod

Limita funkcije

1. Izračunaj limite funkcij:
   

   (a)    \({\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-x}}\)

   (b)    \({\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{3x^2-4x-4}}\)

   (c)    \({\displaystyle\lim_{x\to3} \frac{2x^3-5x^2-4x+3}{4x^2-19x+21}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\),     (b)  \(\cdots=\frac{5}{8}\),     (c)  \(\cdots=4\)
2. Izračunaj limite funkcij:
   

   (a)    \({\displaystyle\lim_{x\to1} \frac{x-1}{~\sqrt{x}-1~}}\)

   (b)    \({\displaystyle\lim_{x\to4} \frac{~2-\sqrt{x}~}{x-4}}\)

   (c)    \({\displaystyle\lim_{x\to9} \frac{~x-3\sqrt{x}~}{2x-18}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\),     (b)  \(\cdots=-\frac{1}{4}\),     (c)  \(\cdots=\frac{1}{4}\)
3. Izračunaj limite funkcij:
   

   (a)    \({\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{2x+3}{3x+2}}\)

   (b)    \({\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{4}{x-\sqrt{x^2-x}}}\)

   (c)    \({\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-\sqrt{x^4-5x^3}}{x}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{2}{3}\),     (b)  \(\cdots=8\),     (c)  \(\cdots=\frac{5}{2}\)
4. Izračunaj limite funkcij:
   

   (a)    \({\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3-2x-4}{x^3-8}}\)

   (b)    \({\displaystyle\lim_{x\to1}~ \frac{x^2-\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}}\)

   (c)    \({\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{x-2-\sqrt{x}}{x-4}}\)

   (d)    \({\displaystyle\lim_{x\to\infty} x-\sqrt{x^2-4x}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{5}{6}\),     (b)  \(\cdots=\frac{3}{2}\),     (c)  \(\cdots=\frac{3}{4}\),     (d)  \(\cdots=2\)
5. Izračunaj naslednji limiti:
   

   (a)    \({\displaystyle\lim\limits_{x\to2}\frac{2x^2+2x-12}{x^2-3x+2}}\)

   (b)    \({\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x^2+2x-12}{x^2-3x+2}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=10\),     (b)  \(\cdots=2\)
6. Izračunaj naslednji limiti:
   

   (a)    \({\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\,\sin x-\frac{1}{\sin x}\,}{\cot x}}\)

   (b)    \({\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x \sin x}{\cos^2 x-\cos 2x}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=-1\),     (b)  \(\cdots=2\)
7. Izračunaj naslednje limite:
   

   (a)    \({\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3x}}\)

   (b)    \({\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{2x}}\)

   (c)    \({\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin 4x}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{1}{3}\),     (b)  \(\cdots=\frac{5}{2}\),     (c)  \(\cdots=\frac{1}{4}\)

Pravila odvajanja

8. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)    \(f(x)=x^4-2x^3+5x^2-x+7\)

   (b)    \(f(x)=(x-3)(x-2)(x+2)\)

   (c)    \(f(x)=(x^2+5)^2\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=4x^3-6x^2+10x-1\),     (b)  \(f'(x)=3x^2-6x-4\),     (c)  \(f'(x)=4x^3+20x\)
9. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)    \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x}+\frac{\textstyle 3}{\textstyle x^2}\)

   (b)    \(f(x)=4\sqrt{x}+\sqrt{x^3}\)

   (c)    \(f(x)=x^2\,\sqrt{x}+x\,\sqrt[\scriptstyle3]{x}\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{6}{x^3}\),     (b)  \(f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3\sqrt{x}}{2}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{5}{2}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}\)
10. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
    

    (a)    \(f(x)=2\sin x+3\cos x+5e^x-\ln x\)

    (b)    \(f(x)=(x^2+4x+1)\sin x\)

    (c)    \(f(x)=x^3e^x\sqrt{x}\)

    Rešitev:    (a)  \(f'(x)=2\cos x-3\sin x+5e^x-\frac{1}{x}\),     (b)  \(f'(x)=(2x+4)\sin x+ (x^2+4x+1)\cos x\),     (c)  \(f'(x)=\frac{7}{2}x^2e^x\sqrt{x}+x^3e^x\sqrt{x}\)
11. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
    

    (a)    \(f(x)=\frac{\textstyle x^4+3x^2+2x}{\textstyle5}\)

    (b)    \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x^2+2}\)

    (c)    \(f(x)=\frac{\textstyle x^2+x}{\textstyle 2x-1}\)

    (d)    \(f(x)=\frac{\textstyle x}{\textstyle \sin x}\)

    Rešitev:    (a)  \(f'(x)=\frac{4x^3+6x+2}{5}\),     (b)  \(f'(x)=-\frac{2x}{x^4+4x^2+4}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{2x^2-2x-1}{4x^2-4x+1}\),     (d)  \(f'(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^2x}\)
12. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
    

    (a)    \(f(x)=\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\)

    (b)    \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\)

    (c)    \(f(x)=\ln(5x-3)\)

    (d)    \(f(x)=e^{x^2+5x-3}\)

    Rešitev:    (a)  \(f'(x)=-3\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\),     (b)  \(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{5}{5x-3}\),     (d)  \(f'(x)=(2x+5)e^{x^2+5x-3}\)
13. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
    

    (a)    \(f(x)=3^x\)

    (b)    \(f(x)=\log(x+5)\)

    (c)    \(f(x)=\tan2x\)

    Rešitev:    (a)  \(f'(x)=3^x\,\ln 3\),     (b)  \(f'(x)=\frac{1}{(x+5)\ln 10}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{2}{\cos^2 2x}\)

Tangente in normale

14. Dana je funkcija \(f(x)=2x^3+x^2-6x\).
    

    (a)   Izračunaj odvod te funkcije pri \(x=1\).

    (b)   Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki \(T(1,y)\).

    Rešitev:    (a)  Odvod:  \(f'(1)=2\);     (b)  tangenta:  \(y=2x-5\)
15. Dana je funkcija \(f(x)=(x+1)\,\sqrt[\scriptstyle3]{x}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki z absciso \(x=8\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{11}{4}x-4\)
16. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{x+1}{\sqrt{x}}}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije pri \(x_0=3\).
    Rezultat naj bo primerno poenostavljen in racionaliziran.
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{\sqrt{3}}{9}x+\sqrt{3}\)
17. Zapiši enačbo tangente na krivuljo \(y={\displaystyle\frac{x\ln x}{4}}\) v točki \(T_0(1,y_0)\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\)
18. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{e^x-3}{e^x+1}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije pri \(x=0\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=x-1\)
19. Dana je funkcija \(f(x)=\cos 2x\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v ničli z najmanjšo pozitivno absciso.
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=-2x+\frac{\pi}{2}\)
20. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{1}{\sqrt[\scriptstyle3]{\cos^2 x+\frac{1}{2}}}}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki \(x=\frac{\textstyle\pi}{\textstyle4}\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{1}{3}x+1-\frac{\pi}{12}\)
21. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{x\ln x-1}{x^2+4}}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki \(T(1,y)\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{7}{25}x-\frac{12}{25}\)
22. Dana je krivulja \(x^2-y^2=-9\). Nariši to krivuljo in zapiši enačbo tangente na krivuljo v točki \(T(4,5)\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{4}{5}x+\frac{9}{5}\)
23. Ugotovi, v kateri točki ima graf funkcije \(f(x)=x\sqrt{x}\) tangento vzporedno premici \(y=3x\). Zapiši to točko in enačbo ustrezne tangente.
    Rešitev:    Točka: \(T(4,8)\),  tangenta:  \(y=3x-4\)
24. Dan je polinom \(p(x)=x^3-2x^2-2x+1\). Na grafu tega polinoma ležita točki \(T_1\) in \(T_2\), v katerih je tangenta na graf polinoma vzporedna premici \(y=2x\). Izračunaj abscisi točk \(T_1\) in \(T_2\).
    Rešitev:    \(x_1=2,~ x_2=-\frac{2}{3}\)
25. Dana je funkcija \(f(x)=\sin 2x\). Zapiši abscise vseh točk, v katerih ima graf funkcije tangente vzporedne simetrali lihih kvadrantov.
    Rešitev:    \(x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,~~(k\in\mathbb{Z})\)
26. Zapiši enačbo normale na graf funkcije \(f(x)=\frac{\textstyle 6}{\textstyle x}\) pri \(x=3\).
    Rešitev:    Normala:  \(y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}\)
27. Zapiši enačbo normale na krivuljo \(y=\frac{\textstyle 8}{\textstyle 4+x^2}\) v točki \(T(2,y)\).
    Rešitev:    Normala:  \(y=2x-3\)
28. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{x-1}\). Graf te funkcije ima v točki \(A(2,y)\) normalo \(n\).
    

    (a)   Zapiši enačbo te normale.

    (b)   Normala \(n\) in graf funkcije imata dve skupni točki: zgoraj navedeno točko \(A\), poleg tega pa še drugo točko \(B\). Izračunaj koordinati točke \(B\).

    Rešitev:    (a)  Normala:  \(y=-\frac{1}{2}x\);     (b)  točka:  \(B(-3,\frac{3}{2})\)
29. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x+1}{\cos x}\). Zapiši enačbo normale na graf te funkcije pri \(x=-\pi\).
    Rešitev:    Normala:  \(y=-x-1-\pi\)
30. Dana je funkcija \(f(x)=e^x\). Ugotovi, v kateri točki ima graf te funkcije normalo, ki je vzporedna simetrali sodih kvadrantov.
    Rešitev:    V točki \(T(0,1)\)
31. Zapiši enačbo normale na krivuljo \(\left(\frac{\textstyle x}{\textstyle 5}\right)^2+\left(\frac{\textstyle y+2}{\textstyle 4}\right)^2=1\) v točki \(x_0=4,~y_0\gt0\).
    Rešitev:    Normala:  \(y=\frac{15}{16}x-\frac{67}{20}\)
32. Polinom tretje stopnje ima realne koeficiente, njegov vodilni koeficient pa je enak 1. Dve od ničel tega polinoma sta \(x_1=-2\) in \(x_2=2+i\sqrt{3}\).
    

    (a)   Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.

    (b)   Zapiši enačbo tangente na graf tega polinoma pri \(x=2\).

    Rešitev:    (a)  Polinom:  \(p(x)=x^3+2x^2-5x+12\);     (b)  tangenta:  \(y=2x+8\)
33. Dan je polinom \(p(x)=x^3-4x^2+ax+b\). Dve od ničel tega polinoma sta \(x_1=2\) in \(x_2=3\).
    

    (a)   Izračunaj konstanti \(a\) in \(b\).

    (b)   Zapiši enačbo tangente pri \(x=1\) (za zgoraj izračunani vrednosti \(a\) in \(b\)).

    Rešitev:    (a)  Konstanti:  \(a=1,~ b=6\);     (b)  tangenta:  \(y=-4x+8\)
34. Dana je funkcije \(\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-1}\).
    

    (a)   Dokaži, da je funkcija \(f\) sama sebi inverzna.

    (b)   Zapiši enačbo normale pri \(x=0\).

    (c)   Zapiši enačbo normale pri \(x=2\).

    Rešitev:    (a)  \(f^{-1}(x)=\frac{x-2}{x-1}=f(x)\);     (b = c)  To je ista normala:  \(y=-x+2\)
35. Dana je krivulja \(16x^2+25y^2=400\).
    

    (a)   Nariši to krivuljo.

    (b)   Zapiši enačbo tangente na to krivuljo v točki \(x=3,~ y\gt0\).

    Rešitev:    (a)  Elipsa:  \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\);     (b)  tangenta:  \(y=-\frac{3}{5}x+5\)
36. Dana je krivulja \(\displaystyle \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\).
    

    (a)   Nariši to krivuljo.

    (b)   Na krivulji ležita dve točki, v katerih je tangenta vzporedna simetrali lihih kvadrantov. Izračunaj koordinate teh dveh točk.

    Rešitev:    (a)  Elipsa;     (b)  točki:  \(T_1(-3,1),~ T_2(3,-1)\)
37. Točki \(A(-1,1)\) in \(B(11,-3)\) sta diametralni točki krožnice.
    

    (a)   Zapiši enačbo te krožnice.

    (b)   Zapiši enačbo tangente na krožnico v točki \(A\).

    Rešitev:    (a)  Krožnica:  \((x-5)^2+(y+1)^2=40\);     (b)  tangenta:  \(y=3x+4\)
38. Dana je funkcija \(f(x)=\sin x + \sin(x+\frac{\pi}{3}) + \sin(x-\frac{\pi}{3})\).
    

    (a)   Nariši graf te funkcije. (Namig: Najprej poenostavi enačbo funkcije.)

    (b)   Na grafu funkcije poišči vse točke, v katerih je odvod funkcije enak 2.

    Rešitev:    (a)  \(f(x)=2\sin x\);     (b)  \(T(2k\pi,0),~ k\in\mathbb{Z}\)
39. Dana je funkcija \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x}\) in realno število \(a\ne0\).
    

    (a)   Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki \(T(a,\frac{1}{a})\).

    (b)   Dokaži, da je ploščina trikotnika, ki ga omejuje ta tangenta skupaj s koordinatnima osema, neodvisna od izbire \(a\).

    Rešitev:    (a)  \(y=-\frac{1}{a^2}\,x+\frac{2}{a}\);     (b)  \(S_\triangle=2\)    (Namig: Enačbo tangente lahko preoblikuješ v segmentno obliko.)

Koti

40. Izračunaj naklonski kot tangente na graf funkcije \(f(x)=\sqrt{x}\) v točkah \(A(9,3)\) in \(B(0,0)\).
    Rešitev:    V točki \(A\) je \(\alpha_1\doteq9^\circ28'\),  v točki \(B\) je \(\alpha_2=90^\circ\).
41. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(x+1)^3}}}\). Izračunaj naklonski kot tangente na graf te funkcije pri \(x=3\). Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Naklonski kot:  \(\alpha\doteq-2^\circ41'\) oziroma \(\alpha'\doteq177^\circ19'\)
42. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+7}{x-4}\). Izračunaj ostri kot, ki ga oklepa graf te funkcije z ordinatno osjo. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Kot:  \(\varphi\doteq46^\circ51'\)
43. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle \sin\frac{2x+\pi}{3}}\). Izračunaj kot, ki ga oklepata graf funkcije in ordinatna os. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Kot:  \(\varphi\doteq71^\circ34'\)
44. Izračunaj kot med grafom funkcije \(f(x)=\ln(2x-3)\) in abscisno osjo. Rezultat zaokroži na stotinko stopinje.
    Rešitev:    Kot:  \(\varphi\doteq63,\!43^\circ\)
45. Izračunaj, v kateri točki se sekata graf funkcije \(f(x)=\log_2 x+2\) in premica \(p\!:~ y=5\). Izračunaj tudi, kolikšen kot oklepata. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(8,5)\),  kot:  \(\varphi\doteq10^\circ13'\)
46. Dani sta funkciji \(f(x)=x^3\) in \(g(x)=x^2-4x+4\). Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(1,1)\),  kot:  \(\varphi=45^\circ\)
47. Dani sta funkciji \(f(x)={\displaystyle\frac{x}{x-1}}\) in \(g(x)=-x+4\). Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(2,2)\),  kot:  \(\varphi=0^\circ\)    (Opomba: \(\varphi=0^\circ\) zato, ker je \(g\) tangenta na graf funkcije \(f\).)
48. Funkcija ima enačbo \(f(x)=3+\sqrt{2x-3}\). Izračunaj, kje se sekata graf te funkcije in simetrala lihih kvadrantov in kolikšen kot oklepata. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(6,6)\),  kot:  \(\varphi\doteq26^\circ34'\)
49. Dani sta funkciji \(f(x)=\sqrt{2x}\) in \(g(x)=\frac{\textstyle 4}{\textstyle x}\). Izračunaj, kje se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(2,2)\),  kot:  \(\varphi\doteq71^\circ34'\)
50. Dani sta funkciji \(f(x)=\sqrt{4-x}\) in \(g(x)=2x-5\). Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(3,1)\),  kot:  \(\varphi=90^\circ\)
51. Dani sta funkciji \(f(x)=\sqrt{2}^{\,x}\) in \(\displaystyle g(x)=2^{3-x}\). Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Presečišče:  \(T(2,2)\),  kot:  \(\varphi\doteq88^\circ55'\)
52. Dani sta funkciji \(f(x)=\log_2(x+1)\) in \(g(x)=\log_2x+1\).
    

    (a)   Zapiši koordinati presečišča grafov teh dveh funkcij.

    (b)   Izračunaj kot, ki ga oklepata grafa. Zapiši ga v stopinjah in minutah.

    Rešitev:    (a)  Presečišče:  \(P(1,1)\),     (b)  kot:  \(\varphi\doteq19^\circ28'\)
53. Dana je funkcija \(f(x)=x^2+2x+1\).
    

    (a)   Nariši graf te funkcije.

    (b)   Zapiši enačbo normale na graf te funkcije pri \(x=0\).

    (c)   Izračunaj kot, ki ga ta normala oklepa z grafom funkcije v drugem presečišču.

    Rešitev:    (b)  Normala:  \(y=-\frac{1}{2}x+1\),     (c)  \(\varphi=45^\circ\) (pri \(x=-\frac{5}{2}\))
54. Dana je krivulja:  \(\displaystyle\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)
    

    (a)   Nariši to krivuljo (v primernem koordinatnem sistemu).

    (b)   Izračunaj kot, ki ga oklepata krivulja in ordinatna os. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.

    Rešitev:    (a)  To je elipsa:  \(S(2,0),~ a=4,~ b=2\sqrt{3}\);     (b)  \(\varphi\doteq63^\circ26'\)    (Opomba: Kot je enak v obeh točkah \(T(0,\pm 3)\).)

Stacionarne točke

55. Določi stacionarne točke in nariši graf funkcije:   \(f(x)=2x^3+3x^2+2\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T_1(-1,3)\),  minimum: \(T_2(0,2)\)
56. Določi stacionarne točke funkcije:   \(f(x)=x^5-15x^3-2\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T_1(-3,160)\),  vodoravni prevoj: \(T_2(0,-2)\),  minimum: \(T_3(3,-164)\)
57. Dana je funkcija:  \(f(x)=\frac{1}{9}x^4-\frac{8}{9}x^3+2x^2\)
    

    (a)   Izračunaj vse (tudi nerealne) ničle te funkcije.

    (b)   Izračunaj vse stacionarne točke te funkcije.

    (c)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  Ničle:  \(x_{1,2}=0,~ x_2=4-i\sqrt{2},~ x_3=4+i\sqrt{2}\);     (b)  min.: \(T_1(0,0)\), vodoravni prevoj: \(T_2(3,3)\)
58. Dan je polinom \(\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{49}-\frac{12x^3}{49}+\frac{4x^2}{7}\).
    

    (a)   Poišči stacionarne točke in nariši graf tega polinoma.

    (b)   Ugotovi, katera točka je globalni minimum tega polinoma.

    Rešitev:    (a)  Min.: \((0,0)\), max.: \((2,\frac{32}{49})\), min.: \((7,-7)\), ;     (b)  globalni min.: \((7,-7)\)
59. Dana je funkcija:  \({\displaystyle f(x)=\frac{6}{x^2-4x+6}}\)
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke in določi, kakšnega tipa so.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  Max.:  \(T(2,3)\)
60. Izračunaj stacionarne točke, zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije:   \(f(x)={\displaystyle\frac{x^2+3}{x^2-3x}}\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T_1(1,-2)\),  minimum: \(T_2(-3,\frac{2}{3})\),  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=-1\))
61. Izračunaj stacionarne točke, zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije:   \(f(x)={\displaystyle\frac{x^2-2x+2}{x^2}}\)
    Rešitev:    Minimum: \(T(2,\frac{1}{2})\),  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=1\))
62. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}\). Izračunaj stacionarne točke, zapiši enačbo poševne asimptote in nariši graf te funkcije.
    Rešitev:    Max.: \(T_1(0,0)\), min.: \(T_2(2,4)\), asimptota: \(y=x+1\)
63. Izračunaj vse stacionarne točke funkcije:   \(f(x)=(x-4)\sqrt[\scriptstyle3]{x}\)
    Določi tudi, kakšne vrste so dobljene stacionarne točke.
    Rešitev:    Minimum: \(T(1,-3)\)
64. Izračunaj vse stacionarne točke funkcije:   \(f(x)=x\ln x\)
    Določi tudi, kakšne vrste so dobljene stacionarne točke.
    Rešitev:    Minimum: \(T(\frac{1}{e},-\frac{1}{e})\)
65. Izračunaj, v kateri točki je lokalni maksimum funkcije:   \(f(x)=x^2e^{-x}\)
    Koordinati točke naj bosta točni.
    Rešitev:    Maksimum: \(T(2,4e^{-2})\)
66. Izračunaj minimum in maksimum funkcije \(f(x)=(2x^2-3x)e^x\).
    

    (a)   Zapiši točni koordinati minimuma.

    (b)   Koordinati maksimuma zaokroži na dve decimalki.

    Rešitev:    (a)  Min.:  \(T_1(1,-e)\),     (b)  max.:  \(T_2(x,y);~~ x=-1.5,~ y\doteq2.01\)
67. Izračunaj lokalni maksimum funkcije:   \(f(x)=x\,e^{x-x^2}\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T(1,1)\)    (Opomba: Pri \(x=-\frac{1}{2}\) je minimum.)
68. Dana je funkcija \(f(x)=2-\cos 2x\). Nariši graf te funkcije in zapiši koordinate vseh minimumov.
    Rešitev:    Min.: \((k\pi,1),~ k\in\mathbb{Z}\)    (Opomba: minimume lahko določiš tudi brez odvoda. Zadostuje poznavanje lastnosti kosinusa in natančno narisan graf.)
69. Dan je polinom \(p(x)=x^3+ax^2+bx+7\). Izračunaj realna parametra \(a\) in \(b\), če veš, da ima ta polinom minimum v točki \(T(3,-2)\).
    Rešitev:    \(a=-5,~ b=3\)
70. V pokončni stožec s polmerom \(r_s=3~\mathrm{cm}\) in višino \(v_s=7~\mathrm{cm}\) želimo včrtati pokončen valj z ekstremno površino. Izračunaj polmer \(r\), višino \(v\) in površino \(P\) tega valja. Ali je doseženi ekstrem maksimum ali minimum?
    Rešitev:    \(r=\frac{21}{8}~\mathrm{cm},~ v=\frac{7}{8}~\mathrm{cm},~ P=\frac{147}{8}\pi~\mathrm{cm}^2\);  to je maksimalna površina
71. Krožni izsek s polmerom 1 zvijemo v plašč stožca. Ugotovi, kolikšen mora biti središčni kot tega izseka, da bo prostornina dobljnega stožca maksimalna. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\alpha\doteq293^\circ56'\)

Naraščanje in padanje, konveksnost in konkavnost

72. Dana je funkcija \(f(x)=1-5x+2x^2-x^3\). Računsko ugotovi, kje ta funkcija narašča in kje pada.
    Rešitev:    Povsod pada, nikjer ne narašča.
73. Poišči intervale naraščanja in padanja funkcije \(f(x)=(x-1)\,e^{3x}\).
    Rešitev:    Pada na \((-\infty,\frac{2}{3}]\), narašča na \([\frac{2}{3},\infty)\)
74. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{x^2+2x+1}{x}}\).
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke in nariši graf te funkcije.

    (b)   Zapiši intervale naraščanja in padanja.

    Rešitev:    (a)  Minimum \((1,4)\), maksimum \((-1,0)\);     (b)  narašča na \((-\infty,-1]\) in na \([1,\infty)\), pada pa na \([-1,0)\) in na \((0,1]\)
75. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}}\).
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke te funkcije.

    (b)   Nariši graf funkcije.

    (c)   Določi intervale naraščanja in padanja.

    (d)   Določi intervale konveksnosti in konkavnosti.

    Rešitev:    (a)  Minimum \(T_1(-1,-1)\), maksimum \(T_2(1,1)\);     (c)  narašča na \([-1,1]\), pada na \((-\infty,-1]\) in na \([1,\infty)\);     (d)  konveksna je na \([-\sqrt{3},0]\) in na \([\sqrt{3},\infty)\), konkavna pa je na \((-\infty,-\sqrt{3}]\) in na \([0,\sqrt{3}]\)
76. Dana je funkcija \(f(x)=x^4+2x^3+2\).
    

    (a)   Poišči minimum funkcije \(f\). Koordinati minimuma naj bosta točni.

    (b)   Zapiši interval konkavnosti funkcije \(f\).

    Rešitev:    (a)  Minimum \((-\frac{3}{2},\frac{5}{16})\);     (b)  funkcija je konkavna na \([-1,0]\)
77. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+3}\).
    

    (a)   Poišči stacionarno točko, zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije \(f\).

    (b)   Poišči oba prevoja funkcije \(f\).

    Rešitev:    (a)  Minimum \((0,-3)\), asimptota: \(y=1\);     (b)  prevoja: \(P_1(-1,-2),~ P_2(1,-2)\)
78. Dana je funkcija \(f(x)=(x-2)e^x\). Poišči edino stacionarno točko \(T\) in ugotovi, kakšne vrste stacionarna točka je to. Poišči tudi edini prevoj \(P\). Zapiši točne vrednosti koordinat točk \(T\) in \(P\).
    Rešitev:    Stacionarna točka \(T(1,-e)\) je minimum. Prevoj je v \(P(0,-2)\) in ni stacionarna točka (to je poševni prevoj).
79. Dana je funkcija \(p(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{9}{4}x^2+\frac{15}{4}x+\frac{17}{4}\).
    

    (a)   Zapiši interval padanja te funkcije.

    (b)   Izračunaj koordinati prevoja.

    (c)   Zapiši enačbo tangente v prevoju.

    Rešitev:    (a)  Pada na \([1,5]\);     (b)  poševni prevoj: \(P(3,2)\);     (c)  tangenta: \(y=-3x+11\)
80. Dan je polinom \(p(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+4x+\frac{1}{2}\).
    

    (a)   Poišči oba prevoja tega polinoma.

    (b)   Zapiši enačbo tangente v tistem prevoju, ki ni stacionarna točka.

    Rešitev:    (a)  \(P_1(1,2)\) je stacionarna točka, \(P_2(-1,-6)\) pa ni stacionarna točka (je poševni prevoj);     (b)  tangenta v \(P_2\):  \(y=8x+2\)

 Domov