-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int (x^3+2x+7)\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int (\sin x+3\cos x +e^x)\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int} \frac{\textstyle 1}{\textstyle x}(x^3+x^2-1)\,dx \)
(d) \({\displaystyle \int (x+1+x^{-1}+x^{-2})\, dx}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{1}{4}x^4+x^2+7x+C\);
(b) \(\cdots=-\cos x+3\sin x +e^x+C\);
(c) \(\cdots=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-\ln|x|+C\);
(d) \(\cdots=\frac{1}{2}x^2+x+\ln|x|-\frac{1}{x}+C\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle\int \frac{1+\sqrt{x}}{x}\,dx}\)
(b) \({\displaystyle\int \left(\frac{5}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x} \right)\, dx}\)
(c) \({\displaystyle \int \frac{2x^2-x^{-1/2}-1}{\sqrt{x}}\,dx}\)
(d) \({\displaystyle \int \frac{\sin 2x}{2\sin x}\,dx}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\ln |x|+2\sqrt{x}+C\);
(b) \(\cdots=10\sqrt{x}+3\ln|x|+C\);
(c) \(\cdots=\frac{4}{5}\sqrt{x^5}-2\sqrt{x}-\ln|x|+C\);
(d) \(\cdots=\sin x+C\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int (2x+5)^4\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4x+1}}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int \sqrt{3x+7}\,dx}\)
(d) \({\displaystyle \int \frac{1}{x+3}\,dx}\)
Namig:
Pri tej in pri naslednjih nalogah si pomagaj z uvedbo nove spremenljivke.
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{1}{10}(2x+5)^5+C\);
(b) \(\cdots=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}+C\);
(c) \(\cdots=\frac{2}{3}\sqrt{(3x+7)^3}+C\);
(d) \(\cdots=\ln|x+3|+C\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int \frac{x}{x^2+4}\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int \frac{x^2\,dx}{\sqrt[\scriptstyle 4]{x^3+5}}}\)
(d) \({\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt[\scriptstyle3]{(x^2+3)^2}~}\,dx}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C\);
(b) \(\cdots=\sqrt{x^2+5}+C\);
(c) \(\cdots=\frac{4}{9}\sqrt[4]{(x^3+5)^3}+C\);
(d) \(\cdots=\frac{3}{2}\cdot \sqrt[\scriptstyle3]{x^2+3}+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int \left(\frac{x-2}{2}+\frac{2}{x-2}\right)\,dx}\)
Rešitev:
\(\cdots=\frac{1}{4}x^2-x+2\ln|x-2|+C\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int \sin 7x\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int} \cos\frac{\textstyle x}{\textstyle 2}\,dx\)
(c) \({\displaystyle \int e^{2x+5}\,dx}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=-\frac{1}{7}\cos7x +C\);
(b) \(\cdots=2\sin\frac{x}{2}+C\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{2}e^{2x+5}+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int \frac{\sin x\,dx}{2\,\cos x+3}}\)
Rešitev:
\(\cdots=-\frac{1}{2}\ln(2\,\cos x+3)+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int\frac{\sin x ~dx}{(1-\sin x)(1+\sin x)}}\)
Rešitev:
\(\cdots=\frac{1}{\cos x}+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int\cos^3x\sin x\,dx}\)
Rešitev:
\(\cdots=-\frac{1}{4}\cos^4x+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int\sin3x\sin2x\,dx}\)
Rešitev:
\(\cdots=\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{10}\sin5x +C\)
(Namig: Uporabi formulo za razčlenitev produkta kotnih funkcij.)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int x \cos x\,dx}\)
Namig:
Pomagaj si z integracijo po delih – per partes.
Rešitev:
\(\cdots=x\sin x+\cos x+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int (x+3)\,e^x\,dx}\)
Rešitev:
\(\cdots=(x+2)e^x+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int x^2\,\cos x\,dx}\)
Rešitev:
\(\cdots=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int x\,\ln x\,dx}\)
Rešitev:
\(\cdots=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\)
-
Izračunaj, katero funkcijo \(f\) moramo integrirati, da dobimo
za rezultat funkcijo: \(g(x)=x^3+e^{2x}+C\)
Rešitev:
\(f(x)=g'(x)=3x^2+2\,e^{2x}\)
-
Izračunaj, katero funkcijo \(f\) moramo odvajati, da dobimo
za rezultat funkcijo: \(g(x)=x^3+e^{2x}+1\)
Rešitev:
\(f(x)=\int g(x)\,dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}e^{2x}+x+C\)
-
Funkcija \(f\) ima odvod enak \(f'(x)=1+\frac{\textstyle x}{\textstyle 2}+\frac{\textstyle 2}{\textstyle x}\),
njen graf pa poteka skozi točko \(A(1,2)\).
Zapiši enačbo te funkcije.
Rešitev:
\(f(x)=x+\frac{1}{4}x^2+\ln(x^2)+\frac{3}{4}\)
-
Izračunaj, za katero funkcijo \(f\) velja: \(f'(x)=\sin(3x+\pi)\) in \(f(0)=\frac{4}{3}\)
Rešitev:
\(f(x)=-\frac{1}{3}\cos(3x+\pi)+1\)
-
Izračunaj, za katero funkcijo \(f\) velja: \({\displaystyle \int f(x)\,dx} =2x^3-\frac{\textstyle 1}{\textstyle x}+\ln(x^2)+C\)
Rešitev:
\(f(x)=6x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int\limits_{-1}^2 (-x^2+5)\, dx}\)
(b) \({\displaystyle \int\limits_0^9 \sqrt{x}\, dx}\)
(c) \({\displaystyle \int\limits_0^\pi (\cos x+2)\, dx }\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=12\);
(b) \(\cdots=18\);
(c) \(\cdots=2\pi\)
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepata vodoravna koordinatna os
in graf funkcije \(f(x)=x^3+2x^2\).
Rešitev:
\(S=\frac{4}{3}\) (meji: \(a=-2,~ b=0\))
-
Dana je funkcija \(f(x)=e^x-2\).
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejuje graf te funkcije skupaj z obema koordinatnima osema.
Rezultat zaokroži na tri decimalke.
Rešitev:
\(S\doteq0.386\) (meji: \(a=0,~ b=\ln 2\))
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta krivulji
\(y=x^2-4x-2\) in \(y=4-x^2\).
Rešitev:
\(S=21\frac{1}{3}\) (meji: \(a=-1,~b=3\))
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta paraboli \(y=x^2-1\) in \(y=5-x^2\). Rezultat
naj bo točen.
Rešitev:
\(S=8\sqrt{3}\) (meji: \(a=-\sqrt{3}, b=\sqrt{3}\))
-
Dani sta funkciji \(f(x)=x^2-1\) in \(g(x)=x\cdot f(x)\).
Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepata grafa funkcij \(f\) in \(g\).
Rešitev:
\(S=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\) (meji: \(a=-1, b=1\))
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij \(f(x)=\sqrt{3x}\) in
\(g(x)=x^2-2x\).
Rešitev:
\(S=6\) (meji: \(a=0,~ b=3\))
-
Dani sta funkciji \(f(x)=\sqrt[{\scriptstyle 3}]{x}\) in \(g(x)=\frac{\textstyle x^2}{\textstyle 32}\). Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta
grafa funkcij \(f\) in \(g\). Rezultat naj bo točen.
Rešitev:
\(S=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\) (meji: \(a=0,~ b=8\))
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepata grafa funkcij \(f(x)=\frac{\textstyle 4}{\textstyle x}\) in \(g(x)=(x-3)^2\). Rezultat
zaokroži na štiri mesta.
Rešitev:
\(S\doteq 2,\!545\) (meji: \(a=1,~ b=4\) — pri iskanju mej si lahko pomagaš s Hornerjevim algoritmom)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int\limits_{-1}^2 (2x+1)^2\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int\limits_0^{\textstyle\frac{\pi}{6}} \sin 3x \,dx}\)
Namig:
Pomagaj si z uvedbo nove spremenljivke
Rešitev:
(a) \(\cdots=21\);
(b) \(\cdots=14\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{3}\)
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujejo os \(x\), premica \(x=4\) in graf
funkcije \(f(x)=\sqrt{x+5}\).
Rešitev:
\(S=18\)
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujejo os \(x\),
premici \(x=3\) in \(x=11\) ter graf funkcije \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}\).
Rešitev:
\(S=2\)
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf funkcije \(f(x)=\sqrt{6x-5}\)
in simetrala lihih kvadrantov.
Rešitev:
\(S=\frac{16}{9}\)
-
Dani sta funkciji \(f(x)=\frac{\textstyle 3}{\textstyle x+1}\) in
\(g(x)=-\frac{\textstyle 1}{\textstyle 2}x+3\). Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta
grafa funkcij \(f\) in \(g\). Rezultat zaokroži na tri mesta.
Rešitev:
\(S\doteq3.37\) (meji: \(a=0,~ b=5\))
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij
\(f_1(x)=\sqrt{x+4}\), \(f_2(x)=2-x\) in abscisna os. Nariši sliko.
Rešitev:
\(S=\frac{22}{3}=7\frac{1}{3}\)
-
Podana je funkcija: \(f(x)=x^3-3x^2+2x\)
(a) Zapiši enačbo tangente na graf funkcije \(f\) pri \(x=0\)
(b) Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf funkcije in ta tangenta.
Rešitev:
(a) Tangenta: \(y=2x\);
(b) ploščina: \(S=6\frac{3}{4}=\frac{27}{4}\)
-
Dana je funkcija: \(f(x)=x^2-5x+6\)
(a) Zapiši enačbo normale na graf funkcije \(f\) v točki \(x=2\).
(b) Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf in normala.
Rešitev:
(a) Normala: \(y=x-2\);
(b) ploščina: \(S=\frac{4}{3}\)
-
Integriraj: \({\displaystyle \int\limits_{0}^{\textstyle{\pi\over6}}
\sin 2x\,\sqrt{1-\cos 2x}~dx}\)
Rešitev:
\(\cdots=\frac{\sqrt{2}}{12}\)
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta abscisna os in graf funkcije
\(f(x)=\sin^3 x\) med dvema zaporednima ničlama.
Namig:
Uvedi novo spremenljivko: \(t=\cos x\)
Rešitev:
\(S=\frac{4}{3}\)
-
Izračunaj povprečno vrednost funkcije \(f(x)=x^3\) na intervalu
\([0,1]\).
Rešitev:
\(\overline{f\,}=\frac{1}{4}\)
-
Izračunaj povprečno vrednost funkcije \(f(x)=\sqrt[\scriptstyle3]{4x\,}\) na intervalu
\([0,16]\).
Rešitev:
\(\overline{f\,}=3\)
-
Izračunaj povprečno vrednost funkcije \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x^2+1}\) na intervalu
\([-1,1]\). Rezultat zaokroži na štiri mesta.
Rešitev:
\(\overline{f\,}\doteq0,\!7854\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int\limits_{1}^\infty \frac{1}{x^2}\, dx}\)
(b) \({\displaystyle \int\limits_{-\infty}^1 e^x\, dx}\)
(c) \({\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+1}\, dx }\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=1\);
(b) \(\cdots=e\);
(c) \(\cdots=\pi\)
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga na intervalu \(\left[\frac{1}{9},\infty\right)\)
omejujeta os \(x\) in graf funkcije \({\displaystyle f(x)=\frac{1}{3x^2}}\).
Rešitev:
\(S=3\)
-
Izračunaj ploščino lika, ki ga na intervalu \(\left[0,\infty\right)\)
omejujeta os \(x\) in graf funkcije \({\displaystyle f(x)=\frac{6}{(2x+1)^3}}\).
Rešitev:
\(S=\frac{3}{2}\)
-
Izračunaj prostornino vrtenine, ki nastane, če zavrtimo za \(360^\circ\) okoli
osi \(x\) del grafa funkcije \(f(x)=1-x^2\) med obema ničlama.
Rešitev:
\(V=\frac{16}{15}\pi\doteq 3,\!351\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\frac{\textstyle 2}{\textstyle x}\). Del grafa, ki pripada intervalu \(x\in[1,4]\),
zavrtimo za \(360^\circ\) okoli abscisne osi. Izračunaj prostornino tako dobljene vrtenine.
Rešitev:
\(V=3\pi\)
-
Dana je hiperbola \(x^2-y^2=-1\). Del hiperbole, ki pripada intervalu \(x\in[-1,2]\),
zavrtimo okoli abscisne osi, tako da dobimo rotacijsko telo. Izračunaj prostornino tako dobljenega telesa.
Rešitev:
\(V=6\pi\)
-
Izračunaj volumen vrtenine, ki nastane, če zavrtimo okoli abscisne osi graf funkcije \(f(x)=e^x\)
na intervalu \((-\infty,0]\).
Rešitev:
\(V=\frac{\pi}{2}\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int \frac{1}{x-2}\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int \frac{2x+3}{x+1}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int \frac{x^2+2x-1}{x-1}\,dx }\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\ln|x-2|+C\);
(b) \(\cdots=2x+\ln|x+1|+C\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{2}x^2+3x+2\ln|x-1|+C\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int \frac{x-2}{x^2-4x+3}\,dx }\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\ln(x^2+3)+C\);
(b) \(\cdots=\ln|x^2+3x+1|+C\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{2}\ln|x^2-4x+3|+C\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int \frac{1}{x^2+9}\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int \frac{1}{x^2+4x+5}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int \frac{1}{x^2-2x+10}\,dx }\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}+C\);
(b) \(\cdots=\arctan(x+2)+C\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{3}\arctan\frac{x-1}{3}+C\)
-
Izračunaj naslednje integrale:
(a) \({\displaystyle \int \frac{3x-1}{x^2-x}\,dx}\)
(b) \({\displaystyle \int \frac{3x-5}{x^2-2x-3}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle \int \frac{2x^2-3x-3}{x^3-x}\,dx}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\int(\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1})\,dx=\ln|x|+2\ln|x-1|+C\);
(b) \(\cdots=\int(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-3})\,dx=2\ln|x+1|+\ln|x-3|+C\);
(c) \(\cdots=\int(\frac{3}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x-1})\,dx=3\ln|x|+\ln|x+1|-2\ln|x-1|+C\)
